小学数学比与比例专项练习讲义

小学数学比与比例专项练习讲义同学们，在我们的数学学习旅程中，“比与比例”是一块非常重要的基石。它不仅出现在各种数学问题中，更在我们的日常生活中有着广泛的应用，比如调配饮料、分配任务、绘制地图等等。掌握好这部分知识，能帮助我们更清晰地理解数量之间的关系，解决许多实际问题。这份讲义将带领大家系统梳理比与比例的核心知识点，并通过针对性练习，巩固所学，提升解题能力。一、比的意义与基本性质（一）比的意义在日常生活中，我们常常需要对两个数量进行比较。比如，我们说苹果和梨的数量关系，男生和女生的人数关系。“比”就是用来表示两个数相除关系的一种形式。定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。例如，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，长和宽的比就是6比4，宽和长的比就是4比6。比的各部分名称：在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如：6:4=6÷4=1.5↑↑↑↑前项比号后项比值注意：比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。比的后项不能是0。（二）比的基本性质比和除法、分数有着密切的联系。我们知道，除法中有商不变的性质，分数中有分数的基本性质，那么比呢？比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这个性质是我们进行化简比的重要依据。（三）化简比化简比就是把一个比化成最简单的整数比。所谓最简单的整数比，就是比的前项和后项都是整数，并且它们的最大公因数是1。化简比的方法：1.整数比化简：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。例如：12:18=(12÷6):(18÷6)=2:32.分数比化简：比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再进行化简。或者利用求比值的方法，用前项除以后项，得到的结果写成比的形式。例如：(1/3):(2/5)=(1/3×15):(2/5×15)=5:6（方法一）或(1/3):(2/5)=(1/3)÷(2/5)=(1/3)×(5/2)=5/6=5:6（方法二）3.小数比化简：先把比的前项和后项同时扩大相同的倍数（一般是10倍、100倍等），转化成整数比，再进行化简。例如：0.4:0.12=(0.4×100):(0.12×100)=40:12=(40÷4):(12÷4)=10:3注意：化简比的结果仍然是一个比，而不是一个数。二、比例的意义与基本性质（一）比例的意义我们已经学习了比，如果两个比的比值相等，那么这两个比之间有什么关系呢？比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如：2:3和4:6，因为2:3=2/3，4:6=2/3，它们的比值相等，所以可以组成比例，写成2:3=4:6。比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：在比例2:3=4:6中，2和6是外项，3和4是内项。（二）比例的基本性质通过观察一些比例，我们会发现比例的内项和外项之间存在着一种特殊的关系。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。例如：在2:3=4:6中，外项之积2×6=12，内项之积3×4=12，所以2×6=3×4。利用比例的基本性质，我们可以判断两个比是否能组成比例，也可以解比例。（三）解比例根据比例的基本性质，如果我们知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。解比例的方法：1.根据比例的基本性质，把比例式转化为外项积等于内项积的等式。2.再通过解方程求出未知项的值。例如：解比例3:x=4:8解：4x=3×8（根据比例的基本性质）4x=24x=24÷4x=6三、比与比例的应用比与比例的知识在实际生活中应用非常广泛，下面我们介绍几种常见的应用类型。（一）按比例分配在日常生活中，我们常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。例如：分配任务、分配奖品、调制混合物等。解决按比例分配问题的一般步骤：1.求出总份数：把各部分量的比相加，得到总份数。2.求出每份是多少：用总量除以总份数。3.求出各部分量：用每份的量分别乘各部分量对应的份数。或者：1.求出总份数。2.求出各部分量占总量的几分之几。3.用总量分别乘各部分量占总量的几分之几，得到各部分量。例题：学校把一批图书按3:4:5的比例分给四、五、六年级，已知四年级分到60本，五、六年级各分到多少本？解法一：总份数：3+4+5=12（份）每份的本数：60÷3=20（本）五年级分到：20×4=80（本）六年级分到：20×5=100（本）解法二：四年级分到的3份对应60本，所以1份是60÷3=20本。（后续同解法一）或者，四年级占总数的3/12=1/4，所以图书总数为60÷(1/4)=240本。五年级分到：240×(4/12)=80本六年级分到：240×(5/12)=100本答：五年级分到80本，六年级分到100本。（二）比例尺在绘制地图、设计图纸时，我们常常需要把实际距离按照一定的比缩小或放大，画在图纸上。这个比就是比例尺。比例尺的意义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺=图上距离:实际距离或比例尺=图上距离/实际距离比例尺的分类：1.数值比例尺：用数字形式表示的比例尺。例如：1:1000或1/1000，表示图上1厘米代表实际距离1000厘米（即10米）。2.线段比例尺：在图上附有一条注有数量的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。例如：地图上常见的0__50__100千米，就表示图上1厘米代表实际距离50千米。注意：*比例尺是一个比，它没有单位。*计算时，图上距离和实际距离的单位要统一。例题：在一幅比例尺是1:2000的地图上，量得一个长方形操场的长是6厘米，宽是4厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？解：实际长：6×2000=____（厘米）=120（米）实际宽：4×2000=8000（厘米）=80（米）实际面积：120×80=9600（平方米）答：这个操场的实际面积是9600平方米。（三）正反比例的初步认识（简单应用）在我们学习的数量关系中，有些量的变化是有规律的。*正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例如：当速度一定时，路程和时间成正比例。*反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例如：当路程一定时，速度和时间成反比例。（注：正反比例的深入学习和应用将在后续课程中展开，此处仅作初步介绍和简单应用提示。）四、专项练习（一）填空题1.两个数（）又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商叫做（）。2.比的基本性质是：比的前项和后项同时（）或（）相同的数（0除外），比值不变。3.3:5的前项是（），后项是（），比值是（）。4.根据4×6=3×8，写出一个比例式是（）。5.把10:15化简成最简整数比是（），比值是（）。6.一幅地图的比例尺是1:____，表示图上1厘米代表实际距离（）千米。（二）判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.比的后项不能为0。（）2.比值是0.5的比只有一个。（）3.3米:6米的比值是0.5米。（）4.如果a:b=3:4，那么a=3，b=4。（）5.在比例里，两个内项的积减去两个外项的积，差是0。（）（三）选择题1.把20克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（）。A.1:5B.1:6C.5:12.下面各组比中，能组成比例的是（）。A.2:3和4:5B.1.4:2和7:10C.1/3:1/4和3:43.一个比的比值是3/4，前项是6，后项是（）。A.8B.9/2C.44.比例尺10:1表示（）。A.图上距离是实际距离的1/10B.实际距离是图上距离的1/10C.无法确定（四）化简比并求比值1.18:242.3/4:5/83.0.6:0.12（五）解比例1.x:4=3:122.2/5:x=4:103.1.5/3=x/6（六）解决问题1.一个三角形的三个内角的度数比是2:3:4，这个三角形的三个内角分别是多少度？它是什么三角形？2.学校把种植200棵树的任务按2:3分配给五、六年级，五、六年级各应植树多少棵？3.在比例尺是1:200的校舍平面图上，量得一间教室的长是4厘米，宽是3厘米。这间教室的实际面积是多少平方米？4.一种药水是用药粉和水按1:80配制成的。现有40千克药粉，可配制成多少千克药水？五、温馨提示与总结1.区分“化简比”和“求比值”：化简比的结果是一个最简整数比，形式上还是一个比；求比值的结果是一个数，可以是整数、小数或分数。2.比例的核心是“相等”：组成比例的两个比，它们的比值必须相等。比例的基本性质（内项积等于外项积）是解决比例问题的关键。3.按比例分配的关键是“先求总份数，再求各部分占总量的几分之几或每份是多少”。4.运用比例尺解决问题时，务必注意单位的统一。先看清楚比例尺的含义，再进行图上距离和实际距离的换算。5.多联系生活实