四川省成都市武侯区2025-2026学年上学期九年级中考一诊数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度上期期末考试试题九年级数学注意事项：1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答．3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1.某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）A B. C. D.2.如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（）A. B. C. D.3.如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（）A.不变 B.变小 C.变大 D.先变小，再变大4.如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（）A. B. C. D.5.从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（）A.位似变换 B.对称变换 C.旋转变换 D.平移变换6.某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（）A. B.C. D.7.如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（）A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率B.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率8.已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.已知，则的值为_____．10.如图，在正方形中，，点分别是边中点，连接，则四边形的面积为_____．11.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．12.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）．13.如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.解方程：（1）；（2）．15.在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度．16.【阅读理解】有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色．请根据该知识完成下列各题．【问题解决】现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．（1）从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______；（2）从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率．17.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求及的长．18.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．（1）求k的值；（2）平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；（3）在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____．20.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____．21.若，则m的值为____．22.如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____．23.定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.“2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”便利．某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售．为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元．（1）求每次降价的百分率；（2）由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现：当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克；售价每降低1元，平均每天可多售出25千克．商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？25.如图，在中，点E是线段中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．（1）求的值；（2）当时．i）如图1，若的面积是，求k的值；ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．26.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．（1）连接，与一次函数的图象相交于点．i）求点坐标及的长；ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；（2）连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2025-2026学年度上期期末考试试题九年级数学注意事项：1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答．3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1.某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查根据三视图判断几何体．根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可．【详解】解：由于这个几何体的俯视图是“凸”形可知其底面是“凸”形，主视图和左视图都是长方形，因此这个几何体是．故选：D．2.如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出其长是解题的关键．先依据菱形“对角线互相垂直平分”的性质，求出对角线一半的长度()，再在中用勾股定理算出菱形边长，最后根据菱形四边相等的性质，计算出周长为．【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点，∴∵，∴在中：∵菱形的四条边相等，∴该菱形的周长是，故选：C．3.如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（）A.不变 B.变小 C.变大 D.先变小，再变大【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．根据中心投影的特点即可得出答案．【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大．故选：C．4.如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，即，求出即可．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，解得：．故选：D．5.从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（）A.位似变换 B.对称变换 C.旋转变换 D.平移变换【答案】A【解析】【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可．【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换．故选：A．6.某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设一段丝带长为，则另一段为，每个正方形的边长等于其周长除以，面积等于边长的平方，面积之和为，然后列出方程，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．【详解】解：∵一段丝带长为，围成正方形，∴边长为，面积为，∵另一段为，∴围成正方形，边长为，面积为，∵面积之和为,∴，故选：．7.如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（）A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率B.掷一枚质地均匀骰子，掷得的点数是的频率C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率【答案】B【解析】【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可．【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意；、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意；、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意；、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下，一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种，所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意；故选：．8.已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性．根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，得出A，B两点的坐标，进而求出k的值．【详解】解：设反比例函数为，∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，∴点A、B关于原点对称．又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，∴点A的纵坐标是，点B的横坐标是．∴，．∵反比例函数的图象过点A，∴，即．故选：B．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.已知，则的值为_____．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．10.如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可．【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，∵点分别是边的中点，∴，∴四边形的面积为：．故答案为：9．11.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．【答案】k≤【解析】【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可．【详解】解：由题意得∆=9-4k≥0，解得k≤．故答案为：k≤．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．12.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性．由反比例函数的增减性求得结果．【详解】解：∵，∴，即，∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小，∵点，横坐标，，，∴点在第三象限，点和在第一象限，∴，，．又∵在第一象限内，随的增大而减小，且，∴．综上所述，．故答案为：．13.如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解．【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且，∴，由折叠得，，设，则，∵，∴，∴，解得，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：，∴，【小问2详解】解：或，15.在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的知识点相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，利用公共角和直角证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度．【详解】如图，过点作交，于点，，由题意可得：，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．答：旗杆高度为．16.【阅读理解】有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色．请根据该知识完成下列各题．【问题解决】现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．（1）从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______；（2）从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用列表或画树状图方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液），列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A，∴紫色石蕊溶液的概率是：；【小问2详解】解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下：

ABCDA

B

C

D

由表可知，共有12种等可能出现的结果，∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，∴混合后变红的概率为.17.如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求及的长．【答案】（1）证明见解析；（2）的长为，的长为．【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证；（）由四边形是菱形，得，又，所以，即，解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解．【小问1详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的长为，的长为．18.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．（1）求k的值；（2）平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；（3）在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．【答案】（1）（2）；（3）或或【解析】【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．（1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案；（2）求出和，得到，即可求出答案；（3）分三种情况进行解答即可．【小问1详解】解：如图，设线段交轴于点，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，设直线的解析式为，则,解得，∴，∴，解得，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵对应点D落在轴上，∴向下平移4个单位，∵的对应点为点，∴点的纵坐标为∵点C落在反比例函数的图象上，∴∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C，∴，∴，∴四边形的面积为；【小问3详解】解：设，，直线的解析式为，当点在第三象限时，当点是的中点时，，∴，解得或（舍去）∴，当时，，，∴∴∴，解得（舍去）或∴，当点在第一象限时，当时，，，∴∴∴，解得或（舍去）∴，当点是的中点时，，∴，解得（舍去）或，∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍．综上可知，或或B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值．根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴．故答案为：．20.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，含角直角三角形的性质，矩形的性质，在中，利用含角直角三角形的性质求出和的长度，结合得到的长度，再根据矩形性质和三角函数求出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出值．【详解】解：过点作轴，垂足为点，在中，，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴点的坐标为，∵顶点D在反比例函数的图象上，∴．故答案为：．21.若，则m的值为____．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零．详解】由，得．代入，分子，所以，即．两边乘以2，得．所以，整理得，因式分解得，解得或．检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足．故答案为：或．22.如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角度关系推导及线段长度计算等几何综合知识．该解题过程先通过截取并作构造辅助线，再利用角度关系推导出，结合相似三角形的性质求出和的长度，接着通过等腰三角形三线合一及全等三角形的性质得到，最后代入线段长度计算出的值．【详解】解：截取，作于点，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴由，得，∴，∴由，得，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，则的长为，故答案为：．23.定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目．【详解】解：设双曲线上任意一点为，则，将横、纵坐标分别乘以，得到对应点，令，，则，代入得：，即，边：设解析式为，代入得：，解得，∴边解析式为，同理，得：边：从到，解析式为；边：从到，解析式为；情况一：双曲线的“位图形”在第一象限，∴联立方程，得，整理，得，∴，解得：，情况二：，∴“k位图形”的点在第三象限,∵点，将点的坐标代入“位图形”中，∴得到一个关于的方程，解得：或（舍去），∵“位图形”与的边有两个交点，结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点；∴，当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点∴与的边有两个交点，故答案为：或．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.“2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”的便利．某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售．为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元．（1）求每次降价的百分率；（2）由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现：当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克；售价每降低1元，平均每天可多售出25千克．商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？【答案】（1）（2）榴莲的售价应为每千克30元【解析】【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．（1）设每次降价的百分率为x，根据“经过两次降价后，每千克售价为32.4元”列出方程求解即可；（2）设这批榴莲每千克应降价y元，根据“商城要想使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元”列出方程求解即可．【小问1详解】解：设每次降价的百分率为x，依题意得，解得，（不合题意，舍去），答：每次降价的百分率是．【小问2详解】解：设这批榴莲每千克应降价y元；根据题意得：整理得：解得：，（舍去）∴这批榴莲每千克应降价2元，则这批榴莲每千克的售价为：（元）答：这批榴莲的售价应为每千克为30元．25.如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．（1）求的值；（2）当时．i）如图1，若的面积是，求k的值；ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．【答案】（1）（2）i）；ⅱ）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案；（2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案．【小问1详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵点E是线段的中点，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：i）如图所示，连接，由（1）可得，∴，，∴同理可得，∵的面积是8，∴；∵点E是线段的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得或（舍去）；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，由（1）（2）得，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；设，∵，，∴，∴，即，∴；设，则，由（2）i）得，则（平行线的性质），在和中，由勾股定理得，∴，∴