下关第一中学2026届数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

下关第一中学2026届数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是虚数单位，则（）A． B． C． D．2．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．4．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．6．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．27．已知集合，则()A． B． C． D．8．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（）A． B． C． D．9．已知集合，，则（）A． B． C． D．10．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．111．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．12．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________14．已知变量(m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．15．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________．16．展开式中的系数为_______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，.（1）若，则；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和.19．（12分）已知函数（为常数）（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围.20．（12分）设为实数,已知函数,．（1）当时,求函数的单调区间：（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．21．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．22．（10分）已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.2、C【解析】

令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.【详解】令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，，令，可得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.当时，，若直线和有两个交点，则.实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.3、B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.4、D【解析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，，当时，，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，，，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.5、D【解析】

由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.6、D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．7、C【解析】

解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故选C．【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．8、B【解析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，所以由图可得取自的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.9、B【解析】

求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.10、B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.11、C【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.12、A【解析】

先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设，由与相似，可得，解得，再由与相似，可得，解得，由三角形的面积公式，可得的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】

在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，设f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键15、【解析】

化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可．【详解】由知，当时，在和上单调递增，在和上均单调递增，，

，

的取值范围为：．

故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题．16、【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】解：，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】（1）若，则，依题意，故；（2）因为，故；若，即时，，符合题意；若，即时，，解得；综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.18、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.【详解】（1）由题意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①当时，.②当时，.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.19、（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）对函数进行求导，由题意知,为增函数等价于在区间恒成立，利用分离参数法和基本不等式求最值即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为，当时，，令，得，或，所以，随的变化情况如下表：递增递减递增的单调递增区间为，，单调递减区间为.（Ⅱ）由题意得在区间恒成立，即在区间恒成立.，当且仅当，即时等号成立.所以，所以的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）【解析】

（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【详解】解：（1）当时,因为,当时,;当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．（2）由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以对任意的恒成立,设,,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;②若时,令,得．由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．所以,存在,使得,即,①且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,所以．②设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,即．当时,（ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;（ⅱ）由于,令,设,,由于时,,,所以设,即．由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点．综上,．【点睛】本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.21、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以当时，，即；当或时，，即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.22、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意得到GB是线段的中垂线，从而为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，