人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（第一课时）》教学设计

人教版九年级数学下册《26.1.2反比例函数的图象和性质（第一课时）》教学设计一、教学内容分析  本课内容隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“函数”主题，是学生系统学习函数图象与性质的承上启下之关键节点。从知识技能图谱看，学生在已掌握一次函数（包括正比例函数）的图象（直线）和性质的基础上，首次接触反比例函数这一新的函数模型。本节课的核心任务在于引导学生通过列表、描点、连线这一通用方法，亲历反比例函数图象的绘制过程，并基于图象自主探索、归纳其核心性质（分布象限、增减性）。这不仅是“函数”大概念下图象研究方法的迁移应用，也为后续学习二次函数乃至更复杂函数奠定了坚实的认知与能力基础。从过程方法路径看，课标强调“经历…探索过程”、“会用…方法画图象”、“能根据图象…探索性质”。这要求我们将教学重心从“告知结论”转向“引导探究”，将“列表、描点、连线”的操作程序升华为“数形结合”、“特殊到一般”、“分类讨论”等数学思想方法的体验场。从素养价值渗透看，本节课是发展学生数学抽象（从具体函数实例抽象出反比例函数图象的共性）、逻辑推理（从有限个点的位置推想无限趋势，归纳性质）、数学建模（图象本身就是函数关系的直观模型）以及培养严谨、求实的科学态度的绝佳载体。图象的绘制过程蕴含着对精确性的追求，性质的归纳则考验着思维的全面性与逻辑性。  基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判：已有基础与障碍方面，学生已具备利用描点法画函数图象的流程性知识，但对“光滑曲线”连接“无限趋近”的理解可能存在机械套用或认知模糊。其认知难点主要在于：一是从“直线”到“双曲线”的图象认知跃迁；二是对“在每一象限内”这一增减性前提条件的理解与表述易产生遗漏；三是对反比例函数图象与坐标轴“无限接近永不相交”这一渐近思想的抽象理解。过程评估设计上，我将通过预习任务单（前测）、课堂绘图操作的观察、小组讨论中的观点倾听、以及针对性的提问（如“为什么要把点描得密一些？”“为什么强调‘在每一象限内’？”）来动态把握学情。教学调适策略：对于基础薄弱学生，提供更细致的描点坐标清单和分步骤操作指引；对于多数学生，鼓励其独立完成绘图并尝试归纳；对于学有余力者，引导其思考“k的符号如何决定图象的位置？”“能否从解析式直接推理出性质？”等问题，实现分层推进。二、教学目标  知识目标：学生能准确描述用描点法绘制反比例函数图象的具体步骤，并能独立绘制出形如y=k/x(k≠0)的图象；通过观察多个具体实例的图象，能归纳并完整表述当k>0和k<0时，反比例函数图象的位置特征与增减性规律，理解“在每个象限内”这一关键前提。  能力目标：学生经历从具体函数解析式到列表、描点、连线的完整作图过程，提升规范操作与数据处理能力；在观察、比较、归纳图象特征的过程中，发展从具体到抽象的逻辑推理能力和运用“数形结合”思想分析问题的能力。  情感态度与价值观目标：在小组协作绘图与讨论中，体验数学探究的严谨性与合作交流的价值；通过克服从“直线”到“曲线”的认知冲突，感受数学的和谐与统一之美，增强学习新知的信心。  科学（学科）思维目标：重点发展“数形结合”思想，使学生能将反比例函数的解析式特征（k的符号）与图象的宏观分布、微观走势建立直接联系；强化“分类讨论”思想，能自觉根据k的正负分两种情况研究函数性质；渗透“从特殊到一般”的归纳思维。  评价与元认知目标：引导学生依据“列表取值合理性、描点准确性、连线光滑性”等标准，对自身或同伴绘制的函数图象进行初步评价；在课堂小结环节，能反思描点法作图的关键要点和性质归纳的思维路径，初步形成研究函数图象与性质的方法论认知。三、教学重点与难点  教学重点：反比例函数图象的绘制方法与核心性质的探索归纳。确立依据：从课程标准看，绘制图象和探索性质是理解函数模型不可或缺的环节，是函数这一“大概念”下的核心学习活动。从学业评价看，反比例函数的图象特征和增减性是中考的高频考点，不仅考查识记，更常置于新情境中考查学生运用数形结合思想分析问题的能力。掌握此重点，即为后续解决反比例函数相关问题提供了最根本的直观工具和分析依据。  教学难点：对反比例函数图象是“两支光滑曲线”的理解，以及对增减性中“在每一个象限内”这一前提条件的深刻把握。预设依据：基于学情分析，学生首次接触非线性的函数图象，容易受一次函数图象是“一条直线”的惯性思维影响，对“双曲线”由“两支”构成感到困惑。在归纳增减性时，由于图象的整体视觉呈现，极易忽略分象限讨论，从而得出“y随x增大而减小（k>0时）”这类错误结论。突破方向在于，通过足够密集的描点让学生亲眼见证图象的形成过程，并通过多角度的追问引导学生进行精细化观察与表述。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含动态绘制反比例函数图象的软件演示）、几何画板软件备用、标准坐标系黑板贴或提前在黑板上绘制好坐标系。1.2学习资料：分层设计的学习任务单（含预习问题、课堂探究记录表、分层练习）、学生用坐标纸。2.学生准备2.1知识预备：完成预习任务，回顾描点法画函数图象的步骤，复习反比例函数的概念。2.2学具：铅笔、直尺、橡皮、科学计算器。3.环境布置3.1座位安排：46人异质分组，便于开展合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出：同学们，上节课我们认识了反比例函数这个新朋友。我们知道，当路程一定时，速度与时间成反比，这可以用反比例函数来刻画。今天，我们要为它“画像”，研究它的“性格”。先看一个具体问题：一个长方形的面积是12，设它的长为x，宽为y，则y=12/x。我们想直观地看到长和宽的变化关系，该怎么办呢？对，画图象！那么，反比例函数y=12/x的图象会长什么样呢？是一条直线吗？还是别的形状？它有什么特征？2.路径明晰与旧知唤醒：我们曾用“列表描点连线”的方法为一次函数“画过像”。今天，我们同样用这个“法宝”来探究反比例函数的图象。请大家先凭经验和直觉猜一猜，y=12/x的图象可能是什么样子？并在小组内简单交流一下猜想理由。好的，光有猜想还不够，让我们动手“做数学”，一起揭开它神秘的面纱。第二、新授环节任务一：绘制反比例函数y=12/x的图象教师活动：首先，我们来研究k>0的情况，以y=12/x为例。第一步，列表。请大家思考，自变量x可以取哪些值？没错，x不能为0。为了能更全面地反映图象特征，我们在取值时要有策略：既要取正数，也要取负数；在正数范围内，既要取大于1的数，也要取0到1之间的分数。来，我们共同确定一些有代表性的值，比如x取…（引导学生说出±12，±6，±4，±3，±2，±1，±0.5等）。大家把对应的y值计算出来，填写在任务单的表格中。计算时要注意符号。好，表格完成了。第二步，描点。请大家在坐标纸上建立合适的平面直角坐标系，将表格中的每一组对应值作为点的坐标描出来。大家先别急着画，观察一下，这些点的位置分布有没有什么特点？（预设：点分布在两个区域，一三象限）。请大家准确描点。学生活动：在教师引导下共同确定自变量x的取值，独立计算对应的函数值并完成列表。建立坐标系，根据表格数据在坐标纸上仔细描出各点。观察所描点的分布情况，初步感知图象可能分居于第一、三象限。即时评价标准：1.列表时是否考虑了x取正值、负值、以及0到1之间的小数，取值是否对称且具有代表性。2.描点是否准确、清晰，坐标定位是否精确。3.能否观察到点分布在两个象限，并能口头描述这一现象。形成知识、思维、方法清单：1.★反比例函数图象绘制第一步：列表取值策略。取值需兼顾正负，并在正（负）半轴上兼顾大于1和小于1的数，以揭示图象在靠近y轴和远离y轴时的不同变化趋势。这是准确描绘图象形态的基础。2.描点法的普适性。描点法是绘制未知函数图象的通法，体现了用有限个“离散”的点去探索“连续”图象的数学思想。3.▲初步感知：对于y=12/x，所描点分别位于第一象限和第三象限，暗示其图象两支分别位于一、三象限的曲线构成。任务二：连点成线，初步认识图象形态教师活动：点描好了，接下来第三步：连线。请大家以小组为单位，在同一个坐标系中，用光滑的曲线将这两支分别连接起来。连接的时候想想，我们画一次函数图象的经验在这里还完全适用吗？这些点能用直线连接吗？（巡视指导，关注学生连线方式）。好的，我看到大部分小组都画出了两条曲线。请一个小组派代表上来展示一下你们的成果，并说说你们是怎么想的。大家同意他们的画法吗？有没有不同意见？为什么必须用光滑的曲线连接，并且要顺势延伸？（学生展示后）我们用几何画板动态演示一下取更多点时的情况，验证大家的猜想。看，随着点越来越密，图象越来越清晰，确实是两支光滑的曲线！它们有个专门的名字，叫“双曲线”。并且，大家注意观察，这两支曲线在延伸时，会不会和坐标轴碰在一起？（动态演示延伸过程）。学生活动：小组合作，尝试用光滑的曲线将同一象限内的点顺次连接。讨论能否用直线连接，思考曲线延伸的趋势。派代表展示并解释。观看几何画板动态演示，观察图象随描点增多而逐渐成形、并无限接近坐标轴但永不相交的过程。即时评价标准：1.是否意识到需用“光滑曲线”而非折线或直线连接。2.连接时是否按x值由小到大的顺序，使曲线延伸方向正确。3.能否通过观察描述图象与坐标轴“无限接近”的关系。形成知识、思维、方法清单：1.★反比例函数图象的形态：反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是由两支曲线组成的双曲线。2.★图象与坐标轴的关系：双曲线无限接近坐标轴，但永不相交。坐标轴称为双曲线的“渐近线”。这是反比例函数图象的一个核心特征。3.“光滑曲线”的意义：强调“光滑曲线”，意味着函数图象是连续的，且变化是平滑的，这是函数本质的直观体现。引导学生从“形”上感受函数的连续性。任务三：类比探究k<0时的图象教师活动：刚才我们探究了k=12>0的情况，图象在一、三象限。如果k是负数呢？它的图象又会怎样？请大家大胆类比猜想。我们的猜想需要验证。接下来，请各小组从y=12/x和y=6/x中任选一个，独立完成列表、描点、连线的全过程，绘制其图象。绘制完成后，小组内对比观察，看看k<0时，图象的共同特征是什么？与k>0时的图象有什么异同？开始行动吧！学生活动：选择其中一个函数，独立完成绘图全过程。小组内交换图象进行观察、比较，讨论k<0时图象的位置特征（在第二、四象限），并与之前k>0的图象进行对比，寻找异同（形状都是双曲线，与坐标轴都不相交，但位置不同）。即时评价标准：1.能否独立、规范地完成k<0情况下反比例函数图象的绘制。2.能否通过比较，准确归纳出k<0时图象位于二、四象限。3.能否在对比中说出k值符号对图象位置的决定性作用。形成知识、思维、方法清单：1.★系数k对图象位置的决定性影响：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。这是反比例函数图象最显著的特征之一，建立了“数”（k的符号）与“形”（图象分布）的直接联系。2.类比与归纳的思维方法：通过研究具体案例（k>0），形成方法，再将其迁移应用于新情况（k<0），最后通过比较归纳出一般规律。这是数学研究的常见路径。任务四：数形结合，深度探索增减性教师活动：现在我们认识了反比例函数图象的“样子”，接下来要研究它的“脾气”——增减性。请大家聚焦k>0（如y=12/x）的图象。在第一象限的那支曲线上，从左往右（即x增大时），图象是上升还是下降？这意味著y值如何变化？很好，y随x的增大而减小。那么，在第三象限的那支曲线上呢？也是下降的，所以y也随x的增大而减小。那么，我能不能说：对于y=12/x，y随x的增大而减小？（等待学生反应，制造认知冲突）。仔细看，取x1=1（在第三象限，y1=12），x2=1（在第一象限，y2=12），x增大了（从1到1），y怎么变了？（从12到12），y也增大了！这和刚才的结论矛盾吗？问题出在哪里？请小组讨论这个关键问题。学生活动：观察图象，分别描述第一象限和第三象限内曲线的升降趋势。面对教师提出的全局性结论与反例引发的冲突，进行小组讨论，辨析问题根源。试图用语言准确描述增减性。即时评价标准：1.能否分别准确描述每个象限内的增减趋势。2.能否发现跨越象限比较时出现的矛盾。3.能否在讨论中意识到并表述出“在每个象限内”这一前提条件。形成知识、思维、方法清单：1.★反比例函数的增减性：反比例函数的增减性必须强调前提条件。当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。2.▲易错点警示：切勿忽略“在每一个象限内”这一前提。因为图象是不连续的（被y轴隔开），函数值在跨越象限时会发生跃变。这是本节课最核心的难点，必须通过反例剖析深化理解。3.数形结合的精确性：增减性的探索充分体现了数形结合思想的威力，但同时也警示我们，从图象获取结论时必须细致、周全，考虑图象的所有特征（如不连续性）。任务五：整体建构与初步应用教师活动：经过以上探索，我们现在能否从“数”和“形”两个角度，对反比例函数的图象和性质做一个完整的梳理？请大家完成学习任务单上的结构图填空（以k的符号为分类标准，分别从图象位置、增减性等方面归纳）。完成后，我们进行一个快速判断游戏：我说出函数解析式或性质描述，大家判断对错，并说明理由。例如，“函数y=5/x的图象过点（1，5）和（1，5）”，对吗？“对于函数y=3/x，当x<0时，y随x增大而减小”，对吗？为什么？学生活动：独立完成知识结构图的梳理，构建关于反比例函数图象与性质的整体认知框架。参与判断游戏，快速反应，运用所学新知辨析正误，并清晰阐述理由，特别是针对可能出错的条件表述。即时评价标准：1.能否独立、正确地完成知识结构图，逻辑清晰。2.能否在快速判断中准确运用性质，特别是对增减性前提条件的把握。3.语言表述是否准确、规范。形成知识、思维、方法清单：1.★反比例函数y=k/x(k≠0)的图象和性质体系化总结。这是一个结构化认知的成果，应以表格或思维导图形式呈现，涵盖k>0和k<0两种情况下的图象位置、增减性、渐近线等。2.性质的应用起点：初步学会利用性质进行简单的判断和推理，如判断点是否在图象上、比较同一象限内两点函数值的大小等，这是性质学习的价值落脚点。第三、当堂巩固训练  设计分层训练：1.基础层（全体必做）：(1)说出函数y=10/x和y=7/x的图象分别位于第几象限。(2)已知点A(2，3)在反比例函数y=k/x的图象上，则k=，该图象位于第____象限。2.综合层（大多数学生完成）：(1)已知反比例函数y=(m2)/x，且当x>0时，y随x增大而增大，则m的取值范围是。(2)已知点（2，y1），（1，y2），（3，y3）在双曲线y=k/x(k<0)上，试比较y1，y2，y3的大小。3.挑战层（学有余力选做）：结合物理中的欧姆定律（I=U/R，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比），请解释当电阻R增大时，电流I的变化趋势，并从函数图象的角度画出大致的IR关系图，指出其实际意义（R>0）。  反馈机制：基础层与综合层练习通过投影展示学生答案，采用学生互评、教师精讲结合的方式。重点讲评综合层第(2)题，引导学生明确比较函数值大小时，必须先根据点的横坐标判断其所在象限，再利用增减性进行比较，这是易错点。挑战层作业请完成的学生简要分享思路，侧重建立数学与物理学科的连接，体会数学的应用价值。第四、课堂小结  知识整合与方法提炼：同学们，今天我们经历了一次完整的函数探究之旅。谁来分享一下，我们是如何认识反比例函数这位“新朋友”的？（引导总结：描点法绘图→观察归纳特征（位置、形状、与轴关系）→数形结合探索性质（增减性及其前提）→对比k的符号分类总结）。最关键的研究方法是什么？（数形结合、分类讨论、从特殊到一般）。最需要提醒大家注意的“陷阱”是什么？（增减性的前提“在每一象限内”）。  作业布置与延伸：必做作业：1.完善课堂笔记，绘制反比例函数图象与性质的知识结构图。2.教材对应练习题（基础部分）。选做作业：尝试不用描点法，仅根据y=6/x的解析式，通过逻辑推理（如考虑x、y同号可确定象限，x增大时y如何变化等），推导出它的图象特征和性质，并与图象结论相互验证。下节课我们将利用这些性质解决更复杂的问题。六、作业设计基础性作业：1.完成教材P8习题26.1第3题（描点画图），第5（1）（2）题（根据函数解析式判断图象位置）。2.填空：对于函数y=4/x，其图象位于第____象限，在每一象限内，y随x的增大而____。拓展性作业：1.已知反比例函数y=k/x的图象经过点A（2，4）。(1)求k的值，并画出该函数图象的示意图。(2)判断点B（4，2），C（1，8）是否在这个函数的图象上。(3)若x>2，写出y的取值范围。2.调查或查阅资料，寻找一个生活中或其它学科中符合反比例函数关系的实例，并简要说明其中变量间的反比例关系。探究性/创造性作业：1.在同一坐标系中画出y=6/x和y=6/x的图象，探究这两条双曲线在图形上有何对称关系？你能从解析式的角度解释这种对称性吗？2.（项目式学习萌芽）设计一个实验方案，验证当矩形面积一定时，长和宽成反比例关系。需要列出测量哪些数据，如何记录和分析数据（可画表格），并预测图象的大致形状。七、本节知识清单及拓展1.★描点法画反比例函数图象步骤：列表（自变量取值需兼顾正负、大小，具有代表性和对称性）→描点（以表中对应值为坐标，在坐标系中精准定位）→连线（用光滑曲线顺次连接同一象限内的点，并向两端延伸）。2.★反比例函数图象的名称与构成：反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线，它由分别位于两个象限的两支曲线组成。这是与一次函数图象（直线）的根本区别。3.★系数k的符号决定图象位置：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。口诀：“k正则一三，k负则二四”。4.★图象与坐标轴的关系：双曲线无限接近x轴和y轴，但永远不与坐标轴相交。坐标轴是双曲线的渐近线。这意味着自变量x和函数值y均不可能为0。5.★反比例函数的增减性（核心难点）：必须强调“在每一个象限内”这一前提。当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。切记不可跨象限讨论增减性。6.▲“在每一个象限内”的重要性剖析：因为图象被y轴分隔成不连续的两支。例如y=6/x，从第三象限的点（1，6）到第一象限的点（1，6），x增大，y也增大，这与象限内的减少趋势矛盾，故前提不可或缺。7.研究函数图象与性质的通用思想方法：数形结合（由解析式想图象，由图象得性质）、分类讨论（按k>0和k<0分类研究）、从特殊到一般（从具体函数如y=12/x入手，归纳一般规律）。8.反比例函数图象的对称性（拓展）：反比例函数图象关于原点成中心对称，也关于直线y=x和y=x成轴对称。这从其解析式满足“将(x，y)换为(x，y)等式不变”等性质可以推导。9.应用示例：点与图象的位置关系：若点P(a，b)在反比例函数y=k/x图象上，则坐标满足ab=k；反之，若ab=k，则点P在图象上。可用来求k值或判断点是否在图象上。10.应用示例：同一象限内函数值大小比较：比较同一反比例函数图象上两点函数值大小时，需先根据横坐标判断是否在同一象限。若在同一象限，直接利用该象限内的增减性比较；若不在同一象限，则根据图象位置判断正负，正数>负数。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。从课堂反馈和巩固练习完成情况看，绝大多数学生能独立、规范地绘制反比例函数图象，并准确说出k>0和k<0时图象的位置。这表明知识与技能目标基本达成。能力目标方面，学生在经历完整探究过程后，对数形结合有了更深的体验，但在“增减性前提”这一核心思维的严谨性上，仍有部分学生需要通过后续练习强化。情感目标在小组合作与成功绘制出双曲线的过程中得到了较好实现，学生普遍表现出较高的参与热情。  （二）核心环节有效性评估。导入环节的“长方形面积”情境与旧知衔接自然，有效激发了探究欲。“任务四”中通过故意制造认知冲突（提出一个不严谨的全局增减性结论）来突破难点，设计较为成功。我观察到当反例出现时，学生脸上浮现出困惑继而积极讨论的神情，这比教师直接强调十遍“要在每个象限内”效果更好。但“任务三”中让学生任选k<0的函数探究，虽给了自主性，但课堂时间略显紧张，部分小组绘图不够精细。或许