福建漳州市2025-2026学年九年级上学期期末阶段教学联合诊断数学试题（试卷+解析）

漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断九年级数学（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂．1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点、点分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是（）A. B. C. D.3.圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（）A. B. C. D.4.在菱形中，对角线与交于点O，则的值可以是（）A. B. C. D.5.如图，已知，，若，则的长为（）A.9 B.10 C.11 D.126.如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（）A.米 B.米 C.米 D.米7.已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）.A. B. C. D.8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.9.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（）A.米 B.5米 C.6米 D.7米10.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．11.如果两个相似多边形面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________．12.在一个不透明的口袋里装有n个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出n的值为________．13.写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________；14.一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解）15.如图，点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为_____．16.定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置解答．17.计算：18.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：．19.三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C．已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．（1）用尺规作出正方形DECF；（2）求正方形DECF的边长．21.如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．（1）求关于的函数表达式．（2）移动弹簧秤位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．22.阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值．解：设，则原方程变，整理得，即，∴，∴，∵，∴．上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知x、y满足，求的值；（2）已知a、b满足，求的值．23.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…（1）求y与x的函数表达式；（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．24.综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动．【动手操作】如图1，将平行四边形纸片沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在边上的点G处，折痕交于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在边上的点H处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点G，H及折痕，，连接，，．【初步探究】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现，证明过程如下：由折叠性质，可知，．又由平行四边形的性质，可知，∴．∴①，∴．奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一：先测量和的长度，猜想其关系为②．方法一：证明，得到，再由可证．方法二：过点G作的平行线交于点N，构造平行四边形，然后证可得结论．补充上述过程中横线上的内容：①____________；②____________．【类比探究】（2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点G作交于点M，连接．当时，求的长．

25.定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值．定义理解（1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（）A．B．C．D．深入探究（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是．①伴随值为；②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；③当时，记二次函数与图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断九年级数学（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂．1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项．【详解】解：A.是一元一次方程，不符合定义，故不符合题意；B.只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故符合题意；C.是二元一次方程，不符合定义，故不符合题意；D.是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；故选：B．2.如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点、点分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了两个图形的位似知识．位似中心为点，位似比是，则点的两个坐标分别乘，即得的坐标．【详解】解：∵两个汽球恰好是位似图形，且原点O为位似中心，其位似比为，点，∴.故选：C．3.圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可．【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，．故选：A．4.在菱形中，对角线与交于点O，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质，判断、、能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：菱形中，对角线与交于点O，由与垂直，、、能构成直角三角形，A、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；B、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；C、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；D、，则、、能构成直角三角形，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5.如图，已知，，若，则的长为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长．【详解】解：，，即：，，，故选：B．6.如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（）A米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解．【详解】解：在中，∵，∴米，故选：D．7.已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可.【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0，∴2k<0，∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；观察各选项，只有D符合.故选D.【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键.8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案．【详解】过点作于点E，于点，根据题意得：，，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴，，∵，，∴，同理：，∴，∴四边形是菱形，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．9.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（）A.米 B.5米 C.6米 D.7米【答案】B【解析】【分析】过O作，过A作于G，求出，进而求出，即可求解．【详解】过O作，过A作于G，∵米，，∴米，∵，，∴，在中，(米)，点A位于最高点时到地面的距离为(米)，答：点A到地面的距离为5米；故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形．10.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可．本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，且，故，故在每一个象限内，y随x的增大而增大，由，解得当时，则，且故，故A选项不符合题意；当时，则，且故，故B选项符合题意；当时，则，且故，故C选项不符合题意；当时，则，且，故，故D选项不符合题意；故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．11.如果两个相似多边形的面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________．【答案】【解析】【分析】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似多边形的面积比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比1：2，故答案为1：2．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．12.在一个不透明的口袋里装有n个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出n的值为________．【答案】24【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，∴，解得，经检验：是原方程的解，故答案为：24．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．13.写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________；【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意写出二次项系数为负数，一次项系数为0，常数项大于0的二次函数解析式，即可求解．【详解】解：依题意，符合条件的二次函数解析式为，故答案为：（答案不唯一）．14.一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解）【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可．【详解】解：设每年的年折旧率为，根据题意，得，故答案为：．15.如图，点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为_____．【答案】【解析】【分析】如图，延长与轴交于点由反比例函数的几何意义可得：再解方程，结合函数图像的位置可得答案．【详解】解：如图，延长与轴交于点点A在反比例函y1＝的图象上，点B在反比例函y2＝的图象上，结合反比例函数的几何意义可得：反比例函数的图像在第一，第三象限，故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的的几何意义，掌握反比例系数的几何意义是解题的关键．16.定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性：①通过代入求解；②利用判别式即可；③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得；④举反例说明不成立．【详解】解：结论①，原方程的倒方程为，将代入得，解得，故①正确；结论②，当时，判别式，两个方程均有两个不相等的实数根，故②正确；结论③，原方程无解，，即，倒方程判别式，倒方程无解，故③正确；结论④，举反例说明，当时，原方程为，若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：，即，原方程的倒方程为，，，倒方程为，是一元一次方程，只有一个根，故④错误．故答案为①②③．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置解答．17.计算：【答案】【解析】【分析】根据特殊角三角函数值即可求解．【详解】解：原式，【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案．【详解】证明：，，，，，．19.三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C．已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．【详解】解：树状图如下：列表如下：第一瓶第二瓶ABCA

B

C

∵共有6种等可能的情况数，其中混合后烧杯中溶液颜色为红色的有，，，，共4种，∴P（混合后烧杯中溶液颜色为红色）．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．（1）用尺规作出正方形DECF；（2）求正方形DECF的边长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，先作∠ACB的平分线，得到点D，再分别过点D作AC和BC的垂线，得到点E和点F，顺次连接即可；（2）设正方形的边长为x，根据题意证明△AED∽△ACB，得到，求解即可.【详解】解：（1）如图，∴正方形DECF就是所求的；（2）设正方形的边长为x，则AE=4－x，在正方形DECF中，DE∥CF∴∠AED=∠ACB，∵∠A=∠A∴△AED∽△ACB∴∴∴x=∴正方形DECF边长为.【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和相似三角形的应用.21.如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．（1）求关于的函数表达式．（2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．【答案】（1）关于的函数解析式为（2）弹簧秤的示数的最小值为【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解；（2）根据反比例函数图形的性质即可求解．【小问1详解】解：由题意设，把，代入，得，∴关于的函数解析式为．【小问2详解】解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，∵，∴随的增大而减小，∴把代入，得，∴弹簧秤的示数的最小值为．【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键．22.阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值．解：设，则原方程变为，整理得，即，∴，∴，∵，∴．上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知x、y满足，求的值；（2）已知a、b满足，求的值．【答案】（1）18（2）或1【解析】【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论；（2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论．【小问1详解】解：设，则原方程可变为，解得：，，，．【小问2详解】解：设，则原方程可变为，即，解得：，或1，或1．23.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…（1）求y与x的函数表达式；（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】（1）（2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元（3）2【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解∶设y与x的函数表达式为，把，；，代入，得，解得，∴y与x的函数表达式为；【小问2详解】解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；【小问3详解】解：设日销售利润为w元，根据题意，得，∴当时，有最大值为，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴，化简得解得，当时，,则每盒的利润为：,舍去，∴m的值为2．24.综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动．【动手操作】如图1，将平行四边形纸片沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在边上的点G处，折痕交于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在边上的点H处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点G，H及折痕，，连接，，．【初步探究】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现，证明过程如下：由折叠的性质，可知，．又由平行四边形的性质，可知，∴．∴①，∴．奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一：先测量和的长度，猜想其关系为②．方法一：证明，得到，再由可证．方法二：过点G作平行线交于点N，构造平行四边形，然后证可得结论．补充上述过程中横线上的内容：①____________；②____________．【类比探究】（2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点G作