数之破界智启新程-五年级数学“小数除法”单元启航课

数之破界，智启新程——五年级数学“小数除法”单元启航课一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域明确指出，学生应“探索并掌握小数乘除法的计算方法，理解算理，并能进行简单的小数四则混合运算”。本课作为北师大版五年级上册“小数除法”单元的起始课，其教学坐标在于引导学生完成一次关键的认知跨越：从整数除法的确定性世界，步入小数除法的连续性与精确性领域。在知识技能图谱上，本课需激活“整数除法运算”、“元角分生活经验”及“小数点移动规律”等旧知，以此为锚点，初步建构“小数除以整数”的计算法则，并理解“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一核心算理，为后续学习“除数是小数的除法”及解决实际问题奠定逻辑基石。从过程方法路径审视，本课是渗透“转化与化归”数学思想的绝佳载体。教师需引导学生将未知的“小数除法”问题，通过知识迁移和模型操作，转化为已掌握的“整数除法”问题，经历“情境感知—操作探究—算法抽象—模型构建”的完整探究路径。就素养价值渗透而言，本课的学习不仅是掌握一种运算技能，更是发展学生数感、运算能力和推理意识的契机。在探索算理的过程中，学生需要基于意义进行合情推理；在解决“除不尽”的实际问题时，将初步触碰“近似”与“精确”的辩证关系，体会数学的严谨性与应用性，实现思维从“有限”向“无限”的微妙启蒙。基于“以学定教”原则进行学情诊断，学生已具备扎实的整数除法笔算能力和元、角、分背景下对小数意义的理解。然而，潜在的认知障碍在于：其一，受整数除法“余数小于除数”的思维定式影响，学生对“继续除下去”的必要性与可行性可能感到困惑；其二，“小数点”在除法竖式中的处理逻辑，相较于加减乘运算更为抽象，是理解上的难点；其三，从“等分”的直观模型过渡到“包含除”的抽象模型，部分学生可能存在转换困难。因此，教学调适策略需致力于搭建可视化、操作化的认知阶梯。在过程评估中，我将通过“分钱币”实物模拟、方格图涂画等多元表征任务，观察学生能否建立操作过程与竖式记录之间的对应关系；通过关键性提问如“这个‘2’现在是表示2元，还是2角？你是怎么让竖式‘说清楚’的？”，动态诊断学生对算理的理解深度。对于理解较快的学生，将引导其尝试解释算理并探索“除不尽”情境的初步处理；对于需要支持的学生，则提供更具体的操作支架和分步提示，确保每位学生都能在“最近发展区”内获得成功体验。二、教学目标知识目标：学生能在“分钱币”等具体情境中，理解小数除以整数的现实意义，并自主探索其计算方法。重点是能正确书写小数除以整数（商为小数）的竖式计算过程，特别是理解并清晰表述“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理依据，实现从程序性操作到概念性理解的深化。能力目标：学生能运用“转化”思想，通过多元表征（如实物操作、图形模型、竖式记录）将小数除法问题转化为整数除法问题来解决，发展数形结合与等量代换的能力。在合作探究中，能够有条理地表达自己的思考过程，并对他人的算法进行有依据的评价与质疑。情感态度与价值观目标：学生在解决“公平分配”等实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，激发探究新知的内部动机。通过小组协作克服认知难点，培养乐于分享、敢于质疑的科学态度与合作精神，在探索中体验思维的乐趣和解决问题的成就感。数学思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与推理意识。引导学生经历“具体情境—数学模型—解释与应用”的完整建模过程，学会从实际问题中抽象出数学算式。通过追问“为什么这样算”，驱动学生进行逻辑推理，从计数单位的角度理解算理的本质，促进思维从直观形象向抽象逻辑过渡。评价与元认知目标：引导学生依据“操作有据、表述清晰、算法正确”等标准，对自我及同伴的探究成果进行初步评价。在课堂小结环节，通过绘制简易思维导图或填写“学习日志”关键问题，反思本课学习路径（“我们是怎么学会的？”），初步形成规划与监控学习过程的意识。三、教学重点与难点教学重点：探索并掌握小数除以整数的竖式计算方法，深刻理解“商的小数点与被除数的小数点对齐”的算理。其确立依据源于课程标准的素养导向与知识结构的内在逻辑。从课标看，运算能力不仅要求算法正确，更强调对算理的掌握，这是培育推理意识的核心体现。从知识链看，此算理是勾连整数除法与小数除法的“承重墙”，更是后续学习除数是小数的除法（将其转化为除数是整数）的认知前提。从学业评价看，理解算理是避免机械记忆、灵活应对变式问题的根本保障。教学难点：理解在除法竖式运算过程中，如何实现从整数余数到小数部分的连续“分”下去，并清晰理解每一步运算结果所对应的实际意义。难点成因在于其思维过程的抽象性与动态连续性。学生习惯于整数除法中“余数即为最终剩余”的静态结果，而小数除法要求将余数视为更低级单位的集合进行再次分配，这是一个思维上的飞跃。预设依据来自常见学情：学生在竖式计算中常出现漏点小数点或点错位置的现象，其根源正是对“为什么点在这里”缺乏意义支撑。突破方向在于，将竖式的每一步与直观的操作过程（如将“元”转化为“角”）进行反复对照与验证，使抽象的算法“落地”于可视化的操作之中。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含“分钱币”动画演示、探究任务提示）、实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制分层探究学习任务单（A基础版/B挑战版）、用于小组讨论的磁性小白板及记号笔、模拟钱币学具（印有元、角、分单位的卡片）若干套。2.学生准备2.1知识预备：复习整数除法竖式计算，回顾小数意义及元、角、分换算关系。2.2学具准备：携带常规直尺、铅笔、橡皮。3.环境布置3.1座位安排：采用46人异质分组围坐式，便于开展合作探究与交流。3.2板书记划：左侧预留核心问题与情境，中部作为算法与算理探究主区域，右侧用于记录学生生成的关键观点与疑问。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，制造认知冲突师：（微笑开场）同学们，欢迎回到数学乐园！暑假里，大家有没有和伙伴们一起分享过好东西的经历？今天，我们数学课就从“分享”开始。看，老师这里有一个简单的数学分享问题：（课件出示）“小明和他的3位好朋友一起郊游，妈妈给了他们11元零钱，让他们4人平均分。每人能分得多少元？”“请大家快速口算一下，怎么分？”（预计学生能迅速回答：11÷4=2…3，每人2元，还剩下3元。）师追问：“剩下的这3元，还能继续分吗？难道要撕开吗？”（学生笑）师：“生活中我们当然有办法，那在数学的王国里，我们该如何‘公平’地继续分下去，得到一个精确的结果呢？”1.1问题提出与路径明晰师：“看，这就是我们今天要挑战的核心问题：当除法‘分不完’的时候，我们如何继续精确地分下去？”（板书核心问题）“这‘分不完’的3元，就是我们探索新知识的钥匙。今天，我们将化身‘数学分配官’，一起闯入‘小数除法’的新天地。我们将先从熟悉的‘元角分’入手，通过动手操作、合作探究，找到那个既公平又精确的答案，并发现背后隐藏的数学密码。”第二、新授环节任务一：激活旧知，搭建转化脚手架教师活动：首先，引导学生将生活问题数字化，列出算式11÷4。回顾整数除法竖式计算过程，板演至得到余数3。此时，提出关键引导问题：“在数学上，这个‘3’表示3个什么？”（1）。待学生回答“3个1元”后，继续追问：“如果我们想继续分，能不能把这‘1元’变成更小的单位？生活中怎么做？”（2）。引导学生联系生活经验，说出“1元=10角”。教师顺势在竖式余数“3”的后面，巧妙地添上“.0”，并解读：“看，数学上我们用这个小数点和0，来代表这3元可以转化成30角。这就好像给了我们一次‘继续分’的魔法。”（3）。板书强调“元转化为角”这一关键步骤。学生活动：学生口述问题并列出算式。回顾整数除法竖式，明确每一步的含义。积极思考教师的连续追问，联系“元角分”进率，理解“3元=30角”的转化逻辑。观察教师如何在竖式中表示这种单位转化，初步感知小数点在这一过程中的“桥梁”作用。即时评价标准：1.能否清晰复述整数除法11÷4的计算过程及含义。2.能否建立“余数3元”与“30角”之间的等量转换关系。3.能否注意到竖式中新增的“.0”并对其作用产生合理猜测。形成知识、思维、方法清单：★复习巩固：整数除法竖式中，每一步的商和余数都有明确的数位意义（如11÷4，商2在个位，表示2个一；余数3在个位，表示3个一）。▲方法铺垫：当整数除法“分不完”产生余数时，可以考虑将余数的单位转换成更小的单位继续分。★关键桥梁：在竖式中，可以通过在余数后添加小数点和小数部分（如“.0”）来表示这种单位转换，这是理解小数除法算理的第一步。任务二：多元表征，探究算法生成教师活动：分发模拟钱币学具和学习任务单。发布探究指令：“现在，请各组用手中的‘钱币’，实际分一分这11元（可以用11张1元卡片代表），验证并完成每人到底能分得多少钱。请将你们分的过程，用学具摆出来，并尝试用竖式记录下每一次‘分’的动作。”巡视小组，提供差异化指导：对基础组，引导其一步步操作“把3元换成30角，再分”；对进阶组，挑战其思考“如果不换钱币，直接在竖式上怎么体现‘继续分30角’？”邀请一组学生上台，一边操作学具，一边解说竖式记录。学生活动：小组合作，动手操作学具。经历“分得2元→剩下3元→将3元兑换成30角→将30角平均分给4人，每人得7角→最后剩下2角”的全过程。同步尝试用竖式记录：在余数3后点上小数点补0变成30，将30看作30个0.1（角），用30÷4继续除。讨论并明确最终结果“2.7元”及剩余的“0.2元”（即2角）。各组将操作过程与竖式记录写在小白板上准备展示。即时评价标准：1.操作过程是否有序、符合逻辑，并能清晰对应到竖式的每一步。2.小组内能否合作完成从具象操作到抽象竖式的“翻译”工作。3.展示时，能否用语言解释“商中的‘7’为什么写在十分位上”。形成知识、思维、方法清单：★算法初构：小数除以整数的竖式计算，可以在整数部分除完后，在余数右下角点上小数点，添“0”继续除。★算理核心（一）：商的小数点要与被除数的小数点对齐。这是因为我们是将“元”位余下的钱，转化到“角”（十分位）去继续分，所以接下来求得的“角”（7角）理所当然应该写在商的十分位上。▲多元联系：实物操作（分钱）、数的组成（3元=30角）、竖式记录三者之间可以相互验证，它们讲述的是同一个数学故事。任务三：深度对话，聚焦算理本质教师活动：结合学生的小白板展示，聚焦两个核心问题进行全班研讨。问题一（指向算法）：“请大家对比观察，我们新学的竖式和以前整数除法竖式，最大的不同点是什么？”引导学生发现“多了小数点”以及“可以不断添0继续除”。问题二（直击算理）：“这个多出来的小数点，点在哪里可是有大学问。为什么商的小数点一定要和被除数的小数点对齐？谁能结合我们分钱的过程，把这个道理讲明白？”鼓励学生用“单位转换”的思想来解释。教师总结升华：“其实啊，小数点对齐，就是保证我们每一次分的东西，单位都是统一的。先分‘整元’，小数点对齐；剩下‘零钱’变成‘角’再分，得到的‘角’就写在小数点后面第一位。这就叫‘数位对齐，单位一致’。”学生活动：观察、比较不同竖式，积极发现和总结特征。围绕教师提出的核心问题展开讨论和辩论。尝试用自己的语言解释算理：“因为被除数11.0的小数点在1和0之间，表示我们从这里开始分零钱（角），所以商里表示‘角’的数位（7）也应该从这个位置开始写，小数点就必须对齐。”在教师总结后，修正和规范自己的表述。即时评价标准：1.能否准确找出小数除法竖式在形式上的关键特征（小数点及其位置）。2.解释算理时，能否使用“单位”、“数位”、“对齐”等关键术语，而不仅仅是描述操作步骤。3.能否听懂并评价同伴的算理解释。形成知识、思维、方法清单：★算理本质：小数除以整数，商的小数点要与被除数的小数点对齐，其根本目的在于保证商的每一位数字所对应的计数单位与被除数相应数位的计数单位一致。这是除法运算中“数位对齐”原则在小数领域的延伸。▲思维提升：对算理的探讨，将计算方法从“怎样算”的程序层面，提升到了“为什么可以这样算”的原理层面，这是形成运算能力和推理意识的关键。★易错警示：漏点商的小数点是常见错误，其根源在于不理解对齐的算理，仅机械记忆步骤。任务四：情境变式，拓展应用范围教师活动：呈现新的问题情境：“如果妈妈给的不是11元，而是12.6元，还是4人平均分，竖式又该怎么写呢？”引导学生观察被除数12.6，它本身就有小数部分。提问：“这次，我们第一步分的是什么？（12元）分完后余下多少？（0.6元）这0.6元怎么继续分？”让学生独立尝试列竖式计算。巡视中，重点关注学生是否直接将12.6看作整数126（个0.1）去思考，以及如何处理第一步除完后的余数。展示不同做法，引导学生辨析。学生活动：独立尝试计算12.6÷4。思考被除数本身带有小数时的处理方法。部分学生可能会直接将12.6的小数点对齐落下，用6÷4继续除。在教师引导下，理解可以将12.6元理解为12元和6角，也可以整体理解为126角。完成计算后，小组内交流算法。即时评价标准：1.能否正确列出竖式，并处理被除数自带的“6”。2.能否说明“第一步除完个位后，落下十分位上的6继续除”的道理。3.计算结果的准确性。形成知识、思维、方法清单：★算法完善：当被除数本身就是小数时，竖式计算过程中，小数点对齐后直接落下，然后用小数部分继续除。▲认知深化：小数除以整数的算理具有普遍性。无论被除数是整数（如11）还是小数（如12.6），“商的小数点与被除数的小数点对齐”的原则不变，因为它统一了所有数位的计数单位。★方法贯通：可以将整个小数看作是由更低级计数单位组成的整数（如12.6看作126个0.1），从而将小数除法彻底转化为整数除法，这是“转化”思想的核心应用。任务五：预见冲突，埋下探究伏笔教师活动：回到最初的小组分享情境，提出延伸挑战：“同学们，我们刚才分11元，最后每人分到2.7元，还剩下0.2元。如果这0.2元我们还想继续分，分得更精确些，比如精确到‘分’，该怎么办？”让学生口头描述：0.2元=20分，20÷4=5分，所以结果是2.75元。在竖式上演示“在余数2后添0变成20（个0.01），继续除”的过程。进而提出开放性问题：“如果继续分下去，还会遇到除不尽的情况吗？如果除不尽，我们又如何表示结果？这些问题，将留待我们接下来的数学旅程中继续探索。”学生活动：跟随教师引导，思考如何“分到分”。口头完成单位换算和计算。观察竖式中第二次“添0继续除”的过程，理解可以除到百分位、千分位……对“除不尽”的现象产生好奇，并意识到小数除法可能产生无限小数，为后续学习循环小数埋下思想的种子。即时评价标准：1.能否流畅地进行“角”到“分”的换算，并理解其数学含义。2.能否理解竖式中“不断添0继续除”的可能性与意义。3.是否对“除不尽”的问题表现出探究兴趣。形成知识、思维、方法清单：★概念延伸：小数除法可以除到小数部分的任意一位，只要在余数后面添上0继续除即可。这体现了小数数系的连续性。▲伏笔与联系：初步感知除法运算可能产生“除不尽”的情况，这将是下一阶段学习“循环小数”和“近似值”的认知起点。★素养渗透：体会到数学追求精确与完美的精神，同时认识到“无限”这一概念的初现，拓宽了数学视野。第三、当堂巩固训练1.基础层（全体必做，巩固算法格式）：（1）用竖式计算：9.6÷4，14.4÷12。教师巡视，重点关注竖式中小数点的处理是否规范，对学困生进行一对一指导。2.综合层（情境应用，理解算理）：（2）解决问题：一根绳子长13.2米，把它平均截成6段，每段长多少米？请列竖式计算并说说你的思考过程。此题为“包含除”情境，检验学生能否在不同情境中应用算法。通过学生讲解过程，评价其对算理的理解深度。3.挑战层（思维拓展，联系旧知）：（3）想一想：计算4.8÷5，你有哪些不同的方法？可以画图，可以联系以前学过的知识（如小数意义、乘法），看看谁的方法多。此题鼓励算法多样化。学生可能想到：①直接列竖式；②将4.8看作48个0.1，48÷5=9.6个0.1，即0.96；③因为5×0.96=4.8，所以商是0.96。展示不同解法，突出转化思想。反馈机制：基础题采用同桌互查，用红笔圈出小数点对齐情况。综合题邀请23位不同层次的学生上台板演并讲解，教师针对共性疑问（如单位换算）进行集中点评。挑战题进行小组内方法分享，并择优全班展示，重点表彰独特的思考角度。第四、课堂小结1.知识整合：师：“同学们，今天的‘数学分配官’之旅即将结束，我们获得了哪些重要的‘数学宝藏’呢？请大家不要看书，用自己的方式，比如画一个简单的流程图或列出几个关键词，在任务单背面整理一下。”随后邀请学生分享，教师同步板书形成结构化知识网络图（核心：问题→转化→算法：商的小数点与被除数小数点对齐→算理：数位对齐，单位一致）。2.方法提炼：师：“回顾我们解决问题的过程，最关键的一步是什么？”引导学生说出“转化”——把新问题（小数除法）转化成老问题（整数除法）。“这是我们数学学习中一把非常厉害的万能钥匙。”3.作业布置与延伸：必做题：1.完成课本第X页“练一练”第1、2题。2.给你的家人讲一讲，为什么计算11÷4时，商的小数点要点在2的后面。选做题：1.探究：如果11元不是平均分给4人，而是平均分给8人，竖式计算过程会有什么不同？结果是多少？2.生活小调查：找一找生活中哪些地方会用到小数除法，记录下来。师：“下节课，我们将带着今天发现的‘转化’法宝，去挑战更复杂的分配问题，比如‘如果除号后面的数也变成了小数，我们该怎么办？’期待大家更精彩的表现！”六、作业设计基础性作业：1.竖式计算：13.5÷58.4÷720.8÷16（巩固基本算法，强调书写规范）。2.判断改错：出示两道竖式计算题（一道漏点小数点，一道小数点位置点错），请学生判断正误并改正。（强化算理，辨析易错点）。拓展性作业：3.解决问题：一瓶1.5升的果汁，正好可以倒满6个相同的杯子。平均每个杯子倒进多少升果汁？如果每个杯子最多能装0.25升，这些果汁够倒满6个杯子吗？为什么？（创设连续情境，综合应用小数除法和大小比较，培养分析能力）。探究性/创造性作业：4.（选做）数学小讲师：请用手机录制一段不超过2分钟的微视频，借助画图或实物演示，向一位“四年级的学弟学妹”解释“为什么11除以4等于2.75”。（将知识内化为自己的语言并输出，锻炼表达能力与逻辑组织能力，深化算理理解）。七、本节知识清单及拓展★1.小数除以整数的意义：与整数除法意义相同，即已知两个因数的积（被除数）与其中一个因数（除数，是整数），求另一个因数（商）的运算。在实际情境中常表示“平均分”。例如：11.4÷3表示把11.4平均分成3份，求每份是多少。★2.基本算法（步骤）：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③如果除到被除数末尾有余数，就在余数后面添“0”继续除。口诀：“一除、二齐、三添零”。★3.核心算理—商的小数点对齐：这是本节课的“灵魂”。算理是：为保证商的每一位数字所代表的计数单位与被除数相应数位的计数单位一致。例如，11÷4，余数3表示3个“一”，转化为30个“十分之一”继续除，得到的“7”表示7个“十分之一”，所以必须写在商的十分位，因此商的小数点就必须点在个位“2”的后面，与被除数的小数点（隐含在整数个位后）对齐。▲4.被除数的小数类型：被除数可能是整数（如11÷4），也可能是小数（如12.6÷4）。算法具有一致性：整数可看作特殊小数（小数点隐藏在个位右下方），计算时需先点上小数点再补0，或直接将被除数写成带小数点的形式（如11.0）。★5.“添0继续除”的原理：根据小数的性质，可以在整数或小数末尾添上“0”，其大小不变。在除法竖式中添“0”，意味着将余数的计数单位进一步细化（如从“元”到“角”再到“分”），使得除法可以无限进行下去，体现了小数数系的连续性。▲6.与整数除法的联系与区别：联系：计算法则的基础部分（从高位除起，一位一位除）完全相同，核心思想都是“转化”（将整体不断细分为更小的单位）。区别：整数除法到余数小于除数时停止，结果可以是整数或带余数的形式；小数除法可以通过添0继续除，得到精确的小数商，除非遇到“除不尽”的情况。★7.易错点预警：①最典型错误是“漏点商的小数点”，尤其是当被除数是整数时。对策：先确定商的小数点位置，再继续除。②竖式中被除数的小数点位置移错。对策：写竖式时先将被除数的小数点清楚地标出。③“添0”的时机不对，在有余数之前就添0。对策：明确只有某一位除后有余数，需要继续除下一位时，才在该余数后添0。▲8.多元表征与验证：小数除法的算理和算法可以通过多种方式验证：a)生活模型验证（如元角分实物操作）；b)逆运算验证（用乘法验算：商×除数=被除数）；c)估算验证（如11÷4，商应在2和3之间）。▲9.前瞻：除数是小数的除法：本节课的“转化”思想是下节课的关键前提。除数是小数的除法，其基本策略是利用商不变性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化为“除数是整数的除法”进行计算，这正是本节课知识的直接延伸。▲10.数学思想方法提炼：本节核心思想是“转化与化归”。将未知转化为已知（小数除法→整数除法），将复杂转化为简单。同时贯穿了“数形结合”（操作模型辅助理解）和“模型思想”（从具体情境抽象出算式模型）。八、教学反思（一）目标达成度分析与证据本课预设的知识与技能目标基本达成。从当堂巩固练习的完成情况看，超过85%的学生能正确计算基础性小数除法竖式，格式规范。在“解决问题”环节，多数学生能正确列式并计算，表明他们初步理解了小数除法的现实意义。能力目标方面，学生在“任务二”的多元表征活动中表现活跃，能够有效建立操作、口头表述与竖式记录之间的联系，小组展示时能用“元变角”解释算理，展现了初步的转化与表达能力。情感目标在导入和合作探究环节得到较好落实，学生对“分不完”的问题表现出浓厚兴趣，小组协作氛围积极。然而，深度审视仍发现隐忧：在“挑战层”练习和个别访谈中，部分学生对于“为什么一定要小数点对齐”的解释，仍停留在“老师说的”或“书上写的”程序性记忆层面，未能内化为基于计数单位的自觉理解。这说明算理目标的达成是分层、不均衡的，对部分学生而言，从操作表象到数学本质的抽象跨越尚未完全实现。（二）核心环节有效性评估与学情深描1.导入与任务一（搭建脚手架）效果显著。生活化情境和认知冲突迅速凝聚了学生的注意力。“3元怎么继续分”的追问，精准击中了学生的认知空白，为后续的转化学习提供了强烈的动机。这个设计符合维果茨基“最近发展区”理论，在旧知（整数除法）与新知（小数除法）之间建立了清晰的认知冲突桥梁。2.任务二与任务三（探究与聚焦算理）是本节课的“心脏”环节。小组操作与竖式记录的并行设计，有效地将抽象算法可视化。但在巡视中发现，约三分之一的小组在“翻译”过程中遇到困难：他们能熟练操作分钱，却不知如何将其对应到竖式的特定步骤上。这反映出学生符号化（数学化）能力存在差异。教学中，我临时调整策略，邀请了一个“翻译”成功的小组和另一个遇到困难的小组同时上台，进行对比展示和追问，引导全班共同寻找操作动作与竖式符号的对应关系，生成了比预设更生动的教学资源。3.对不同层次学生的课堂表现剖析：学优生（约20%）在任务四、五中展现出良好的迁移能力和求知欲，能主动思考“除不尽”的问题，他们是课堂深度思考的引领者。中等生（约60%）是算法掌握的主力军，在充分的操作和讨论后能较好理解算理，但需要教师结构化的总结（如板书网络图）来帮助他们巩固。学困生（约20%）的困难集中在“任务一”到“任务二”的过渡，即从“3元”到“30角”的抽象转换，以及竖式中“.0