符号的奥秘：乘号“×”与除号“÷”的数学之旅-小学二年级上册数学文化探究课教学设计

符号的奥秘：乘号“×”与除号“÷”的数学之旅——小学二年级上册数学文化探究课教学设计一、教学内容分析  本课隶属于西师大版小学数学二年级上册“表内乘除法”单元后的数学文化拓展内容。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课坐标清晰：在知识技能上，它并非要求掌握新的运算，而是引导学生追溯已学的乘、除法运算符号的起源，深化对符号本身意义的理解，属于“了解”层级。这一内容位于学生初步建立乘、除法概念之后，起到了连接具体运算与抽象符号的桥梁作用，是对单元知识的结构化提升与文化浸润。在过程方法上，课标强调的“数学文化”与“史料实证”思想是本课设计的灵魂。教学需将静态的“来历”转化为动态的“探究历程”，通过创设“小小考古家”、“符号发明家”等角色任务，让学生经历猜想、验证、辨析、创造的过程，体验数学符号从繁到简、从多元到统一的演进逻辑。在素养价值层面，本课是培育“符号意识”这一核心素养的绝佳载体。学生通过探究，将感悟到数学符号并非天外来物，而是人类智慧的结晶，其诞生源于实际需要，其形态追求简洁与高效，从而建立起对数学符号的亲切感、认同感与审美感知，体会数学的理性精神与人文价值。  基于“以学定教”原则，对学情进行立体研判：学生已熟练掌握表内乘、除法的计算，并初步会用“×”、“÷”列式解决问题，这是探究的知识与经验基础。然而，二年级学生以具体形象思维为主，对抽象符号的历史渊源缺乏认知，可能产生“符号本来就是这样”的固化观念，这是认知的潜在障碍。他们的兴趣点在于故事、游戏和动手操作。因此，教学必须将历史叙事转化为可感、可操作、可思辨的探究活动。在过程评估上，我将通过“前测猜想画图”探查前概念，在任务中通过观察小组讨论的焦点、倾听学生的解释性语言、分析其设计的“新符号”来动态把握其对符号简洁性、功能性理解的深度。基于诊断，教学调适策略包括：为抽象思维较弱的学生提供丰富的图片、故事卡片等可视化“脚手架”；在小组合作中采用异质分组，让思维活跃的学生带动讨论；在总结环节，鼓励多元表达，允许用图画、语言辅助阐释对符号演变的理解，实现差异化的学习成果输出。二、教学目标1.知识目标：学生能用自己的语言简要叙述乘号“×”与除号“÷”的大致来历，知道“×”源于加法的一种特殊简写，“÷”则形象地表示“分”的过程。能辨析符号背后的数学思想，理解符号统一对数学交流的重要性。2.能力目标：在探究符号来历的活动中，学生能够像数学家一样经历“观察现象提出问题寻求方案优化选择”的简化过程，发展初步的史料实证意识和合情推理能力。能够尝试设计或评价简单的数学符号，展现一定的符号化表达能力。3.情感态度与价值观目标：通过了解符号的诞生史，学生能感受到数学是人类不断追求简洁与智慧的创造物，激发对数学历史文化的好奇心与探究欲。在小组合作共创符号的活动中，体验交流、协作与分享的乐趣。4.科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号化思想与模型意识。引导其体会从具体数量关系到抽象符号表达的建模过程，理解符号作为数学模型的语言载体，其核心功能在于“简明的表征”与“高效的运算”。5.评价与元认知目标：引导学生在对比古今多种表示方法、评价同学设计的符号时，初步形成“简洁性”、“清晰性”、“通用性”等评价量规意识。通过“回头看”自己的猜想与最终结论，反思认知是如何被更新与修正的。三、教学重点与难点  教学重点在于引导学生亲历乘、除号从“需要”到“创造”再到“统一”的思维过程，深刻理解符号的简洁性价值与功能性本质。其确立依据源于课标对“符号意识”素养的强调，它是学生从算术思维走向代数思维的关键奠基。理解符号不是被强制规定的“标签”，而是解决问题的“工具”，这决定了学生未来运用数学语言进行思考和表达的深度与自觉性。  教学难点在于如何让二年级学生跨越数百年的时间跨度，理解符号演变背后的“优化”思想。难点成因在于其思维的具体性与历史事件的抽象性之间的矛盾。学生可能困惑：“古人为什么不用现成的符号？”“为什么偏偏选这个形状？”突破方向在于，将宏大的“历史演变”拆解为一个个可参与的“决策情境”，让学生化身决策者，在对比、选择中自然领悟优化的必要性。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（含古代计数、运算方式图片，乘除法算式古今对比动画）；实物投影仪。  1.2学习材料包（每组一份）：“乘号考古卡”（印有“3+3+3+3+3”、“3和5相乘”等文字描述及相应古埃及、古希腊的累加计数图）；“除号发明工坊”任务单（提供“12颗糖平均分给3个小朋友”的情境及中世纪欧洲的多种分配记录方式）；空白卡片与彩笔。2.学生准备  复习乘、除法的意义；准备好铅笔、直尺等文具。3.环境布置  教室桌椅调整为46人小组合作式；黑板预先划分“猜想区”、“探究区”与“结论区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与旧知唤醒：“孩子们，我们已经和乘号、除号成了好朋友，能熟练地用它们解决问题。但老师有个好奇：为什么乘号要写成‘×’，除号要写成‘÷’呢？它们是一开始就长这样吗？”（出示一个大大的“？”）今天，我们就化身“数学时空侦探”，一起去解开符号身世的谜团！  1.1前测与驱动问题提出：“在出发前，请各位小侦探先在‘猜想区’用画图的方式，把你认为的‘×’和‘÷’最开始可能的样子或意思画出来。”（给予1分钟时间快速绘画并简单分享）。“瞧，大家的猜想五花八门，都很有创意！那么，历史的真相到底是什么？古人遇到了什么麻烦，才发明了它们？让我们穿越时空，开始探秘！”  1.2明晰学习路径：“我们的探秘分两站：第一站，‘乘号诞生记’；第二站，‘除号发明营’。每站我们都要完成挑战任务，收集线索，最后揭开谜底。”第二、新授环节  任务一：回溯需求，感受“乘”之繁  教师活动：首先，教师扮演“历史讲述者”：“在很久以前，还没有‘×’，人们遇到‘5个3相加’这样的情况怎么办？”出示“乘号考古卡”，引导学生观察古埃及用一条条竖线重复画、古希腊用特殊记号累加的方式。提出引导性问题：“1.看看古人的方法，你觉得怎么样？（慢一点说，给他们观察的时间）2.如果遇到‘100个3相加’，再用这些方法，感觉如何？”接着，化身“思维引导者”：“太麻烦了！怎么办？智慧的数学家们就想——能不能找到一种更简单的方式来记录这种特殊的加法呢？”  学生活动：学生观察考古卡图片，在小组内议论古代方法的繁琐之处。他们会用“画得好累”、“要看花眼了”等儿童语言表达对“繁琐”的直观感受。进而跟随教师的问题，思考并尝试表达：需要一种“简单的方法”来代表“很多个相同的数相加”。  即时评价标准：1.能否从图片信息中发现古代表示方法的核心是“重复记录”。2.能否用语言或表情表达出对“繁琐”的共鸣，并产生“需要简化”的动机。3.小组讨论时，能否倾听同伴发现并补充自己的看法。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心需求驱动创造：数学符号的诞生，最初往往源于对原有方法“繁琐”、“低效”的不满，是追求简洁与效率的内在需求推动了创新。告诉孩子们：“觉得麻烦，正是进步的开始！”  ▲从具体到抽象的萌芽：古人用一道道笔画表示具体数量，而当他们开始寻求一种通用记号来替代这种重复时，抽象思维就迈出了关键一步。这为后面“×”的出现埋下了思维的种子。  ★历史实证意识起点：我们认识历史，不能凭空想象，要依靠像“考古卡”这样的史料证据。这是研究历史的基本方法。  任务二：猜想与验证，揭秘“×”的由来  教师活动：“那么，简化成什么样呢？”教师展示17世纪英国数学家奥特雷德的想法：“他把‘3和5相乘’看作‘3’斜着加上‘5’（课件动态演示从‘3’到‘/’再到‘+’斜置的猜想过程），但斜着的加号容易和别的混淆。最终，他把加号旋转了一下，变成了‘×’！”（动画演示旋转）。提问：“1.从‘+’到‘×’，形状变了，但它们之间有什么‘血缘关系’？（暗示乘法是加法的简便运算）2.你觉得‘×’这个符号，好看、好写吗？”  学生活动：学生聚精会神观看动画，发出“哦，原来是这样！”的感叹。他们用手比划旋转的动作，理解“×”与“+”的渊源。针对教师提问，他们能说出：“乘法就是很多加法变来的，所以用加号变一下。”“‘×’像个小叉，很简单，写得快。”  即时评价标准：1.能否通过动画理解“×”是由“+”演变而来，并建立乘法与加法的联系。2.能否从“易写”、“易辨”的角度欣赏“×”的简洁性。  形成知识、思维、方法清单：  ★乘号的直接起源：“×”由加号“+”旋转而来，由英国数学家威廉·奥特雷德首先系统使用。其形态简洁，书写流畅。  ▲符号的继承与创新：新符号并非完全凭空创造，常基于旧有符号进行改进（如旋转），这体现了知识的连续性与发展性。  ★简洁性与功能性的统一：一个优秀的数学符号，既要能准确表达含义（表示相同加数和的简便运算），又要形态简明，便于书写和印刷。“×”是这一原则的典范。可以问孩子：“如果让你天天画一个很复杂的符号，你愿意吗？”  任务三：情境扮演，体会“除”之意  教师活动：转换场景：“探明了乘号，我们来到第二站——‘除号发明营’。这里的问题是‘平均分’。”教师创设情境：“中世纪商人有12袋谷物，要平均分给3个仓库，他怎么记录？”出示“除号发明工坊”任务单，呈现当时用“12/3”、“123…”等混乱的记录。提出问题：“这些方法有什么共同点？（都表达了‘分’）但有什么问题？（不统一，容易误会）”。接着，引出瑞士数学家拉恩的故事：“他想，必须创造一个专属符号！他巧妙地将一条横线上下各点一点，表示‘平均分开’（板书‘－’，再上下加点点，演变成‘÷’）。看，横线像不像分配的平台？两点代表要分的物体？”  学生活动：学生扮演小商人，尝试理解任务单上各种记录的混乱，体会到“需要统一符号”的迫切性。观察教师板书画出“÷”的过程，联想平均分的情景，形象化地理解“横线”和“点”的象征意义。可能会说：“横线像一把刀，把东西切开。”“两点就是被分开的东西。”  即时评价标准：1.能否从多种混乱记录中归纳出它们都在试图表达“平均分配”。2.能否将“÷”的形态与“平均分”的动作或结果进行形象关联。3.是否认同符号统一对于避免混乱的重要性。  形成知识、思维、方法清单：  ★除号的形象来源：“÷”由瑞士数学家约翰·拉恩首创，中间的横线表示“平均分”的界限或过程，上下两点象征被平均分的物体。它是一个非常形象的符号。  ▲标准化与统一的价值：在拉恩之前，除法表示法杂乱无章，严重阻碍了数学交流。他的工作促进了数学语言的标准化，体现了“统一便于交流”的深刻道理。告诉学生：“如果每个人都说自己的方言，我们就很难听懂彼此的话了。数学也一样！”  ★符号的表征性思维：“÷”不是随意画的，它的每一部分都有其代表的意义（表征）。这种用简单图形表征复杂含义的能力，是数学思维的重要组成部分。  任务四：对比与感悟，深化符号认知  教师活动：将乘号“×”和除号“÷”的来历并置，组织讨论：“比较这两个符号的发明故事，你发现了哪些共同点？”（引导从“需求驱动”、“追求简洁”、“形态有意义”等角度思考）。然后进行“思维升华”：“它们从诞生到被全世界接受，用了很长时间。这说明什么？（好的发明需要时间检验；统一认识很重要）如果没有它们，今天的数学学习会怎样？”  学生活动：在教师引导下，对比思考，总结共同点。他们会说：“都是因为以前的方法太麻烦。”“符号的样子都和它的意思有关系。”“大家都用一样的，算起来才方便。”并展开想象，如果没有统一符号，数学书和做题会变得多么混乱和困难。  即时评价标准：1.能否从两个独立故事中提炼出关于符号创造的普遍性认识（如源于需求、追求简洁）。2.能否理解符号统一对于数学乃至科学发展的重要基础性作用。  形成知识、思维、方法清单：  ★数学符号的通用属性：一个好的数学符号通常具备简洁性（易于书写）、清晰性（意义明确）、通用性（被广泛接受）三大特点。这是我们评价一个符号设计好坏的基本标尺。  ▲文化融合与选择：在历史长河中，可能出现过多种候选符号，最终“×”和“÷”胜出，是其在实用性、直观性等方面综合优势的结果，是人类文化自然选择的过程。  ★符号是数学世界的普通话：统一、规范的数学符号体系，使得全世界的数学家、科学家乃至小学生能够无障碍地进行学术交流和知识学习，它是构建人类共同知识大厦的基石。  任务五：创意设计，迁移应用（差异化挑战）  教师活动：提出创造性任务：“现在我们也是‘小小数学家’，如果让你为一个新的运算设计符号，比如‘把一个数扩大10倍’，你会怎么设计？”提供分层支持：基础层：参考乘除号的思路，设计一个简单图形。挑战层：不仅设计图形，还要用12句话说明设计理由，并思考它是否可能和已有符号混淆。  学生活动：学生兴致勃勃地投入设计。有的画箭头，有的画小圈，有的结合数字“10”变形。完成后在组内或全班分享“作品”并阐述想法。接受同伴和老师的“评价”（是否简洁、是否清晰）。  即时评价标准：1.设计的符号是否具有一定的简洁性。2.能否为自己的设计提供简单的、合乎逻辑的解释。3.（挑战层）是否具备初步的辨析意识，考虑与已有符号体系的兼容性。  形成知识、思维、方法清单：  ▲符号化思维的实践：将一种运算或关系转化为一个视觉符号，是将抽象思维具体化、外在化的过程，是创造力的体现。  ★评价与反思能力：在分享与倾听他人设计时，学生unconsciously（无意识地）运用了本节课形成的关于符号“简洁”、“清晰”的评价标准，这是在应用新知进行批判性思考。  ▲创新意识萌芽：鼓励学生大胆想象和创造，即使设计不完美，这个过程本身就弥足珍贵，是在他们心中播下创新种子。第三、当堂巩固训练  1.基础层（全员参与）：“连线游戏”。将“3+3+3+3”、“把15平均分成5份”、“乘号的来历”、“除号的来历”等文字描述，与“3×4”、“15÷5”、“由‘+’旋转而来”、“横线加点表示分”等算式或解释连线。（教师巡视，重点关注基础薄弱学生的完成情况，并让完成的学生用手势“OK”示意。）  2.综合层（小组协作）：“小小解说员”。课件出示一幅带有“×”和“÷”的古代市场交易情境图（如买卖布匹、分配粮食）。小组合作，根据图中信息编一个包含乘除法运算的小故事，并在故事中扮演角色，用今天学到的知识向“顾客”解释为什么用“×”和“÷”来记录。（此任务考察知识的情境化应用与口头表达能力，教师选取12组进行展示，并引导观众从“故事是否合理”、“解释是否清楚”两个方面进行同伴点评。）  3.挑战层（个人选做）：“思考题”：除号“÷”在有些国家或场合也被写作“/”（如计算机语言），你觉得“/”和“÷”哪个更能体现“平均分”的意思？为什么？（此题无标准答案，旨在引发辩证思考，鼓励学有余力的学生从符号的直观性、现代应用的适应性等多角度发表看法，教师予以鼓励和总结。）第四、课堂小结  1.结构化总结：“我们的数学时空之旅即将结束，哪位侦探来分享一下你的‘破案’成果？”引导学生自主梳理。教师相机在黑板的“结论区”形成思维导图核心：中心“乘号‘×’与除号‘÷’”，分支一“来历”（乘：加号旋转；除：横线加点），分支二“原因”（太麻烦，要简化），分支三“感受”（简洁、有用、智慧）。“看，这就是我们今天共同探索的知识地图！”  2.方法提炼与元认知反思：“回顾一下，我们是怎么解开符号奥秘的？（看史料、想问题、找联系、比优劣）下次遇到别的数学知识来历，你会怎么探究呢？”“对了，就是要多问一个‘为什么’，多当一回‘探索家’！”  3.作业布置与延伸：必做作业（基础性）：将乘号、除号的来历讲给爸爸妈妈听。选做作业（拓展性/探究性）：1.查阅资料，了解加号“+”和减号“”的来历，下节课分享。2.为你设计的新运算符号制作一张“推广海报”，写上它的含义、设计理由和用法示例。六、作业设计  1.基础性作业（必做）：    (1)说一说：向家人或朋友复述乘号“×”和除号“÷”分别是怎样来的，以及你觉得它们好在哪里。    (2)写一写：完成练习册上对应的基础填空题，如：“乘号‘×’是由（）号旋转得到的；除号‘÷’中间的横线表示（），上下两点表示（）。”  2.拓展性作业（鼓励完成）：    (1)查一查：利用书籍或网络（在家长协助下），了解等号“=”或大于号“>”、小于号“<”的发明小故事，准备一个23分钟的“数学故事汇”分享。    (2)画一画：创作一幅四格漫画，描述古人没有乘号（或除号）时的烦恼，以及符号发明后带来的便利。  3.探究性/创造性作业（学有余力选做）：    (1)创一创：如果数学中还没有表示“平方”（如3²）或“立方”（如2³）的符号，请你尝试设计一个。要求：简洁、易画，并能体现“自乘”的含义。    (2)议一议：和同学或家人讨论，在电脑和手机输入时，“÷”常常需要用“/”来代替。你认为在数字时代，“÷”这个符号的未来会怎样？它会被取代吗？写下你的观点和理由。七、本节知识清单及拓展  ★1.乘号“×”的起源：由英国数学家威廉·奥特雷德在17世纪首创并推广。其设计思路源于将加法符号“+”进行旋转，以表示一种特殊的加法——即“多个相同加数的和”。这种创造直观地体现了乘法与加法之间的本质联系。  ★2.除号“÷”的起源：由瑞士数学家约翰·拉恩在17世纪发明。符号“÷”的形象非常直观：中间的一条横线象征平均分的动作或分界线，横线上下的两个点则代表被平均分配的对象。它是一个高度象形化的数学符号。  ★3.符号发明的共同驱动力：乘号和除号的诞生，根本原因都是由于原有的表达方式（如重复书写加法、用冗长文字描述分配过程）过于“繁琐”和“低效”。数学家为了追求记录的简洁与交流的便利，从而创造了这些专用符号。  ▲4.符号“+”与乘除号的历史关系：虽然“+”出现得更早，但乘号“×”由其演变而来，这展示了数学符号体系内部的关联性与继承性。它们并非孤立存在，而是一个不断演化的系统。  ★5.符号的简洁性价值：优秀的数学符号首要特点是“简洁”，便于快速书写和印刷。试想，如果乘号是一个复杂的图案，我们每做一个算式都要画半天，那会多么影响学习效率！  ★6.符号的表征性功能：符号的核心作用是“表征”，即用一个简单的图形代表一个复杂的数学概念或关系。“×”表征了“同数连加”，“÷”表征了“平均分”。理解符号，就是理解它背后的数学概念。  ▲7.历史材料的价值：我们了解数学史，并非仅仅记忆故事，而是通过像“考古卡”这样的史料，学习如何像历史学家一样寻找证据、进行推理，从而建立起对知识发展过程的真实感知。  ★8.统一标准化的重要性：在拉恩统一除号之前，欧洲表示除法的方法多达十几种，极其混乱。符号的标准化统一，消除了交流障碍，极大地促进了数学知识的传播与发展。这是本节课蕴含的一个深刻的社会学道理。  ▲9.其他乘除表示法：在历史上和现代，乘号也有用“·”（点乘）表示的，特别是在字母运算中以避免与字母“x”混淆；除号在计算机领域常用“/”。了解这些变体，可以知道符号也会根据context（语境）而变化。  ★10.符号意识的核心：发展符号意识，不仅要会“用”符号，更要理解符号的“由来”与“价值”，建立主动运用符号进行表示、运算和推理的意愿与能力。这节课正是这一核心素养的启蒙。八、教学反思  假设本课实施完毕，我将从以下几个方面进行深度复盘。  (一)教学目标达成度分析  从预设的“前测猜想画图”与“后测（巩固训练及小结发言）”对比来看，学生最显著的转变在于对乘除号的认识从“理所当然的现成工具”转变为“有来历、有道理的人类智慧产物”。知识目标（叙述来历）通过故事复述和连线题可以得到较好检测，大部分学生能抓住“旋转加号”和“横线加点”的关键点。能力目标中“像数学家一样思考”的过程，在任务一、二中表现明显，学生能共鸣于“繁琐”并认同“简化”需求，但在自主设计符号（任务五）时，部分学生仍停留在趣味绘画阶段，对“功能性”与“简洁性”的平衡考量不足，这说明将思维过程转化为创造实践存在更高阶的挑战。情感目标达成度较高，课堂中惊叹声、笑声和专注的眼神是直接证据。学科思维目标（符号化思想）的渗透是长期的，但本课通过揭示“×”、“÷”的表征性，无疑在学生心中埋下了种子。元认知目标在课堂小结的“方法提炼”环节有所体现，但如何让二年级学生更系统地反思自己的学习策略，仍需设计更具体的引导问题或反思单。  (二)教学环节有效性评估  1.导入环节：“猜想画图”的前测活动极具价值，它不仅激发了好奇心，更暴露了学生的前概念，为后续教学的针对性提供了参照。那句“觉得麻烦，正是进步的开始”成功地将学生的感性共鸣提升到了理性认知的起点。  2.新授环节（核心任务）：五个任务环环相扣，形成了完整的探究链条。“感受繁→揭秘简→体会乱→创造统→对比悟”的逻辑线清晰。其中，任务二（动画演示“+”旋转成“×”）和任务三（板书演变“÷”）的视觉化处理，有效降低了历史理解的难度，是突破难点关键。任务五的差异化设计，满足了不同层次学生的表现欲和挑战欲。（内心独白：那个把“扩大10倍”设计成“→10”的孩子，他的解释“箭头指向10，表示变成10倍”让我惊喜，这就是符号化思维的闪光！）  3.巩固与小结环节：“小小解说员”的综合任务将数学、语文（编故事）、艺术（表演）自然融合，是发展学生综合素养的良好尝试。但时间把控需格外注意，否则容易拖堂。分层练习让每个学生都有事可做，获得感强。  (三)对不同层次学生的深度剖析  对于学习能力较强的学生，他们不仅是知识的接受者，更是思维的引领者。在小组讨论中，他们常能率先提出关键点；在挑战题中，他们能辩证地看待“÷”与“/”的优劣。对他们的支持应更多放在提供更丰富的历史细节和更具争议性的讨论点上，如引导他们思考：“为什么是奥特雷德和拉恩的符号最终流传下来，而不是其他人的设计？这背后有除了‘更好用’之外的原因吗？（如著作的影响力、学术共同体的接受等）”  对于学习需要更多支持的学生，他们可能在理解符号演