黑龙江省哈尔滨市实验中学2026届高二上数学期末考试试题含解析

黑龙江省哈尔滨市实验中学2026届高二上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.2．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A. B.C. D.3．命题“对任何实数，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得4．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1C. D.5．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)6．已知且，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.7．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A.2 B.C. D.8．圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.9．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.27610．已知，，且，则（）A. B.C. D.11．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线.①方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).则上述结论中正确的个数是（）A.1 B.2C.3 D.412．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（）A.抛物线 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一支二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为__________.14．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________15．设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.16．若，则__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在棱长为的正方体中，为中点（1）求二面角的大小；（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由18．（12分）已知函数(其中为自然对数底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求点C到平面BEF的距离20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为（1）求动点的轨迹方程；（2）已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？21．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.22．（10分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先求，然后求.【详解】，，.故选：A2、D【解析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆的离心率为，则有，因双曲线的离心率为，则有，所以.故选：D3、B【解析】可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.【详解】命题“对任何实数，都有”，可写成：，使得，此命题为全称命题，故其否定形式为：，使得.故选：B.4、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B5、B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B6、C【解析】∵且，∴∴选C7、B【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，，所以的最大值为：，故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化8、A【解析】根据题意，设圆心为坐标为，，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离，解得的值，即可得答案【详解】根据题意，设圆心为坐标为，，圆的半径为4，且与直线相切，则圆心到直线的距离，解得：或13（舍，则圆的坐标为，故所求圆的方程为，故选：A9、C【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：C10、D【解析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，，因此，.故选：D11、B【解析】对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断【详解】对于①，由，得异号，方程(xy<0)关于原点及y=x对称，所以方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确，对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误，对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误，故选：B12、D【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.【详解】圆圆心为，半径为，依题意可知，结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.【详解】构造函数，，所以在上递减，由，得，即，所以，即等式的解集为.故答案为：14、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：15、【解析】由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出【详解】解：因为，所以，所以，所以，化简得，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题16、【解析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.【详解】令，则；令，则.上述两式相加得故答案为：.【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）点为线段上靠近点的三等分点【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.【小问1详解】如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．所以，设平面的法向量，所以，即，令，则，，所以，连接，因为，，，平面，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图知，二面角为锐二面角，所以二面角的大小为【小问2详解】假设在线段上存在点，使得平面，设，，，因为平面，所以，即所以，即解得所以在线段上存在点，使得平面，此时点为线段上靠近点的三等分点18、（1）答案见解析（2）【解析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.【小问1详解】解：①，在上单调增；②，令，单调减单调增；③，单调增单调减.综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】解：由题意知在上恒成立，令，，单调递增∵，∴使得，即单调递减；单调递增，令，则在上单调增，∴实数的取值范围是19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.【小问1详解】因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.【小问2详解】设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为20、（1）（2）【解析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，再根据二次函数的性质可得最值.【小问1详解】由题设点到点的距离等于它到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所求轨迹的方程为；【小问2详解】由题意易知直线的斜率存在，设中点为，直线的方程为，联立直线与抛物线，得，，且，，又中点为，即，，故恒成立，，，所以，当时，取最大值为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直