抛物线的标准方程和性质 教案 中职数学拓展模块一（表格式）

5.3抛物线的标准方程和性质教学内容：抛物线的标准方程和性质教学目标：1．理解和掌握抛物线的标准方程和性质．2．掌握抛物线的几何性质，在习题中灵活运用．教学重难点：重点：抛物线的标准方程和性质．难点：灵活运用抛物线的定义和性质解决问题．核心素养：数学抽象教具准备：PPT教学环节：意图复备（一）引例导入如图5-21所示，将一直尺固定在图板上，取一个直角三角板，将它的一条直角边靠紧直尺的一边l,再取一条与另一直角边等长的无伸缩性的细绳，一端固定在三角板的锐角顶点A处,另一端固定在图板上的F点，用笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板靠紧直尺上下滑动，笔尖画出的图形就是抛物线.（二）抛物线的标准方程从引例的画图过程中，不难看出：笔尖在不停地移动；在三角板的滑动过程屮,MF与MC的长度始终保持相等；点F和直尺的位置保持不变.根据上面的分析，可以得到抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.在初中，我们学习过二次函数y=ax2+bx+c(a≠O),它的图像就是抛物线.抛物线是我们经常接触到的图形，如向上抛出的一个物体所行进的路线.建筑中的拱

提出问题，引例导入，为学习新知识打基础。学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。教学环节：意图复备桥有的就是抛物线形.下面，我们根据抛物线的几何特征，选择适当的坐标系，来求抛物线的方程.如图5-22所示，以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，垂足为K,以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设M(x,y)为抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，设|KF|=p，则焦点F的坐标为,准线l的方程为根据抛物线的定义，点M满足条件|MF|=d.∵|MF|=(x−p∴(x−p两边平方，得x2-px+p24+y2=x2这个方程叫做抛物线的标准方程，它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是，准线方程是抛物线的焦点位置也可以分别设在x轴的负半轴，y轴的正半轴和y轴的负半轴上.因此，抛物线的标准方程有四种形式.其他三种形式如下：y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x现在把四种形式的抛物线的图形、标准方程、焦点坐标和准线方程汇总如下，见表5-4.学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。教学环节：意图复备（三）例题讲解例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y2=2x； (2)x2=-4y；(3)y=23x2； (4)x=-y解：(1)由已知得，2p=2,则p=1,p2=12，焦点在x轴正半轴,所以，焦点坐标是(12,0),准线方程是由已知得，2p=4,则p=2,p2=1,焦点在y轴负半轴,所以，焦点坐标是(0,-1)，准线方程是y=1.原方程化为x2=32y.由于2p=32，则p=34，p2=38所以，焦点坐标是(0,38),准线方程是y=-3原方程化为y2=-x.由于2p=1,则p=12，p2=14所以，焦点坐标是(-14,0),准线方程是x=1例2求适合下列条件的抛物线的标准方程.焦点坐标是（-32,0）；（2）准线方程是y=3.解：(1)由已知得，抛物线的焦点（-32,0）在x轴的负半轴上，且p=3,因此，所求抛物线的方程为y2=-（2）由已知得，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p=6,因此，所求抛物线的方程为x2=-12y.（四）抛物下的几何性质类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质.范围.由抛物线的标准方程可知，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都满足2px≥0，即x≥0，y∈R.因此，抛物线在y轴的右侧.当x的值增大时，丨y丨的值增大，说明这个抛物线向右上方和右下方无限延伸.（2）对称性.在抛物线的标准方程中，把y换成-y,方程不变，

巩固新知，通过例题深入理解。类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质，解决教学重点。教学环节：意图复备说明这个抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.（3）顶点.在抛物线的标准方程中，令x=0,得y=0，可知这个抛物线与x轴的交点是(0,0)，我们把这个点叫做抛物线的顶点.（4）离心率.抛物线上的点M到焦点的距离与到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.由定义可知，e=l.（五）例题讲解例3已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点M(-12,3),求这个抛物线的标准方程解：由已知条件，可设抛物线的标准方程为y2=-2px.因为点M(-12,3)在抛物线上，(3)2=-2p(-所以抛物线的标准方程为y2=-6x.例4如图5-23所示，一条直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且垂直于x轴，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长.图5-23解：在抛物线y2=2px(p>0)中，焦点坐标为F(p2,0).将x=p2代入方程y2=2px,得y=图5-23即A,B的坐标分别为(p2,p),(p2,-p),因此，线段AB的长为|p-(-p)|在抛物线y2=2px(p>0)中，过焦点且垂直于对称轴的直线，被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径，它的长度为2p,这就是在抛物线的标准方程中2p的一种几何意义.利用抛物线的几何性质和其通径的两个端点(p2,p),(p2，-p)，可以方便地画出反映抛物线基本特征例5要建一座抛物线形拱桥，其跨度为52米，高为6.5米.在建桥时,需要在拱下每隔1米处竖一支柱(图5-24),求离桥中心线13米处的支柱MN的长.(精确到小数点后一位)类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质，解决教学重点。巩固新知，通过例题深入理解。教学环节：意图复备解：如图5-24所示，以抛物线形拱桥的轴为y轴，拱顶为顶点，建立直角坐标系.设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将B点坐标(26,-6.5)代入上述方程，得262=-2p•(-6.5),解得p=52.故所求抛物线方程为x2=-104y.又设M点坐标为(13,y