高等数学重点复习资料

高等数学重点复习资料高等数学是理工科学生的重要基础课程，其概念抽象、逻辑严密、应用广泛。本复习资料旨在梳理高等数学核心知识点，帮助同学们巩固基础、抓住重点、突破难点，提升综合运用数学知识解决问题的能力。复习时，应注重理解概念的本质，掌握基本方法，强化解题训练，并构建知识体系。一、函数、极限与连续性函数是高等数学的研究对象，极限是其基本工具，连续性则是函数的重要特性。（一）函数1.函数的概念：理解函数的定义，包括定义域、值域及对应法则三要素。掌握函数定义域的求法，特别是分式、根式、对数式、三角函数及反三角函数等常见函数的定义域限制。2.函数的特性：掌握函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性的定义及几何意义，并能运用定义判断函数的这些特性。3.基本初等函数与初等函数：熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数的定义域、值域、图像和性质。理解初等函数的概念，即由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数。（二）极限1.极限的定义：理解数列极限和函数极限（包括自变量趋于有限值和无穷大两种情形）的“ε-N”、“ε-δ”定义思想，虽不要求严格证明，但需理解其描述的变化趋势。2.极限的性质：掌握极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。3.极限存在准则：掌握夹逼准则和单调有界准则，并能运用它们判断某些极限的存在性及求极限。4.重要极限：熟记并能灵活运用两个重要极限公式及其变形。5.无穷小量与无穷大量：理解无穷小量、无穷大量的概念及其相互关系，掌握无穷小量的性质和等价无穷小量替换定理，这是求极限的重要方法。（三）连续性1.函数连续的定义：理解函数在一点连续的定义（包括极限形式和增量形式），掌握间断点的定义及分类（第一类间断点：可去、跳跃；第二类间断点：无穷、振荡等）。2.连续函数的运算与初等函数的连续性：了解连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数的连续性。知道一切初等函数在其定义区间内都是连续的。3.闭区间上连续函数的性质：掌握闭区间上连续函数的有界性定理、最大值最小值定理、介值定理（包括零点定理），并能运用这些性质解决一些简单的存在性问题。二、一元函数微分学微分学是研究函数变化率的学问，导数与微分是其核心概念。（一）导数与微分1.导数的概念：理解导数的定义（瞬时变化率），掌握导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度）。理解函数可导性与连续性的关系（可导必连续，连续不一定可导）。2.导数的计算：*掌握基本初等函数的导数公式。*掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则（链式法则），这是求导的核心。*掌握隐函数求导法、对数求导法、参数方程确定的函数的求导法。*理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。3.微分的概念：理解微分的定义，掌握微分的几何意义，了解微分的运算法则及一阶微分形式的不变性。掌握导数与微分的关系（可微与可导等价，dy=f'(x)dx）。（二）微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，了解柯西中值定理。这些定理是利用导数研究函数性态的理论基础，需理解其几何意义，并能用于证明一些简单的不等式或方程根的存在性。2.泰勒公式：了解泰勒中值定理（带拉格朗日余项或佩亚诺余项），掌握几个常见函数（如e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^α）的麦克劳林展开式，并能利用泰勒公式进行近似计算和极限计算。3.导数的应用：*函数单调性的判定：利用一阶导数的符号判断函数的单调区间。*函数的极值：理解极值的定义，掌握极值存在的必要条件和充分条件（一阶导数变号或二阶导数符号），会求函数的极值。*函数的最值：掌握闭区间上连续函数最值的求法，会解决简单的最值应用问题。*曲线的凹凸性与拐点：利用二阶导数的符号判断曲线的凹凸区间，会求曲线的拐点。*函数图形的描绘：综合运用函数的各种性态（定义域、奇偶性、周期性、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等）描绘函数图形。*曲率：了解曲率、曲率半径的概念及简单计算（根据专业需求）。三、一元函数积分学积分学与微分学互为逆运算，主要研究总量的计算问题。（一）不定积分1.不定积分的概念与性质：理解原函数与不定积分的定义，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式。2.不定积分的换元积分法：掌握第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（如三角代换、根式代换、倒代换等）。3.不定积分的分部积分法：掌握分部积分公式，并能熟练运用于求解幂函数与指数函数、三角函数、对数函数、反三角函数的乘积等类型的积分。4.有理函数的积分：了解有理函数积分的一般步骤（部分分式分解），会求简单有理函数、三角函数有理式及无理函数的积分。（二）定积分1.定积分的概念与性质：理解定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）及其几何意义和物理意义。掌握定积分的基本性质（线性性、区间可加性、比较定理、估值定理、中值定理等）。2.微积分基本定理：深刻理解变上限积分函数及其导数（原函数存在定理），掌握牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式），它建立了定积分与不定积分之间的联系，是计算定积分的基础。3.定积分的计算：掌握定积分的换元积分法和分部积分法，注意换元必换限，分部积分法中各部分的选取。4.反常积分：理解无穷限反常积分和无界函数反常积分（瑕积分）的概念，会计算一些简单的反常积分，并判断其敛散性。（三）定积分的应用1.几何应用：*掌握利用定积分求平面图形的面积（直角坐标、极坐标）。*掌握利用定积分求旋转体的体积（圆盘法、壳层法）及平行截面面积已知的立体体积。*会求平面曲线的弧长（直角坐标、参数方程、极坐标）。2.物理应用：（根据专业需求）*会用定积分求变力做功、液体压力、引力、质心、转动惯量等。四、多元函数微积分学多元函数微积分是一元函数微积分的推广，处理多个变量的函数问题。（一）多元函数的基本概念1.多元函数的概念：理解二元函数的定义、几何意义（曲面）。了解多元函数的极限（重极限）和连续性的概念，以及有界闭区域上连续多元函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）。2.偏导数与全微分：理解偏导数的定义及其几何意义，掌握多元函数一阶、二阶偏导数的计算。理解全微分的定义，了解函数可微、偏导数存在、连续之间的关系。掌握全微分的计算。3.多元复合函数的求导法则：掌握多元复合函数（包括抽象函数）一阶偏导数的求法，会求二阶偏导数。4.隐函数的求导公式：掌握由一个方程确定的隐函数（一元和二元）的求导方法，会求隐函数的一阶、二阶偏导数。（二）多元函数的极值1.多元函数的极值与最值：理解多元函数极值的定义，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值，会解简单的多元函数最值应用问题。2.条件极值：理解条件极值的概念，掌握拉格朗日乘数法，会求简单条件极值问题。（三）重积分1.二重积分的概念与性质：理解二重积分的定义（和式极限）及其几何意义（曲顶柱体体积）。掌握二重积分的基本性质。2.二重积分的计算：掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法（化为累次积分），会根据被积函数和积分区域的特点选择适当的坐标系和积分次序。3.三重积分：（根据专业需求）理解三重积分的概念，掌握在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分的方法。4.重积分的应用：会用二重积分求平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、质心、转动惯量等。（四）曲线积分与曲面积分（根据专业需求，这部分内容较为深入，需重点掌握基本概念和计算方法）1.第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：理解其概念、性质，掌握其计算方法（化为定积分）。2.第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：理解其概念、性质，掌握其计算方法（化为定积分），了解两类曲线积分的联系。理解格林公式的条件和结论，会运用格林公式计算曲线积分。了解平面上曲线积分与路径无关的条件，并会应用于二元函数全微分求积。3.第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：理解其概念、性质，掌握其计算方法（化为二重积分）。4.第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：理解其概念、性质，掌握其计算方法（化为二重积分），了解两类曲面积分的联系。理解高斯公式的条件和结论，会运用高斯公式计算曲面积分。了解斯托克斯公式（空间曲线积分与曲面积分的联系）。五、常微分方程微分方程是描述自然规律的重要数学工具，研究含有未知函数及其导数的方程。（一）微分方程的基本概念理解微分方程的定义、阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念。（二）一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：掌握分离变量法求解。2.齐次方程：掌握齐次方程的解法（通过变量代换化为可分离变量方程）。3.一阶线性微分方程：掌握一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法（常数变易法或公式法）。4.伯努利方程：了解伯努利方程的形式及解法（通过变量代换化为线性方程）。（三）可降阶的高阶微分方程掌握以下几类可降阶方程的解法：1.y^(n)=f(x)型2.y''=f(x,y')型（不显含y）3.y''=f(y,y')型（不显含x）（四）高阶线性微分方程1.线性微分方程解的结构：理解高阶线性齐次和非齐次微分方程解的性质及通解结构（叠加原理、齐次通解+非齐次特解）。2.二阶常系数线性齐次微分方程：掌握特征方程法求解，根据特征根的不同情况（相异实根、重根、共轭复根）写出通解。3.二阶常系数线性非齐次微分方程：掌握当非齐次项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其乘积时特解的待定系数法，进而写出通解。六、无穷级数无穷级数是表示函数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具。（一）常数项级数的概念与性质1.常数项级数的概念：理解级数收敛、发散及级数和的定义。2.级数的基本性质：掌握级数的基本性质及收敛的必要条件（级数收敛则通项趋于零）。3.正项级数及其审敛法：掌握正项级数的比较审敛法（包括极限形式）、比值审敛法、根值审敛法。4.交错级数与莱布尼茨审敛法：掌握交错级数的莱布尼茨审敛法。5.绝对收敛与条件收敛：理解绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。（二）幂级数1.幂级数的概念：理解幂级数的定义、收敛半径、收敛区间和收敛域的概念。2.幂级数的收敛性：掌握幂级数收敛半径、收敛区间的求法。了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导、逐项积分）。3.函数展开成幂级数：掌握将函数展开成泰勒级数的充要条件。熟记e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^α的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。---复习建议与方法：1.回归教材，夯实基础：重点掌握基本概念、基本