曲线运动与万有引力月考复习试卷

曲线运动与万有引力月考复习试卷一、曲线运动核心知识点总结（一）曲线运动的基本性质运动特征：轨迹为曲线，速度方向时刻变化（沿切线方向），因此曲线运动一定是变速运动。即使速度大小不变（如匀速圆周运动），由于方向变化仍属于变速运动。受力条件：合外力方向与速度方向不在同一直线，轨迹向合外力方向弯曲。根据力的效果可分解为切线方向分力（改变速度大小）和径向分力（改变速度方向）。运动合成与分解：遵循平行四边形定则，合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性。分解原则为按实际运动效果分解，例如小船渡河时分解为沿河岸和垂直河岸方向的分运动。（二）平抛运动规律运动性质：水平方向匀速直线运动（(v_x=v_0)）与竖直方向自由落体运动（(v_y=gt)）的合运动，加速度恒为(g)，是匀变速曲线运动。核心公式位移：水平位移(x=v_0t)，竖直位移(y=\frac{1}{2}gt^2)，合位移大小(s=\sqrt{x^2+y^2})速度：合速度大小(v=\sqrt{v_0^2+(gt)^2})，方向偏角(\tan\theta=\frac{gt}{v_0})时间决定因素：由竖直位移决定，(t=\sqrt{\frac{2y}{g}})（与初速度无关）重要推论：速度偏角正切值是位移偏角正切值的2倍（(\tan\theta=2\tan\alpha)），速度反向延长线交水平位移中点。（三）圆周运动物理量关系描述量及公式|物理量|定义式|与周期(T)关系|与角速度(\omega)关系||--------|--------|----------------|----------------------||线速度(v)|(v=\frac{s}{t})|(v=\frac{2\pir}{T})|(v=\omegar)||角速度(\omega)|(\omega=\frac{\theta}{t})|(\omega=\frac{2\pi}{T})|-||向心加速度(a)|(a=\frac{v^2}{r})|(a=\frac{4\pi^2r}{T^2})|(a=\omega^2r)||向心力(F)|(F=ma)|(F=m\frac{4\pi^2r}{T^2})|(F=m\omega^2r)|两种模型对比绳模型（如过山车）：最高点最小速度(v_{\text{min}}=\sqrt{gR})（重力提供向心力），速度不足时无法通过最高点。杆模型（如轻杆固定小球）：最高点最小速度为0，速度(0<v<\sqrt{gR})时杆提供支持力，(v>\sqrt{gR})时提供拉力。二、万有引力与天体运动综合应用（一）开普勒定律与万有引力定律开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴(a)的三次方与公转周期(T)的二次方比值为常量，即(\frac{a^3}{T^2}=k)（(k)仅与中心天体质量有关）。万有引力定律公式：(F=G\frac{Mm}{r^2})（(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)）黄金代换：地面附近(mg=G\frac{Mm}{R^2})→(GM=gR^2)（忽略地球自转）（二）卫星运动参量分析基本关系：万有引力提供向心力，即(G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2r}{T^2})轨道参量比较（同一中心天体）|轨道半径(r)|线速度(v)|角速度(\omega)|周期(T)|向心加速度(a)||---------------|-------------|------------------|-----------|-----------------||增大|减小|减小|增大|减小|地球同步卫星：周期(T=24,\text{h})，轨道平面与赤道共面，高度约(3.6\times10^4,\text{km})，所有同步卫星线速度、角速度大小相等。（三）天体质量与密度计算质量估算方法已知表面重力加速度(g)和半径(R)：(M=\frac{gR^2}{G})已知卫星周期(T)和轨道半径(r)：(M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2})密度公式：(\rho=\frac{M}{V}=\frac{3\pir^3}{GT^2R^3})（近地卫星(r\approxR)时，(\rho=\frac{3\pi}{GT^2})）三、典型问题分类解析（一）平抛运动与实际应用例题：一架轰炸机在距地面200m高处以200m/s的速度水平飞行，欲轰炸地面目标，求：（1）炸弹离开飞机后飞行时间；（2）应在目标前方多远处投弹？解析：（1）竖直方向自由落体：(h=\frac{1}{2}gt^2)→(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\times200}{10}}=6.32,\text{s})（2）水平射程：(x=v_0t=200\times6.32=1264,\text{m})关键：平抛运动时间由下落高度决定，与初速度无关。（二）圆周运动中的临界问题例题：长为(L)的轻绳系住质量为(m)的小球在竖直面内做圆周运动，求：（1）小球过最高点的最小速度；（2）若在最低点速度为(\sqrt{5gL})，求最高点绳拉力。解析：（1）临界条件：重力提供向心力(mg=m\frac{v^2}{L})→(v=\sqrt{gL})（2）最低点到最高点过程机械能守恒：(\frac{1}{2}m(\sqrt{5gL})^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv'^2)解得最高点速度(v'=\sqrt{gL})，此时拉力(F+mg=m\frac{v'^2}{L})→(F=0)关键：竖直圆周运动常结合机械能守恒与向心力公式，注意临界速度条件。（三）天体运动与变轨问题例题：卫星在半径(r_1)的圆轨道上运行，加速后进入椭圆轨道，近地点为(r_1)，远地点为(r_2)，求远地点速度(v_2)与原轨道速度(v_1)的关系。解析：原圆轨道：(G\frac{Mm}{r_1^2}=m\frac{v_1^2}{r_1})→(v_1=\sqrt{\frac{GM}{r_1}})椭圆轨道机械能守恒：(\frac{1}{2}mv_1^2-G\frac{Mm}{r_1}=\frac{1}{2}mv_2^2-G\frac{Mm}{r_2})解得(v_2=\sqrt{\frac{2GMr_1}{r_2(r_1+r_2)}})关键：卫星加速做离心运动进入高轨道，机械能增大，轨道半径越大线速度越小。（四）运动的合成与分解应用例题：河宽(d=200,\text{m})，水流速度(v_水=3,\text{m/s})，船在静水中速度(v_船=5,\text{m/s})，求：（1）最短渡河时间及对应位移；（2）最短渡河位移及对应时间。解析：（1）时间最短：船头垂直河岸，(t_{\text{min}}=\frac{d}{v_船}=\frac{200}{5}=40,\text{s})合位移(s=\sqrt{d^2+(v_水t)^2}=\sqrt{200^2+(3\times40)^2}=233,\text{m})（2）位移最短：船头偏向上游，合速度垂直河岸，(\cos\theta=\frac{v_水}{v_船}=0.6)渡河时间(t=\frac{d}{v_船\sin\theta}=\frac{200}{5\times0.8}=50,\text{s})关键：最短时间由垂直河岸分速度决定，最短位移需结合船速与水速大小关系判断。四、易错点与解题技巧总结平抛运动：易混淆速度偏角与位移偏角，需牢记(\tan\theta=2\tan\alpha)；计算时间时忽略竖直位移的独立性。圆周运动：误认为“向心力”是独立存在的力，实际是其他力的合力；皮带传动模型中混淆线速度与角速度关系（同一皮带线速度相等，共轴转动角速度相等）。天体运动：忽略“黄金代换”适用条件（仅地面附近）；混淆卫星发射速度与运行速度（第一宇宙速度是最小发射速度，最大运行速度）。解题技巧：曲线运动问题优先分解为直线运动（如平抛分解为水平和竖直方向）；