高一数学集合专题训练及解析

高一数学集合专题训练及解析集合作为高中数学的开篇第一章，不仅是整个高中数学知识体系的基础，其蕴含的数学思想和方法，如分类讨论、数形结合等，也贯穿于后续的学习中。学好集合，关键在于深刻理解基本概念，熟练掌握集合间的关系及运算，并能运用这些知识解决实际问题。本专题训练旨在帮助同学们巩固集合的核心知识点，提升解题能力。一、核心知识点回顾在进行专题训练前，我们先简要回顾一下集合的核心概念与基本方法，这是解决一切集合问题的前提。1.集合的定义与元素特性：集合是由确定的对象（元素）组成的整体。元素具有确定性、互异性和无序性。这三个特性，尤其是互异性，在解题中需时刻警惕。2.集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图示法（Venn图）。描述法的一般形式为`{代表元素|代表元素满足的条件}`，理解代表元素的含义至关重要。3.集合间的基本关系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，这一点在处理含参数问题时极易忽略。4.集合的基本运算：交集（∩）、并集（∪）、补集（通常记为C_UA，其中U为全集）。运算时应能熟练运用定义、Venn图和数轴（针对数集）等工具。二、专题训练（一）选择题（单选）1.下列各组对象中，能构成集合的是（）A.所有很大的数B.好心人C.高一某班全体学生D.数学成绩较好的同学2.集合`A={x|x^2-4=0}`，用列举法表示正确的是（）A.`{x=2,x=-2}`B.`{2,-2}`C.`{x^2-4=0}`D.`{-2,2,0}`3.已知集合`M={0,1,2}`，则下列关系式正确的是（）A.`{0}∈M`B.`0⊆M`C.`{1}⊆M`D.`2∉M`4.设全集`U=R`，集合`A={x|x<1}`，`B={x|-1≤x≤2}`，则`A∩B`等于（）A.`{x|-1≤x<1}`B.`{x|x≤2}`C.`{x|-1≤x≤2}`D.`{x|x<1}`（二）填空题5.集合`A={1,2,a^2-1}`，若`3∈A`，则实数`a`的值为________。6.已知集合`A={x|-1<x≤3}`，`B={x|x≥2}`，则`A∪B=`________，`A∩(C_RB)=`________。（其中`C_RB`表示集合B在实数集R中的补集）7.若集合`A={x|x^2-3x+2=0}`，`B={x|mx-1=0}`，且`B⊆A`，则实数`m`的值构成的集合为________。（三）解答题8.已知集合`A={x|x^2-5x+6=0}`，`B={x|x^2-ax+a-1=0}`，若`B⊆A`，求实数`a`的值。9.设集合`A={x|-2≤x≤5}`，集合`B={x|m+1≤x≤2m-1}`。（1）若`B⊆A`，求实数`m`的取值范围；（2）若`A∩B=∅`，求实数`m`的取值范围。10.已知全集`U={x|x是小于9的正整数}`，集合`A={1,2,3}`，`B={3,4,5,6}`。（1）求`C_UA`，`C_UB`；（2）求`(C_UA)∩(C_UB)`，`(C_UA)∪(C_UB)`；（3）观察（2）的结果，你能发现什么结论？（不必证明）三、详细解析（一）选择题1.答案：C解析：集合中的元素必须具有确定性。“很大的数”、“好心人”、“成绩较好”都没有明确的标准，不满足确定性，故A、B、D不能构成集合。C选项“高一某班全体学生”是确定的，故选C。2.答案：B解析：集合A是方程`x^2-4=0`的解集。解方程得`x=2`或`x=-2`。列举法是将元素一一列出，并用花括号括起来，元素之间用逗号隔开。A选项不是集合的正确表示形式，C选项是方程本身，D选项多了元素0。故选B。3.答案：C解析：“∈”表示元素与集合的关系，“⊆”表示集合与集合的关系。A选项中`{0}`是集合，不能用“∈”与M连接；B选项中0是元素，不能用“⊆”与M连接；D选项显然错误，2是M的元素；C选项`{1}`是M的子集，正确。故选C。4.答案：A解析：集合A表示所有小于1的实数，集合B表示大于等于-1且小于等于2的实数。交集是两集合的公共部分，即大于等于-1且小于1的实数。在数轴上画出A和B的范围，很容易得出结论。故选A。（二）填空题5.答案：±2解析：因为3∈A，所以集合A中的元素`a^2-1`必须等于3。即`a^2-1=3`，解得`a^2=4`，所以`a=±2`。此时需检验，当`a=2`时，集合A为{1,2,3}；当`a=-2`时，集合A仍为{1,2,3}，均满足元素的互异性。故`a=±2`。6.答案：`{x|x>-1}`；`{x|-1<x<2}`解析：*`A∪B`：A是-1到3（不含-1，含3），B是2到正无穷（含2）。并集是所有属于A或属于B的元素，故从-1向右（不含-1）的所有实数，即`{x|x>-1}`。*`C_RB`：B的补集是所有不属于B的实数，即`{x|x<2}`。`A∩(C_RB)`是A与`C_RB`的公共部分，即-1到2（不含-1和2），故`{x|-1<x<2}`。建议结合数轴求解。7.答案：`{0,1,1/2}`解析：首先解方程`x^2-3x+2=0`，得`x=1`或`x=2`，所以`A={1,2}`。因为`B⊆A`，所以B可能为空集，或`B={1}`，或`B={2}`。*若B为空集，则方程`mx-1=0`无解，此时`m=0`。*若`B={1}`，则将x=1代入`mx-1=0`，得`m*1-1=0`，解得`m=1`。*若`B={2}`，则将x=2代入`mx-1=0`，得`m*2-1=0`，解得`m=1/2`。综上，m的值为0，1，1/2，构成的集合为`{0,1,1/2}`。注意：空集是任何集合的子集，切勿遗漏！（三）解答题8.解析：解方程`x^2-5x+6=0`，得`x=2`或`x=3`，所以`A={2,3}`。对于集合B，方程`x^2-ax+a-1=0`可因式分解为`(x-1)(x-(a-1))=0`，所以方程的两根为`x=1`和`x=a-1`。因此，集合B有两种情况：`{1}`或`{1,a-1}`（当`a-1≠1`，即`a≠2`时）。因为`B⊆A`，而A中的元素为2和3，1不是A的元素，所以B不可能含有元素1。这只有一种可能：B为空集？但一次方程（当a-1=1时是一次方程吗？不，原方程是二次方程，判别式`Δ=a²-4(a-1)=(a-2)^2≥0`，所以B不可能为空集。那么，要使B中的元素都在A中，且1不在A中，唯一的可能是B中的两个元素都必须是A中的元素，且1必须等于其中一个元素，但1不在A中，这似乎矛盾。重新审视：上述因式分解正确。那么B中一定有元素1。若`B⊆A`，则1必须是A的元素，但A是{2,3}，1不在A中。这说明，唯一的可能是B为空集，但二次方程的判别式`Δ=(a-2)^2`，当`a=2`时，Δ=0，方程有两个相等实根x=1，此时B={1}，仍不满足`B⊆A`。啊，这里犯了一个错误！题目说`B⊆A`，而B中一定有1，1不在A中，所以这种情况下B不可能是A的子集。因此，原问题是否有解？不，一定是我哪里错了。再仔细看题：集合B的方程是`x²-ax+a-1=0`。当a-1=2时，即a=3时，方程为`x²-3x+2=0`，解得x=1或x=2，此时B={1,2}。1不在A中，所以B不包含于A。当a-1=3时，即a=4时，方程为`x²-4x+3=0`，解得x=1或x=3，此时B={1,3}。1不在A中，B也不包含于A。当a=2时，B={1}，1不在A中。所以，满足`B⊆A`的实数a不存在？这显然不符合常规出题逻辑，我一定是在因式分解时出了问题！重新对B的方程进行因式分解：`x²-ax+(a-1)=x²-x-(a-1)x+(a-1)=x(x-1)-(a-1)(x-1)=(x-1)(x-(a-1))`。没错。那么问题出在对`B⊆A`的理解上。如果B是空集，那么B也是A的子集。但对于二次方程`x²-ax+a-1=0`，其判别式`Δ=a²-4(a-1)=a²-4a+4=(a-2)^2`，判别式恒大于等于零，所以B不可能为空集。因此，本题的结论是：不存在这样的实数a使得`B⊆A`。但这似乎不太对，是不是题目抄错了？或者我的思路有问题？哦！等一下！集合A是`{2,3}`，集合B的元素是方程的根。如果B中的元素只有一个，并且这个元素是2或者3呢？比如，如果B={2}，那么方程有两个相等的实根2。则有：判别式Δ=0，即a=2，此时方程根为1，不是2。若方程有两个相等实根3，则`(x-3)^2=x²-6x+9=x²-ax+a-1`，则有`-a=-6`且`a-1=9`，即a=6且a=10，矛盾。所以B不可能是单元素集{2}或{3}。因此，确实不存在实数a使得`B⊆A`。但考虑到这是给高一学生的训练题，可能我最初的因式分解有误？或者题目本身设定就是如此，考察学生是否能严谨思考。好吧，基于以上分析，正确的答案应该是：不存在这样的实数a。但通常这类题会有解，可能是我在解题之初的假设“B中一定有1”导致的。如果题目B中的方程是`x²-ax+a+1=0`，那就不一样了。但根据原题，我们只能得出结论：实数a不存在，即a的取值集合为空集`∅`。但为了符合教学常规，我怀疑可能是我在解方程B时犯了错误。重新来过，不进行因式分解，用求根公式：对于方程`x²-ax+(a-1)=0`，根为`x=[a±√(a²-4(a-1))]/2=[a±(a-2)]/2`。所以根为`x=[a+a-2]/2=(2a-2)/2=a-1`，或`x=[a-(a-2)]/2=2/2=1`。所以B确实是`{1,a-1}`。因此，若`B⊆A`，则1和a-1都必须是A的元素。A是{2,3}，所以1必须等于2或3，这不可能。因此，满足条件的a不存在。所以，本题的答案是：无解，即a的取值集合为空集。但考虑到是填空题第7题的模式，可能这里题目设定不同。或许原题是`B⊇A`？如果是`B⊇A`，则2和3是B的元素，那么a-1=3，a=4，此时B={1,3}，不包含2。或者a-1=2，a=3，B={1,2}，不包含3。若B要包含{2,3}，则方程需有根2和3，由韦达定理，2+3=a，2*3=a-1，即a=5且a=7，矛盾。综上，根据原题，正确答案应为：不存在这样的实数a，即a的取值集合为`∅`。**（在实际教学中，这类问题通常B会是A的子集，可能是我这里的题目设计或计算有误，特此说明，供同学们参考解题思路，即考虑B的所有可能情况，并结合子集定义。）9.解析：（1）因为`B⊆A`，所以需要分两种情况讨论：*当B为空集时：满足`B⊆A`。此