安徽淮北市2025-2026学年度第一学期学校自测评价 九年级数学试题卷（试卷+解析）

2025-2026学年度第一学期学校自测评价九年级数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在试卷上无效．第I卷（选择题）一、选择题：（每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的值为（）A.2 B.3 C. D.2.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A.圆 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰三角形3.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.顶点坐标是C.与轴有两个交点 D.对称轴直线4.如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（）A. B. C. D.5.若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（）A B. C. D.6.在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.7.如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（）A.2 B.3 C.4 D.58.如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（）A B.C. D.9.如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（）A. B. C. D.10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是()A.1 B.2 C.3 D.4第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.如图，内接于，直径，若，则______°．12.点是线段的黄金分割点，且，若，则__________．13.如图，，以线段端点为圆心、长度为半径作圆，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为______．14.如图，抛物线的图象交轴于点和，交轴于点，连接，直线与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交于点．（1）点的坐标是______；（2）的最大值是______；三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．15.计算：．16.如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长．四、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．17.已知是坐标原点，A、的坐标分别为，．（1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形；（2）的面积为_________．（3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________．18.对于抛物线．（1）将抛物线的解析式化为顶点式；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）结合图象，当时，取值范围_____．五、解答题：本题共2小题，每小题10分，共20分．19.（1）如图1，用无刻度直尺和圆规，过上一点，作直线与相切（不写作法，只保留作图痕迹）．（2）如图2，在上任取一点，连接，交于点，连接交于点．求证：．20.暑假期间，小明一家到相山风景区登山．他们从大门处出发，先步行到达缆车入口处，再从处坐缆车到达电视塔底处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，假设，，，在同一平面内．（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；（2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，，，，）六、解答题：本题共2小题，每小题12分，共24分．21.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．（1）求和的值；（2）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．22.【项目背景】在校园创业实践活动中，你的小组计划经营一家“鲜鱼小丸子”小店，销售手工制作的鱼丸．经测算，每千克鱼丸的成本为元．试营业期间，定价元/千克时，每月可售出千克．市场调研发现，售价每上涨1元，销售量减少千克；每下降1元，销售量增加千克．作为项目财务负责人，请你完成以下利润分析任务．【任务1】若售价定为元/千克，求月销售量和月销售利润；【任务2】设售价为元/千克，月销售利润为元．建立关于的函数关系式，并求月销售利润的最大值及此时的售价；【任务3】如果小店每月还需支付元摊位租金，并且希望每月利润不低于元，请结合图形，直接写出售价的取值范围______．七、解答题：本题14分．23.在△ABC中，AB=AC，点D为AB边上一动点，∠CDE=∠BAC=，CD=ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若=60°，则∠EBA=，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当=90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA=，请直接写出线段EF的长度2025-2026学年度第一学期学校自测评价九年级数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在试卷上无效．第I卷（选择题）一、选择题：（每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查比例的性质．根据，可设，，代入约去k即可得．【详解】解：∵，∴可设，，∴，故B正确．故选：B．2.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A圆 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.顶点坐标是C.与轴有两个交点 D.对称轴是直线【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象、性质、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二次函数的解析式为顶点式形式，通过分析开口方向、顶点坐标、判别式及对称轴判断各选项正误．【详解】解：∵二次函数，，开口向上，故A错误；顶点坐标为，故B正确；令，得，即，无实数解，∴

与x轴没有交点，故C错误；对称轴为直线，故D错误，故选：B．4.如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可．【详解】在中，，∴，在中，，∴的直径为，即最长的弦长是．故选：D．5.若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式．【详解】解：∵反比例函数图象经过点，∴设解析式为，代入得，∴，∴解析式为．验证选项：A．：当时，，不满足；B．：当时，，不满足；C．：当时，，不满足；D．：当时，，满足．∴函数图象必经过点．故选：D．6.在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．设，根据勾股定理求出，再根据即可得出结果．【详解】解：如图所示，，设，则，∴．故选：C．7.如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解．【详解】解：设点的纵坐标为，∵点在反比例函数的图象上，∴点的坐标为；∵轴，点在反比例函数的图象上，∴点的坐标为；∴；∵点在轴上，∴中边上的高为；∴的面积为；故选：B．8.如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则．【详解】解：在和中，为公共角．选项A：∵，且，∴根据两角对应相等，两个三角形相似，；选项B：∵，且，∴根据两角对应相等，两个三角形相似，；选项C：∵，即，且，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，；选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件，∴不能判定．故选：D．9.如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义．如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论．【详解】解：如图，过点作交于点．设，则，，，，，，∴，，，故选：B．10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】抛物线开口向上，则a＞0，故①正确；由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确；点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，则ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确；故答案为：C．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.如图，内接于，是直径，若，则______°．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理的应用，关键是利用“直径所对的圆周角为直角”和“同弧所对的圆周角相等”的性质，结合直角三角形的角度关系求解．【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴；∵与都是弧所对的圆周角，∴；在中，；故答案为：．12.点是线段的黄金分割点，且，若，则__________．【答案】【解析】【分析】试题分析：根据黄金分割的定义，当BC是较长线段时，得到BC=AB，把AB=20cm代入计算即可．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC<BC），AB=20cm，∴BC=AB=×20=10−10（cm）．故答案为：（10−10）．【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．13.如图，，以线段端点为圆心、长度为半径作圆，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查切线的性质和旋转的性质，解直角三角形，设旋转后与相切于点，连接，分在上方，在下方，两种情况讨论，解直角三角形求得，再利用角的和差可求得结果，理解题意，分两种情况分析是解题关键．【详解】解：设旋转后与相切于点，连接，当在上方时，如图，，即，，∴，∴，∵，∴；当在下方时，如图，同理，得，∴；综上，的度数为或．故答案为：或．14.如图，抛物线的图象交轴于点和，交轴于点，连接，直线与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交于点．（1）点的坐标是______；（2）的最大值是______；【答案】①.②.2【解析】【分析】（1）将点A，点C的坐标代入函数解析式求得b，c值即可；所求得的抛物线解析式，令，解出一元二次方程的两根，即可求出点B的坐标；（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，可得，根据其性质将求最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，设点坐标，利用两点间的距离公式表示出线段，以及利用抛物线的对称轴公式，求出二次函数的最大值，即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线的图象交轴于点和，∴，解得：；点的坐标是故答案为：（2）由题意得，点在轴右侧，作轴交于点，如图，∴，，直线与轴交于点，，∵，当，则，即，，，设直线的解析式为，将代入，得，解得设直线的解析式为，设点，则当时，的值最大，最大值为2.故答案为：【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，难度较大．三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解．【详解】解：16.如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长．【答案】【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明，得到，即可求出答案．【详解】解：四边形为菱形，．四、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．17.已知是坐标原点，A、的坐标分别为，．（1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形；（2）的面积为_________．（3）若点在线段上，点对应点的坐标为_________．【答案】（1）见解析（2）10（3）【解析】【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键．（1）根据位似图形的性质得出，然后再顺次连接即可；（2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答；（3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：的面积为：．【小问3详解】解：点在线段上，点D对应点的坐标为．故答案为：．18.对于抛物线．（1）将抛物线的解析式化为顶点式；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）结合图象，当时，的取值范围_____．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键．（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用描点、连线的方法画出图形即可；（3）根据函数图象回答即可．【小问1详解】解：，∴抛物线的顶点式为：；【小问2详解】解：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，函数图象如图所示：【小问3详解】解：根据函数图象可知：当时，y的取值范围．故答案为：．五、解答题：本题共2小题，每小题10分，共20分．19.（1）如图1，用无刻度直尺和圆规，过上一点，作直线与相切（不写作法，只保留作图痕迹）．（2）如图2，在上任取一点，连接，交于点，连接交于点．求证：．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，作图—复杂作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．（1）连接并延长，过点作的垂线即可；（2）由，可得，再根据切线的性质及垂线的性质可得，得到，进而推出，再结合对顶角相等得到，等量代换得到，即可得出结论．【详解】（1）解：作图如图所示：（2）证明：，，与相切于点，，即，，，，，，，又，，．20.暑假期间，小明一家到相山风景区登山．他们从大门处出发，先步行到达缆车入口处，再从处坐缆车到达电视塔底处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，假设，，，在同一平面内．（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；（2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，，，，）【答案】（1）小明一家步行上升的垂直高度约（2）缆车的行驶路线的长约为【解析】【分析】本题考查了根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算，坡度坡比问题(解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．（1）先作垂线，构造直角三角形，再利用正弦求解；（2）先作垂线，再证明四边形为矩形，从而可得，再根据求得，从而可利用正弦求得．【小问1详解】解：如图，过点作于，在中，，米∴，∴小明一家步行上升的垂直高度约；【小问2详解】解：如图，过点作于，∵，，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴缆车的行驶路线的长约为．六、解答题：本题共2小题，每小题12分，共24分．21.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．（1）求和的值；（2）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．【答案】（1），（2）点的坐标为或【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题．关键是利用菱形的对称性确定点的坐标，再结合函数解析式求解参数，最后通过面积公式确定点的坐标．（1）利用菱形关于对角线对称的性质结合点在第一象限的位置确定其坐标；再将点代入双曲线和直线的解析式，求解和的值．（2）先计算菱形的面积，根据题意得到的面积；设点的坐标为，利用三角形面积公式建立方程，求解得到的值，进而确定点的坐标．【小问1详解】解：∵四边形菱形，∴与关于即轴对称，∵点，∴点的坐标为．∵点在双曲线上，∴；∵点在直线上，∴，解得；【小问2详解】解：如图，连接，设直线与轴的交点为，则．∵四边形为菱形，，，∴根据菱形对称性，，∴，，∴．∵，∴．点是直线上一动点，设点的坐标为，则①当时，，解得∴；②当时：，解得∴．综上，点的坐标为或．22.【项目背景】在校园创业实践活动中，你的小组计划经营一家“鲜鱼小丸子”小店，销售手工制作的鱼丸．经测算，每千克鱼丸的成本为元．试营业期间，定价元/千克时，每月可售出千克．市场调研发现，售价每上涨1元，销售量减少千克；每下降1元，销售量增加千克．作为项目财务负责人，请你完成以下利润分析任务．【任务1】若售价定为元/千克，求月销售量和月销售利润；【任务2】设售价为元/千克，月销售利润为元．建立关于的函数关系式，并求月销售利润的最大值及此时的售价；【任务3】如果小店每月还需支付元摊位租金，并且希望每月利润不低于元，请结合图形，直接写出售价的取值范围______．【答案】【任务1】月销售量为千克，月销售利润为元；【任务2】关于的函数关系式为，月销售利润的最大值为元，此时售价为元/千克；【任务3】售价的取值范围为【解析】【分析】本题考查了二次函数在营销问题中的应用，包括利润计算、函数关系式建立与最值求解．关键是根据售价与销量的变化关系建立函数模型，结合二次函数的性质分析利润问题．【任务一】根据售价的上涨幅度计算销量的减少量，进而得到月销售量；再通过“利润售价-成本销售量”计算月销售利润．【任务二】分售价上涨和下降两种情况分析销量，统一得到销量与售价的关系式，再结合成本建立利润函数；利用二次函数的顶点式求最值，确定对应的售价．【任务三】在原有利润函数基础上扣除租金，根据利润等于元的条件建立方程，求解方程并结合二次函数的性质确定售价的取值范围．【详解】【任务1】解：∵售价从元/千克涨至元/千克，上涨了元，且每上涨1元销售量减少千克，∴月销售量为千克；月销售利润为元；答：月销售量为千克，月销售利润为元．【任务2】解：设售价为元/千克，则销售量为；∵销售量不能为负，∴，即，又，∴．月销售利润，二次函数开口向下，其对称轴为，∴当时，取得最大值，最大值为元；答