奥数巧妙求和方法四年级专项练习

奥数巧妙求和方法四年级专项练习同学们，在数学的世界里，求和运算无处不在。从简单的1+2+3，到复杂一些的数列求和，掌握巧妙的方法不仅能提高计算速度和准确性，更能锻炼我们的观察力、思维能力和逻辑推理能力。今天，我们就一起来探索小学奥数中几种常见的巧妙求和方法，并通过专项练习来巩固这些知识，让我们的数学思维“活”起来！一、高斯求和法（等差数列求和）说起巧妙求和，不得不提的就是著名的“高斯求和”。这源于一个经典的故事：小高斯在课堂上很快算出了1到100的和。他用的方法是什么呢？核心思想：对于一组有规律排列的数（我们称之为等差数列，即每相邻两个数的差都相等），可以将第一个数（首项）和最后一个数（末项）相加，第二个数和倒数第二个数相加……它们的和都相等。然后用这个相等的和乘以组数（也就是项数的一半），就能得到总和。公式：总和=（首项+末项）×项数÷2关键概念：*首项：数列中的第一个数。*末项：数列中的最后一个数。*项数：数列中数的总个数。*公差：每相邻两个数的差（高斯求和法适用于公差相同的数列）。例题1：计算1+2+3+...+9+10分析与解答：这是一个首项为1，末项为10，项数为10的等差数列。总和=（1+10）×10÷2=11×10÷2=55例题2：计算3+6+9+...+27+30分析与解答：首项=3，末项=30，公差=3。先求项数：（末项-首项）÷公差+1=（30-3）÷3+1=27÷3+1=9+1=10（项）总和=（3+30）×10÷2=33×10÷2=165二、分组求和法当数列中的数没有明显的等差关系，但可以通过两两配对或按一定规律分组，使每组的和相等或呈现简单规律时，我们可以采用分组求和法。例题3：计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12分析与解答：观察发现，算式可以每三个数分为一组：（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+（10+11-12）每组的结果都是：0+3+6+9=？现在这组结果（0,3,6,9）又构成了一个等差数列，首项0，末项9，项数4。总和=（0+9）×4÷2=9×4÷2=18例题4：计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1分析与解答：可以将相邻的两个数分为一组：（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）每组的结果都是1，一共有5组。总和=1×5=5三、利用中间数（平均数）求和对于一些项数为奇数，且排列对称的数列，中间的那个数就是这组数的平均数。因此，总和=中间数×项数。例题5：计算1+3+5+7+9分析与解答：这是一个等差数列，项数是5（奇数），中间数是5，它也是这组数的平均数。总和=5×5=25我们用高斯求和法验证一下：（1+9）×5÷2=10×5÷2=25，结果一致。专项练习好了，学习了这几种巧妙的求和方法，接下来就请同学们大显身手，完成下面的练习题吧！请仔细观察每道题的特点，选择最合适的方法进行计算。1.计算1+2+3+...+19+202.计算5+10+15+...+45+503.计算1+3+5+7+...+17+194.计算20-19+18-17+...+4-3+2-15.计算3+6+9+...+30+336.计算100+99-98-97+96+95-94-93+...+4+3-2-17.计算7+8+9+10+11+12+138.一个等差数列的首项是2，末项是20，公差是2，这个数列的和是多少？9.计算1-2+3-4+5-6+...+99-100+10110.有一串数：1,3,5,7,...,问这串数的前20个数的和是多少？参考答案与提示1.答案：210提示：高斯求和。（1+20）×20÷2=21×10=210。2.答案：275提示：高斯求和。首项5，末项50，公差5。项数：（50-5）÷5+1=10。总和：（5+50）×10÷2=55×5=275。3.答案：100提示：高斯求和或中间数求和。这是首项1，末项19，公差2的等差数列。项数（19-1）÷2+1=10。总和（1+19）×10÷2=100。或中间数（第5项）是9和11的中间？不，项数10是偶数，没有单一中间数，还是用高斯法保险。4.答案：10提示：分组求和。（20-19）+（18-17）+...+（2-1），共10组，每组1，1×10=10。5.答案：198提示：高斯求和。首项3，末项33，公差3。项数（33-3）÷3+1=11。总和（3+33）×11÷2=36×11÷2=198。6.答案：0提示：分组求和。每4个数一组：（100+____）+...+（4+3-2-1），每组结果都是4。共100÷4=25组。4×25=100？不对，每组内____=2，99-97=2，所以每组是4。25组就是4×25=100？哦不，等等，100+____=(____)+(99-97)=2+2=4。对，25组，4×25=100？但答案应该是100吗？或者我算错了？不，题目是100+____+...+4+3-2-1。是的，（____）+（99-97）+...+（4-2）+（3-1），这样每组2，共50组，2×50=100。对，之前的思路也对，两种分组方式，结果一样。所以答案是100。7.答案：70提示：中间数求和或高斯求和。共7个数，中间数是10，10×7=70。或（7+13）×7÷2=20×7÷2=70。8.答案：110提示：高斯求和。先求项数：（20-2）÷2+1=10。总和（2+20）×10÷2=22×5=110。9.答案：51提示：分组求和。（1-2）+（3-4）+...+（____）+101。前100个数分成50组，每组-1，共-50。-50+101=51。10.答案：400提示：高斯求和。这是首项1，公差2的等差数列。第20项（末项）=1+(20-1)×2=1+38=3