安徽省2024中考数学第8章统计与概率第2节概率试题

第八章统计与概率

其次节概率

易错自纠

易错点1因列举出的结果不是等可能的而致错

1.随机抛掷一枚质地匀称的硬币2次,朝上的面出现的结果为“一正一反”的概率

易错点2忽视“放回”或“不放回”的条件

2.不透亮的袋子中装有三个小球，上面分别写着数字“1”“2”“3”，除所标数字外三个小

球无其他差别.

⑴从中随机摸出一个小球，记录其数字,放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球,记录其数字,

则两次记录的数字之和为5的概率为

(2)从中随机摸出•个小球，记录其数字后不放回，再从剩下的小球中随机摸出•个小球，记

录其数字，则两次记录的数字之和为5的概率为

方法帮

0提分特训

[2024山东青岛]小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣扬演出，但只有一张入场券，于是他

们设计了一个“配紫色”嬉戏:如图,A,B是两个可以自由转动的转盘,每个转盘都被分成面

积相等的几个扇形，同时转动两个转盘,假如其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝

色,那么可以配成紫色.若配成紫色,则小颖去观看,否则小亮去观看.这个嬉戏对双方公允吗？

请说明理由.

A

解:公允.

理由：依据题意，画树状图如下.

开始

由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中可以配成紫色的结果有3种,不能配成紫色的结

果有3种,故小颖和小亮去观看的概率均为;,所以嬉戏对双方公允.

真题帮

考法I事务的分类（10年I考）

考法2列举法求概率（1C年9考）

考法I事务的分类

1.[2011安徽,5]从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事务机”这个四

边形是等腰梯形”，下列推断正确的是（B）

A.事务必是不行能事务

B.事务J/是必定事务

C.事务必发生的概率为!

I）.事务M发生的概率为：

0

考法2列举法求概率

2.[2013安徽,8]如图，随机闭合开关K„K2,L中的两个,则能让两盏灯呼l：J•发光的概率为（B）

3.[2012安徽,8]给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个打给甲的概

率为（B）

2

A.7B，7C，7D.三

4.[2024安徽,21（安]某单位食堂为全体960名职工供应了A,B,C,D四种套餐，现从甲、乙、

丙、丁4名职工中任选2名担当“食品平安监督员”，求甲被选到的概率.

解：由题意，从甲、乙、丙、丁4人中任选2人,总共有6种不同的结果，且每种结果发生的可

能性相同，列举如下：

（卬，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙,丁）.

其中甲被选到的结果有（甲，乙）、（甲,丙）、（甲，丁），共3种.

故所求概率^4

5.[2024安徽,21（安②]一组优等品的尺寸x（单位:c安如下:

8.968.978.989.029.039.04

其中尺寸在8.97WxW9.C3的为特等品.将这6件优等品分成两组,其中一组的尺寸不大于

9cm,另一组的尺寸大于9cm.从这两组中各随机抽取1件,求抽到的2件产品都是特等品的概

率.（注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内）

解:将尺寸不大于9cm的3件优等品分别记为AbA2,A3,尺寸大于9cm的3件优等品分别记为

B,,B,B3,其中特等品为A2,A3,B,,B2.依据题意列表如下:

(AhB,)(A.,B“(A.,B；1)

(A2,B>)(A2,B2)(MB。

(A3,BI)(A3,B2)处,B.3）

由上表可知共有9种等可能的结果,其中2件产品都是特等品的结果有4种,所以抽取到的2

件产品都是特等品的概率为，

6.[2017安徽，21（3）]竞赛时甲、乙、丙三人依次出场，依次由抽签方式确定.求甲、乙相邻

出场的概率.

解:三人的出场依次有（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙'甲、丙），（乙、丙、甲），（丙、甲、

乙），（丙、乙、甲），共6种，且每一种结果出现的可能性相等，其中甲、乙相邻出场的结果有（甲、

乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），共4种，所以甲、乙相邻出场的概率

P岩

3

7.[2016安徽,21]一袋中装有形态大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字，分

别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数字;然后将

小球放回袋中并搅拌匀称:再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数字.

(D写出按上述规定得到的全部可能的两位数；

(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.

解：(1)按规定得到的全部可能的两位数为

11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88.

(2)这些两位数共有16个:其中算术平方根大于4且小于7的共有6个,分别为

17,18,41,44,47,48,

所以所求概率

8.[2015安徽，19]1,B,C三人玩篮球传球嬉戏,嬉戏规则是:笫一次传球由力将球随机地传给

氏C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的

某一人.

(D求两次传球后，球恰在6手中的概率；

(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.

解：(1)依据题意，画树状图如图(D所示.

A

第一次

…"/'/'

第一次ACAB

图⑴

由图⑴可知,两次传球后的全部结果有4种,每种结果发生的可能性相等,其中，两次传球后,

球恰在8手中的结果只有一种，

故两次传球后,球恰在8手中的概率是:.

⑵画树状图如图⑵所示：

第一次

第二次

第三次

图⑵

由图(2)可知,三次传球后的全部结果有8种,每种结果发生的可能性相等.

具中，二次传球后,球恰在A手中的结果有2利I

4

故三次传球后,球恰在力手中的概率是言：.

9.[2014安徽,21]如图,管中放置着三根同样的绳子AAbBBbCG.

（1）小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA.的概率是多少？

（2）小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A.,Bi,C.三个绳头中随机

选两个打一个结.求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.

解：（1）小明可选择的状况有三种，每种状况发生的可能性相等,恰好选中绳子AA】的状况为一

种,所以小明恰好选中绳子AAi的概率

（2）依题意，分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有9种状况,每种状况发生的可能性相

等.

画树状图如下：

开始

其中左、右打结是相同字母（不考虑下标）的状况,不行能连接成为一根长绳.

所以能连接成为一根长绳的状况有6种：

①左端连AB,右端连AICI或BC;

②左端连BC,右端连AB或A.C.;

③左端连AC,右端连AB或B.C..

故这三根绳子能连接成一根长绳的概率

作业帮

基础分点练（建议用时:45分钟）

④考点1事务的分类

1.[2024湖北武汉]两个不透亮的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标

号为1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事芬为随机事务的是（B）

5

A.两个小球的标号之和等于1

B.两个小球的标号之和等于6

C.两个小球的标号之和大于1

D.两个小球的标号之和大于6

2.[2024江苏泰州]如图,电路图上有4个开关A,B,C,D和1个小灯泡，同时闭合开关A,B或

同时闭合开关CD都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事务是随机事务

的是（B）

A.只闭合1个开关

B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关

D.闭合4个开关

⑥考点2简洁事务的概率

3.[2024黑龙江齐齐哈尔]有一个质地匀称的小正方体,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,

掷小正方体后,朝上一面的数字出现偶数的概率是（A）

.1112

A.-BD.-C.-nD.-

2343

4.[2024黑龙江哈尔滨]一个不透亮的袋子中装有9个小球,其中6个红球、3个绿球,这些小

球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（A）

A.|B.|C.；D.；

3239

5.[2024江苏徐州]在一个不透亮的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.

小明通过多次试验发觉,每次随机摸出一个球,摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中

红球的个数最有可能是（A）

A.5B.10C.12D.15

6.[2024山西]如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点

得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是（B）

6

Uc6-

7.[2024湖北襄阳]《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图，图中每一卦

由三根线组成(线形为一或■■),如正北方向的卦为三.从图中三根线组成的卦中任取一

圭卜,这一卦中恰有2根一和1根―的概率为

0

北

Inaill

⑥考点3列举法求概率

8.[2024宁夏]现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选3条,能组成三角形的概率是

(B)

、1D1「3n3

A.；B,-C.-D.-

9.[2024湖北武汉]某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参与校乒乓球竞赛，恰好

选中甲、乙两位选手的概率是(C)

10.[2024黑龙江牡丹江]在一个不透亮的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上数

字1,2,3,4.若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球上所标

数字之和等于5的概率为(C)

A.-B.；C,D.-

43316

11.[2024山东东营]从1,2,3,4中任取两个不同的数,分别记为a和b,则RS>9的概率是

(D)

7

12.［2024湖北武汉］从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为耳。,则关于*的

一元二次方程N/MX+CR有实数解的概率为(0

.1112

A。一BD.-Cr.-Dn.—

1323

13.［2024河南］如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种

颜色.固定指针，自由转动转盘两次,每次停止后，登记指针所指区域（指针指向区域分界线时,

忽视不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是7.

-4—

14.［2024重庆A卷］现有四张正面分别标有数字T,1,2,3的不透亮卡片,它们除数字外其余

完全相同,将它们背面朝上洗匀称,随机抽取一张,登记数字后放回，背面朝上洗匀称，再随机

抽取一张登记数字，前后两次抽取的数字分别记为例〃,则点P（勿,力在其次象限的概率

为-

16—,

15.［2024陕西］小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透痉的空布袋内，放入2个红球、1

个白球和1个黄球，共4个小球,这些小球除颜色外其他都相同.试验规则：先将布袋内的小球

摇匀，再从中随机摸出一个小球,登记颜色后放回，称为摸球--次.

（1）小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率；

••

⑵若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、

一个是黄球的概率.

解•⑴这10次中摸出红球的频率为白老

1U3

⑵列表如下：

红1红2白黄

（红I,红（红］，红（红〃（红I,

红】

.）2）白）黄）

红2（红2,红（红2,红（红2,（红2,

8

由上表可知,共有16种等可能的结果,其中一个是白球、一个是黄球的结果有2种，

•:所求概率娱焉

16.[2024贵州贵阳]“2024其次届贵阳市应急科普学问大赛”的竞赛中有一个抽奖活动.规

则是:打算3张大小一样、背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《消防学问

手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后随意抽出一张,抽到卡片后可以免费领取卡

片上相应的书籍.

(1)在上面的活动中，假如从中随机抽出一张卡片，登记内容后不放回，再随机抽出一张々片，

请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率.

(2)再添加几张和原来一样的《消防学问手册》卡片,将全部卡片背面朝上洗匀后，随意抽出

一张，使得抽到《消防学网手册》卡片的概率为?那么应添加多少张《消防学问手册》卡片？

请说明理由.

解：(1)将《消防学问手册》《辞海》《辞海》分别记为依据题意列表如下.

AB>B?

A(A,B,)(A,B2)

B.(BbA)(B.,BJ

B?(B2,A)(B、B.)

依据表格可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽到的2张k片都是《辞海》

的结果有2种，

故抽到的2张卡片都是《辞海》的概率是

(2)应添加4张《消防学问手册》卡片.

理由：设再添加/张和原来一样的《消防学问手册》卡片，

9

则匕4，解得x-L

J十I

经检验,产4是原方程的根.

故应添加4张《消防学问手册》卡片.

⑥考点4统计与概率的综合

17.[2024四川成都]2024年，成都将举办世界高校生运动会，这是在中国西部笫•次举办的

世界综合性运动会.目前,运动会相关打算工作正在有序进行,竞赛项目已经确定.某校体育

社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种竞赛项目中选择一种观看的意愿,

并依据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.

依据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的同学共有180人;

（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°;

（3）现拟从甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名担当大运会志愿者，请利用画树状图或列表的

方法，求恰好选中甲、乙两名同学的概率.

解：⑴180

解法提示:54-7-30^=180（A）.

（2）126°

解法提示：“篮球”所占百分比为1-（30%找5豺20给=35先

故“篮球”对应的扇形圆心角的度数为3600*35*126°.

（3）依据题意列表如下：

甲乙丙丁

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（因，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

1()

由表格可知共有12种等可能结果,其中选中甲、乙两名同学的结果有2种，

故P(选中甲、乙两名同学)卷

18.[2024四川达州]争创全国文明城市，从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本

课程,为了解学生的学习状况,随机抽取了20名学生的测试成果,分数如下：

948390869488961008982

94828489889398949392

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

等级成果心频数

A95W*W100a

B90Wx<958

C85Wx<905

D80Wx<854

依据以上信息，解答下列问题.

(1)填空：a=3,b=40;

(2)若成果不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数；

(3)已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法

求出恰好抽到•男一女的概率.

解：⑴340

解法提示:a=20-8-5-4=3;

力％得*100%乂0号故。口0.

(2)等X1200W60(人).

答:该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数约为660人.

(3)依据题意画树状图如下：

11

开始

第1名

第2名女,

依据树状图可知，共有6种等可能的结果,其中抽到一男一女的结果有4种,

•：〃（抽中一男一女）

03

19.[2024山东济宁]某校实行了“防溺水”学问竞赛.八年级两个班各选派10名学生参与预

赛，依据各参赛选手的成果（均为整数）绘制了如下统计表和折线统计图.

班级八⑴班八⑵班

最高分10099

众数a98

中位数96b

平均数C94.8

（1）统计表中，3=96,b=96,c=94.5;

（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参与决赛,其中两个班的第一名干脆进入决赛，另外

两个名额在成果为98分的学生中任选两个,求另外两个决赛名额落在不同班级的概率.

解：（1）969694.5

解法提示：由折线统计图可知，八（1）班各参赛选手的成果（单位:分）分别为

100,92,98,96,88,96,89,98,96,92,成果96分出现了3次,次数最多,所以八⑴班各参赛选

手的成果的众数为96分，故a-96.

八（2）班各参赛选手的成果分别为89,98,93,98,95,97,91,90,98,99,按从小到大的依次排

列为89,90,91,93,95,97,98,98,98,99,可知位于中间的两个数据分别是95分,97分,所以八

（2）班各参赛选手的成果的中位数为（95为7）}2=96（分），故

八（1）班各参赛选手的成果的平均数为《X（100为2均8理5用8册6卷9%8均6内2）44.5（分），

故c=94.5.

12

(2)记八(1)班参赛选手中98分的学生分别为A,B,八(2)班参赛选手中98分的学生分别为

C,D,E,

依据题意列表如下：

ABCDE

(A,B(A,C(A,D(A,E

A

))))

(B,A(B,C(B,D(B,E

B

))))

(C,A(C,B(C,D(C,E

C

))))

(D,A(D,B(D,C(D,E

D

))))

(E,A(E,B(E,C(E,D

E

))))

由表格可知,共有20种等可能的结果,其中两个决赛名额落在不同班级的结果有12种,

故P(两个决赛名额落在不同班级)考总

NUD

全国视野创新练

[2024浙江绍兴]

如图，小球从A入口往下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等,则小球

从E出口落出的概率是(C)

13

C101

参考答案

其次节概率

Q

【易错自纠】

2.(1)：⑵：

Q方法帮

提分特训

略

Q艮题帮

1.B依据正五边形的性质可知,任取正五边形五个顶点中的四个,连接而成的四边形均为等

腰梯形,所以事务M为必定事务，故选B.

2.B随意闭合两个开关，共有3种方案,而只有闭合K1和K3时,两盏灯才同时发光,所以两

盏灯同时发光的概率为:•故选B.

O

3.B由于打电话的依次是随意的,所以打电话的全部可能状况可用树状图表示为：

所以第一个打给甲的概率P=H.故选B.

oJ

4~9.略

Q作业帮

基础分点练

1.B因为两个口袋中小球的标号均为1,2,3,所以从这两个口袋中分别摸出一个小球,则两

个小球的标号之和可能是2,3,4,5,6,因此“两个小球的标号之和等于1”是不行能事

14

务，“两个小球的标号之和等于6”是随机事务，“两个小球的标号之和大于1”是必定事

务，”两个小球的标号之和大于6”是不行能事务.故选B.

2.B只闭合1个开关，小灯泡不会发光，即“小灯泡发光”是不行能事务，故选项A不符合题

意；只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可•能不发光,即“小灯泡发光”是随机事务,故选项B

符合题意；只闭合3个开关，小灯泡肯定会发光,即“小灯泡发光”是必定事务,故选项C不符

合题意；闭合4个开关，小灯泡肯定会发光,即“小灯泡发光”是必定事务,故选项D不符合题

意.

3.A

4.A从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结昊，其中摸到红球的结果有6种，故所

求概率为削・故选A.

5.A设袋子中红球有x个.依据题意,得点=0.25,解得x=5,・••袋子中红球的个数最有可能是

5个，故选A.

6.B易知图中菱形的面积是大矩形面积的［，阴影部分的面积是菱形面积的所以阴影部分

的面积是大矩形面枳的《故飞镖落在阴影区域的概率是:.

44

74•・•这种卦图中共有8圭卜，其中恰有2根一和1根■■的卦有3个，，所求概率为*

oI?

8.B从长度依次是2,4,6,7的线段中任选3条，共有4种等可能的结

果:（2,4,6）,（2,4,7）,（2,6,7）,（4,6,7）,其中能组成三角形的结果有2种,故所求概率为

9.C依据题意，列表如下.

甲乙丙T

（甲，（甲，（甲，

甲

乙）丙）T)

（乙，（乙，（乙，

乙

甲）丙）T)

（丙，（丙，（丙，

丙

甲）乙）T)

（丁，(T,（丁，

T

甲）乙）丙）

15

由上表可知，共有12种等可能的状况，其中恰好选中甲、乙两位选手的状况有2种，所以P（恰

好选中甲、乙两位选手）卷卷故选C.

10.C依据题意，列表如下.

1234

1(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)

由上表可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的小球上所标数字之和等于5的结果有

4利I故所求概率为羽.

11.1）依据题意画树状图如下:

开始

a1234

/NZNZNZN

b234134124123

/+35101751320101325172025

由树状图可知,共有12种等可能的状况,其中满意a2+b2）19的状况有4种，故所求概率为今;.

故选D.

12.C由题意可知A=16-4ac20,即acW4.依据题意列表如下：

1234