高中平面向量经典练习题1

高中平面向量经典练习题1平面向量作为高中数学的重要组成部分，其工具性作用在几何、代数乃至物理学科中都有着广泛的应用。掌握平面向量，关键在于深刻理解其核心概念与运算性质，并能熟练运用于解决实际问题。经典习题的演练，正是巩固知识、提升能力的有效途径。今天，我们就一同来探究一道具有代表性的平面向量经典练习题，希望能为同学们的学习提供一些有益的启示。经典练习题1已知向量a和b是两个非零向量，且|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°。(1)求|a+2b|的值；(2)若向量a+kb与向量2a-b垂直，求实数k的值。思路剖析本题综合考察了平面向量的模、数量积、向量的夹角以及向量垂直的充要条件等核心知识点。解决此类问题，我们通常从向量的数量积入手，因为数量积将向量的模、夹角有机地联系起来，是沟通向量运算与代数运算的桥梁。对于第(1)问，要求向量a+2b的模。我们知道，向量的模的平方等于该向量与自身的数量积，即|c|²=c·c。因此，我们可以先计算(a+2b)·(a+2b)，再对结果开方即可得到|a+2b|。对于第(2)问，两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。即若向量u与向量v垂直，则u·v=0。据此，我们可以列出关于k的方程，进而求解k的值。详解过程(1)求|**a**+2**b**|的值根据向量模的平方与数量积的关系，我们有：**a**+2**b**将上式展开，利用数量积的分配律和交换律：=a·a+a·(2b)+(2b)·a+(2b)·(2b)=|a|²+2a·b+2a·b+4|b|²=|a|²+4a·b+4|b|²已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，根据数量积的定义a·b=|a||b|cosθ，其中θ为两向量的夹角，可得：a·b=|a||b|cos60°=2×1×(1/2)=1将|a|²=4，|b|²=1，a·b=1代入上式：**a**+2**b**因此，|a+2b|=√12=2√3。(2)求实数k的值因为(a+kb)与(2a-b)垂直，所以它们的数量积为零：(a+kb)·(2a-b)=0展开上式：a·(2a)+a·(-b)+(kb)·(2a)+(kb)·(-b)=02a·a-a·b+2kb·a-kb·b=0利用数量积的交换律b·a=a·b，以及|a|²=a·a，|b|²=b·b，整理得：2|a|²+(-1+2k)a·b-k|b|²=0将|a|²=4，|b|²=1，a·b=1代入上式：2×4+(-1+2k)×1-k×1=08+(-1+2k)-k=0化简方程：8-1+2k-k=07+k=0解得：k=-7方法归纳与点睛1.向量模的计算：计算向量c的模，通常转化为计算|c|²=c·c，展开后利用已知条件求解，最后开方。这种“平方后开方”的方法是处理向量模长问题的常用策略。2.数量积的应用：数量积是联系向量模、夹角以及判断向量垂直的核心工具。其定义式a·b=|a||b|cosθ和运算律是进行向量代数运算的基础。3.方程思想：在第(2)问中，我们利用向量垂直的充要条件（数量积为零）构建了关于未知数k的方程，通过解方程求得k的值。方程思想在解决含参数的向量问题中经常用到。4.运算严谨性：在进行向量数量积的展开运算时，要注意系数的乘积和符号，确保每一步运算的准确性。变式拓展与思考若将第(2)问中的“垂直”改为“共线”，那么k的值又将如何求解呢？（提示：两向量共线的充要条件是存在实数λ，使得一个向量等于另一个向量的λ倍。）同学们在学