2025北京朝阳区初二（下）期末数学试题及答案

初中2025北京朝阳初二（下）期末数学（考试时间90分钟满分100分）学校______班级______姓名______考号______考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题．2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（）A.4，4，5 B.5，6，7 C.8，8，8 D.3，4，53.如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么的长为（）A. B. C. D.4.如图，在矩形中，对角线相交于点，则的长为（）A. B.2 C. D.85.如图，在中，是边的中点，若，则的长为（）A.5 B.6 C. D.136.如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表：时间34567频数16812951则该班学生平均周阅读时间的众数是（）A.4 B.6 C.7 D.97.在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（）A. B. C. D.8.如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④二、填空题（共24分，每题3分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．10.计算：=_____．11.写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______．12.如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______．13.如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______．14.某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩：甲组乙组|如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”）15.如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______．16.同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距______km；甲车行驶______h，甲、乙两车相距．三、解答题（共52分，第17－24题，每题5分，第题，每题6分）17.计算：．18.如图，已知中，点E，F分别在上，且．求证：．19.已知，，求代数式的值．20.在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点．（1）求证：四边形为菱形；（2）连接交于点，若，求的长．21.在平面直角坐标系中，已知直线经过点和．（1）求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标；（2）若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围．22.2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动，该校七、八年级各有200人，都参加了此次竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩分成四组：），并给出下面部分信息：a．七年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图：b．七年级抽取的学生竞赛成绩在组的成绩为：c．八年级抽取的学生竞赛成绩为：d．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数为：年级平均数中位数七87p八8786根据以上信息，解答下列问题：（1）写出表中的值；（2）如果去掉八年级抽取的学生竞赛成绩中的一个最高分和一个最低分，记剩下13个成绩的平均数为，则______87；（填“”“”或“”）（3）请你估计该校七、八年级学生此次竞赛活动成绩达到90分及以上的总人数．23.学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下：0234567891002.44.86.07.28.49.610.812.000.20.61.12.03.24.76.68.911.6（1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位）（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决问题：若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工．①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位）②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位）24.在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形．（1）当时，求点的坐标；（2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围．25.如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），四边形为正方形．（1）直接写出与之间的数量关系；（2）过点作，垂足为，求证：；（3）在（2）的条件下，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．26.在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离．（1）如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______；（2）过点作轴的垂线．①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______；②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______．参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】A【分析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母．【详解】选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件；选项B：，被开方数为分数，且分母10含非平方因子，需分母有理化，故不是最简；选项C：，分母含根号，需化简为，故不是最简；选项D：，被开方数8含平方因子4，可进一步化简，故不是最简．故选：A．2.【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可．【详解】解：A、最长边为5，验证，而，，不满足勾股定理，不能组成直角三角形；B、最长边为7，验证，而，，不满足勾股定理，不能组成直角三角形；C、三边相等，为等边三角形，各角均为，非直角三角形；D、最长边为5，验证，而，，满足勾股定理，能组成直角三角形，故选：D．3.【答案】C【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，解题的关键是证明是的中位线．证明是的中位线，得到，再根据菱形的性质即可求解．【详解】解：∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∵，∴，∵四边形是菱形，∴，故选：C．4.【答案】B【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的性质，可得，可证明是等边三角形，即可求解．【详解】∵四边形是矩形，，∴，∵，∴是等边三角形，∴．故选：B5.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线，根据勾股定理可以求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长．【详解】解：，，，D是边的中点，，故选：C．6.【答案】A【分析】此题考查了众数的定义，正确理解众数的定义是解题的关键．根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，直接观察频数分布表中频数最大的对应时间即可．【详解】由表格可知，周阅读时间及其对应频数分别为：（1次）、（6次）、（8次）、（12次）、（9次）、（5次）、（1次）．其中频数最大的是12次，对应的时间为．因此，该班学生平均周阅读时间的众数是．故选：A．7.【答案】B【分析】本题考查了方程组的解，两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，已知交点，将代入直线方程即可求出的值，从而确定方程组的解．【详解】解：直线与相交于点，该点的坐标同时满足两个直线方程，将代入，得：，因此，交点坐标为，方程组的解即为两条直线的交点坐标，故解为，故选：B．8.【答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，通过证明三角形全等得出边和角的关系，进而判断各个结论是否正确．【详解】解：①∵四边形是平行四边形，∴，，∴，由折叠可知，，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；②由折叠得，，∴，∴，故②正确；③由①可知，，同理可得∵，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形为菱形，故③正确；④连接、、，、分别与交于点，如图，由折叠得，，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，又，∴，由折叠得，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误，综上，正确的结论是①②③，故选：C．二、填空题（共24分，每题3分）9.【答案】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．【详解】解：要使在实数范围内有意义，则，即．故答案为：10.【答案】【分析】此题利用二次根式的除法法则进行计算即可求出答案．【详解】解：故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的除法，此题较简单，解题时要利用二次根式的除法法则进行计算是本题的关键．11.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，当时，图象过第一，三象限，当时，图象过第二，四象限，即可解答．【详解】解：经过第一、三象限的函数可以是，故答案为：（答案不唯一）12.【答案】【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，，则点表示的数为，故答案为：．13.【答案】【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出即可．【详解】解：，，四边形是平行四边形，是对角线的交点，，故答案为：．14.【答案】【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．根据方差的定义列式计算即可．【详解】解：，．，．所以：．故答案为：．15.【答案】①.②.3【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：由折叠的性质知，设，则，∵，，∴，即，解得，故答案为：；3．16.【答案】①.20②.【分析】（1）根据图象的信息即可解答；（2）求出点E的坐标，分甲车在线段段、甲车在线段段、甲车在线段段三种情况解答即可求解．【详解】解：由图象得，当时，，两地相距，故答案为：20；当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发，乙车中途休息，22,60从点过程中，只有甲车行驶，甲车的速度为，点甲行驶的时间为，，设线段所在直线的函数解析式为，把，代入得，，解得，线段所在直线的函数解析式为，把代入得，解得；设线段所在直线的函数解析式为，把，代入得，，解得，线段所在直线的函数解析式为，把代入得，解得；设线段所在直线的函数解析式为，把，代入得，，解得，线段所在直线的函数解析式为，把代入得，解得，综上，甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车相距．【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键．三、解答题（共52分，第17－24题，每题5分，第题，每题6分）17.【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得．【详解】解：原式18.【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明四边形是平行四边形，则．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，即∵，∴四边形是平行四边形，∴．19.【答案】【分析】本题主要考查了因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点．先求出、，然后再对原式因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，，∴．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键．（1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；（2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解．【小问1详解】证明：，，，四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，．在中，，根据勾股定理，得，．21.【答案】（1），；（2）．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据直线经过点和，利用待定系数法即可求得表达式，然后求得当时，的值，得到与轴的交点的坐标；（2）根据函数的值小于函数的值，且大于0，列出不等式组求得，结合，得到，解之即可．【小问1详解】解：∵直线经过点和，∴，解得，∴该直线的表达式为，∵当时，，∴该直线与轴交点的坐标为．【小问2详解】解：根据题意可得，解得∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，∴，解得，∴的取值范围为．22.【答案】（1）88（2）（3）160人【分析】（1）根据中位数的定义得出P为排序后第八名学生的成绩；（2）根据去掉的两个成绩为69和100，原来15个人的平均分为87分，求出剩余13个人的平均分即可得出答案；（3）用200人乘以抽取的七、八年级学生竞赛成绩中90分及以上的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：∵一共抽取七年级学生15人，∴中位数是排序后的第8个数据，∵，∴第8个数据落在C组，∴；【小问2详解】解：根据题意可知：去掉的最低分为69分，最高分为100分，∵抽取的15个人的平均分为87分，∴剩余的13个人的平均分为：；【小问3详解】解：根据频数分布直方图可得，抽取的七年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的八年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；∴该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），答：该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为160人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．23.【答案】（1）3.6；（2）见解析（3）①；②（答案不唯一）【分析】本题考查函数与图象，从数据中发现规律，得到函数关系是解题的关键．（1）观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，据此即可解答；（2）将表格数据描点，并连线即可解答；（3）①观察函数图象，得到体积相差最大时所对应的自变量的值即可解答；②观察函数图象，得到1号装置停止加工，2号装置大约在什么时刻得到和1号装置相同的体积，减去①中得到的时间即为2号装置再加工需要的时间．【小问1详解】解：观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，∴；【小问2详解】解：将表格数据描点，并连线，得【小问3详解】解：①观察函数图象可得，当时，实验液体的体积相差最大．②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等，∴2号装置再加工的时间为：（小时）．故答案为：①；②（答案不唯一）24.【答案】（1）；（2）或．【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案；（2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数的图象与函数上两种情况进行讨论即可．【小问1详解】解：当时，函数表达式分别为，.根据题意，得，解得，.【小问2详解】解：联立，解得，那么，由题意可知，时，在上，那么有：当时，代入，得到.当在上时，代入，.，，；当在上时，代入，．，，；综上所述，的取值范围是或．25.【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析．【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果；（2）作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，再由矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（3）作于点，根据正方形的性质及勾股定理即可求解．【小问1详解】解：；理由如下：∵，四边形为正方形．∴，∵，∴；【小问2详解】证明：如图，作，交的延长线于点，四边形为正方形，设交于点，，四边形为矩形矩形为正方形；【小问