福建三明市2025-2026学年初中毕业班第一次质量监测数学试卷（试卷+解析）

2025-2026学年三明市初中毕业班第一次教学质量监测数学本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将答题卡交回．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.下列值满足方程的是（）A. B. C. D.2.为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是（）A. B. C. D.3.在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓是一种膜鸣类打击乐器，由圆桶形鼓框和蒙皮的鼓面构成，通过敲击鼓面振动发声，喜庆集会时击鼓的情景如图1．一个鼓的立体图形如图2所示，该立体图形的俯视图是（）A. B.C. D.4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5.图1是用杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（）A B. C. D.6.下列条件中，不能判定的是（）A. B.C. D.7.关于反比例函数，下列说法中正确的是（）A图象位于第二、四象限 B.图象关于轴对称C.当时，或 D.随的增大而减小8.如图，将视力表中两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，①号“”与②号“”是位似图形，位似中心为原点，位似比为．点在①号“”上，则点在②号“”上的对应点的坐标为（）A. B. C. D.9.某商城计划销售一种玩具，该玩具每个进货价为30元．调查发现，当销售价为50元时，平均每天能售出40个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．商城要想使这种玩具的销售利润平均每天达到900元，设每个玩具降价元时，则可列方程为（）A. B.C. D.10.已知点在二次函数的图象上，若，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算___________．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，则矩形的面积为___________．13.两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为______．14.若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可）15.方程没有实数根，则的取值范围是________．16.如图，矩形中，分别是边和上的点，于点．若，则___________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解方程：．18.已知点在反比例函数的图象上，求和的值．19.如图，在中，，求的值．20.如图，在中，分别是边上的点．若，，求的长．21.在一个不透明的口袋内装有2个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．（1）每次从口袋中随机摸出一个球记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球记下颜色后放回，重复上述摸球过程，摸球结果的统计数据如下表所示：摸球的次数2050100200500摸到黑球的次数8213978201摸到黑球的频率0.400.420.390.390.402根据上表数据估计：从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为___________．（精确到0.1），袋中白球的个数为___________；（2）根据（1）中估计的白球个数，若从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，求两次摸到的球中至少有一个是黑球的概率．22.如图，在正方形中，是边上一点．（1）求作正方形，使点分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若，求正方形的面积．23.阅读材料，解决问题．通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动．如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿．（1）在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示．（2）在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”）（3）已知竹竿长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式．24.如图，在菱形中，分别是线段上的点，且与相交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，当四边形为菱形时，求的值．25.已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，，且在的左侧．（1）当时，求，的坐标；（2）求证：；（3）过点的直线与平行，与抛物线的对称轴相交于点．当变化时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2025-2026学年三明市初中毕业班第一次教学质量监测数学本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将答题卡交回．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.下列的值满足方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．通过因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴故选：B．2.为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：∵从四本著作中随机抽取一本，总共有4种等可能的结果．∵恰好抽到《九章算术》的等可能结果有1种．∴根据概率公式，所求概率为．3.在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓是一种膜鸣类打击乐器，由圆桶形鼓框和蒙皮的鼓面构成，通过敲击鼓面振动发声，喜庆集会时击鼓的情景如图1．一个鼓的立体图形如图2所示，该立体图形的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上面看得到的图形，进行判断即可．【详解】解：A、不是鼓的三视图的图形，故选项不符合题意；B、是主视图，故选项不符合题意；C、是俯视图，故选项符合题意；D、不是鼓的三视图的图形，故选项不符合题意．故选：C．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，直接根据顶点式，写出顶点坐标即可．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．故选B．5.图1是用杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据，，可以判定，根据相似三角形对应边成比例可得，根据比例关系即可求出的长度．【详解】解：，，，，，，，，，．6.下列条件中，不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项．【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定．∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定．∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定．∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意．故选D．7.关于反比例函数，下列说法中正确的是（）A.图象位于第二、四象限 B.图象关于轴对称C.当时，或 D.随的增大而减小【答案】C【解析】【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，需根据的特点，结合反比例函数的象限分布、对称性、增减性等性质逐一分析选项．【详解】解：∵反比例函数中，∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，图象关于原点中心对称．∴A选项错误，B选项错误，D选项错误（未说明在每个象限内的增减性）．对于C选项：∵当时，．当时，∵在第一象限内随的增大而减小，且时．∴时．∴当时，或，C选项正确．故选：C．8.如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，①号“”与②号“”是位似图形，位似中心为原点，位似比为．点在①号“”上，则点在②号“”上的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键．根据位似变换的性质计算，即可解答．【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点，点在号“”上的对应点的坐标为，即，故选：B．9.某商城计划销售一种玩具，该玩具每个进货价为30元．调查发现，当销售价为50元时，平均每天能售出40个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．商城要想使这种玩具的销售利润平均每天达到900元，设每个玩具降价元时，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润单件利润销售量的等量关系列方程即可．【详解】解：∵每个玩具降价元，∴单件利润为元，∵销售价每降低1元，平均每天多售出5个，∴降价元后，每天销售量为个，又∵总利润要达到900元，且总利润单件利润销售量，∴可列方程为，故选：A．10.已知点在二次函数的图象上，若，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，对于开口向上的二次函数，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，先确定对称轴，再计算各点到对称轴的距离，比较大小后得出函数值的大小关系．【详解】解：∵二次函数中，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵∴计算各点到对称轴的距离：点的距离：，点的距离：，点的距离：∵又∵开口向上的抛物线，点到对称轴越远，函数值越大，∴，故选D二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算___________．【答案】【解析】【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【详解】解：；故答案为：．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，则矩形的面积为___________．【答案】3【解析】【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．设，则，根据反比例函数的定义得，根据矩形的性质即可求出面积．【详解】解：设，则，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴矩形的面积，故答案为：313.两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算．【详解】解：两个相似多边形的周长之比为，它们的相似比为，则它们的面积之比为，故答案为：．14.若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理，添加一个角为直角或对角线相等的条件可使平行四边形成为矩形．【详解】解：四边形是平行四边形，当时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得：四边形是矩形；四边形是平行四边形，当时，根据对角线相等平行四边形是矩形，可得：四边形是矩形．故答案为：（答案不唯一）15.方程没有实数根，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式的意义．16.如图，矩形中，分别是边和上的点，于点．若，则___________．【答案】【解析】【分析】过点作于点，假设，由勾股定理求出，证明，根据对应边成比例求出，证明，利用锐角三角函数比求出，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点作于点，∵，∴，假设，∵四边形为矩形，∴，由勾股定理得，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∴，由勾股定理得，∴，整理得，解得（负值已舍），∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．【详解】解：方法一、，移项得：，配方得：，即，开方得：，方程的解为：，；方法二、其中，，，，，即，方程的解为：，；方法三、，因式分解得：，或，方程的解为：．18.已知点在反比例函数的图象上，求和的值．【答案】，【解析】【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先将代入，求出，再把代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，将代入，得，．依题意，将代入，得，．19.如图，在中，，求的值．【答案】，，【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，先运算，再把数值代入，，计算，即可作答．【详解】解：中，，根据勾股定理，．，20.如图，在中，分别是边上的点．若，，求的长．【答案】12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：，，，在和中，，∴，，即，．21.在一个不透明的口袋内装有2个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．（1）每次从口袋中随机摸出一个球记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球记下颜色后放回，重复上述摸球过程，摸球结果的统计数据如下表所示：摸球的次数2050100200500摸到黑球的次数8213978201摸到黑球的频率0.400.420.390.390.402根据上表数据估计：从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为___________．（精确到0.1），袋中白球的个数为___________；（2）根据（1）中估计的白球个数，若从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，求两次摸到的球中至少有一个是黑球的概率．【答案】（1）；3（2）【解析】【分析】本题考查频率与概率，概率公式，画树状图或列表法求概率：（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；利用概率公式列出方程求解即可；（2）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：观察表格得，从口袋中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为；设袋中白球的个数为x，根据题意，得，解得，经检验，是分式方程的解，∴估计袋中白球的个数为3；故答案为：；3；【小问2详解】解：将2个黑球，3个白球分别记为黑1，黑2，白1，白2，白3．列表如下：第一次第二次黑1黑2白1白2白3黑1

（黑2，黑1）（白1，黑1）（白2，黑1）（白3，黑1）黑2（黑1，黑2）

（白1，黑2）（白2，黑2）（白3，黑2）白1（黑1，白1）（黑2，白1）

（白2，白1）（白3，白1）白2（黑1，白2）（黑2，白2）（白1，白2）

（白3，白2）白3（黑1，白3）（黑2，白3）（白1，白3）（白2，白3）

共有20种结果，这些结果是等可能的其中摸出的球至少有一个是黑球的结果有14种，摸出的球至少有一个黑球的概率为．22.如图，在正方形中，是边上一点．（1）求作正方形，使点分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若，求正方形的面积．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．（1）在上取点，使，在上取点，使，在上取点，使，顺次连接点，，由四边形为所作的正方形；（2）证明，求得，利用勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．【小问1详解】解：如图，正方形即为所作；；【小问2详解】解：正方形，．，正方形，．，．，，．在中，．正方形面积．23.阅读材料，解决问题．通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动．如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿．（1）在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示．（2）在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”）（3）已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式．【答案】（1）见解析（2）不变，变小（3）【解析】【分析】本题考查了中心投影作图，相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）分别连接，并延长交于点P，即可求出光源位置；分别连接，并延长，交地面于点M，N，即可得出影子；（2）根据光源和竹竿高度的变化情况进行判断即可；（3）过作直线，交直线于点，通过证明，利用相似三角形的性质即可求解．小问1详解】解：如图，点为光源的位置，为的影子；【小问2详解】解：在