广西南宁二中2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析

广西南宁二中2026届高二数学第一学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间四个点，，，，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A. B.C. D.2．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.3．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对4．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（）A0 B.1C.3 D.45．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C. D.6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.7．直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知点，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．函数的图像大致是（）A. B.C. D.10．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.411．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.1612．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为90°B.存在点使得异面直线与所成角为45°C.存在点使得二面角的平面角为45°D.当时，平面截正方体所得的截面面积为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______.14．已知直线与圆相切，则__________.15．已知函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______________16．若椭圆W：的离心率是，则m=___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：18．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值19．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和20．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值21．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点（1）若线段的中点为，求的值；（2）若，求证：原点到直线的距离为定值22．（10分）设是首项为的等差数列的前项和，是首项为1的等比数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和，已知.（1）若，求；（2）若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据向量法求出线面角即可.【详解】设平面的法向量为，直线AD与平面ABC所成的角为令，则则故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.2、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C3、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.4、A【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，所以数列的前2022项和故选：A5、D【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.6、A【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.7、A【解析】根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.【详解】解：若，则，解得或，即或，所以”是“充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.8、A【解析】由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线AB的倾斜角为，因为，所以直线AB的斜率，即，因为，所以.故选：A9、B【解析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，排除A、D；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B10、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C11、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C12、D【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】结合点差法求得正确答案.【详解】椭圆方程可化为，设是椭圆上的点，是弦的中点，则，两式相减并化简得，即，所以弦所在直线方程为，即.故答案为：14、【解析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】由直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径r，即.故答案为：15、【解析】分离参数法得到能成立,构造函数，求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.【详解】由得.设，则存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由对勾函数的性质可得：在上，t(x)单调递增,所以当x=2时,t有最小值，所以实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.16、或【解析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得综上可得或故答案为或【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见详解（2），证明见解析【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；（2）设，，联立整理得，构造得，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.小问1详解】由，，可得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得所以在单调递减，在单调递增；【小问2详解】证明：因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.所以，可得,所以.由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设，，则则，即，整理得，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即.18、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为中点，连接，，证明四边形为平行四边形即可；（2）确定异面直线与所成的角为，计算三角形各边长，根据余弦定理计算得到答案.【小问1详解】设为中点，连接，，∵为中点，是的中点，，，故，且，故，且，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，故平面.【小问2详解】∵，故异面直线与所成的角为，在中：，，.根据余弦定理：，所以异面直线与所成的角的余弦值为.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值【小问1详解】设，则，，两式相减，得，即，所以，即，又因为线段的中点为，所以，即；【小问2详解】设斜率为的直线为，，由，