第四章第26节第2课时正、余弦定理应用举例

第2课时正、余弦定理应用举例考试要求考题分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年--2023年--2024年--【主干梳理基础落实】【知识梳理】测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角,方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i=hl=tan【知能自测】类型回源教材澄清盲点题号2,3,411.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)西南方向与南偏西45°方向相同. (√)(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角,其范围为[0,π2). (×(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角. (√)(4)若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°. (×)2.(必修第二册P51T3变式)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B()A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向【解析】选D.由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.3.(一题多法)(必修第二册P49例10变式)如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB为()A.10m B.53mC.5(3-1)m D.5(3+1)m【解析】选D.法一:设AB=xm,则BC=xm,所以BD=(10+x)m.所以tan∠ADB=ABDB=x10+x=33,解得x所以A点离地面的高AB为5(3+1)m.法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理得,AC=CDsin∠CAD·sin∠ADC=10sin15°·sin30°=206-2.所以AB4.(必修第二册P52T8变式)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=150m,汽车从C点到B点历时25s,则这辆汽车的速度为________m/s.

【解析】由题意可知,AB=300m,AC=1502m,在△ABC中,BC=90000+45000-2×300×1502×(-答案:6【考点探究核心突破】考点一测量距离问题【例1】(1)设M,N为某海边相邻的两座山峰的山顶,M,N到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到∠MPN=45°,则M,N之间的距离为()A.5010米 B.5014米C.5022米 D.5026米【解析】选A.如图,由题可知∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,MM1=100米,NN1=50米,所以PM=200米,PN=502米,又∠MPN=45°,所以MN2=40000+5000-2×200×502×22=25000,所以MN=5010米(2)为了测量一个不规则公园内C,D两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距1km的A,B两点,点B在点A的正东方向上,且A,B,C,D四点在同一水平面上.从点A处观测到点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上;从点B处观测到点C在它的北偏东15°方向上,点D在它的北偏西75°方向上,则C,D之间的距离为________km.

【解析】由题意可知∠CAB=45°,∠DAB=90°+45°=135°,∠CBA=90°+15°=105°,∠CBD=15°+75°=90°,∠DBA=15°,故∠ACB=180°-45°-105°=30°,∠ADB=180°-15°-135°=30°,在△DAB中,BDsin∠DAB=在△ABC中,BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,所以BD=1×sin135°sin30°=2又在△DBC中,∠CBD=90°,所以CD=BC2+B答案:2【思维升华】距离问题的解题思路这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题时,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为解三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.【对点训练】1.某河流中一河段的两岸基本上是平行的,根据城建工程计划,需要测量出该河段的宽度,在一侧岸边选取两点A,B并测得AB=a,选取对岸一目标点C并测得∠ABC=α,∠BAC=β,则该段河流的宽度为()A.asinαsinβsin(α+β) 【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得BC=AB·sin∠BACsin∠ACB=asinβsin(α+2.某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域,需测量繁殖区域内某湿地A,B两地间的距离(如图),测绘员在(同一个平面内)同一直线上的三个测量点D,C,E进行观测,从点D测得∠ADC=67.5°,从点C测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从点E测得∠BEC=60°,并测得DC=23km,CE=2km,则A,B两点间的距离为________km.

【解析】在△ACD中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,CD=23km,所以∠CAD=67.5°,则AC=CD=23km,在△BCE中,∠BEC=60°,∠BCE=75°,CE=2km,则∠CBE=45°,由正弦定理得CEsin45°=BCsin60°,可得BC=CE·sin60则在△ABC中,AC=23km,BC=3km,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos60°=9,因此,AB=3km.答案:3考点二测量高度问题【例2】(1)(2024·济宁模拟)首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆,大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直),在赛道一侧找到一座建筑物PQ,测得PQ的高度为25.4米,并从P点测得A点的仰角为30°;在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点,P点的仰角分别为75°和30°(其中B,M,Q三点共线),该学习小组利用这些数据估算赛道造型最高点A距离地面的高度约为(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)()A.58米 B.60米 C.66米 D.68米【解析】选B.由题意得∠AMB=75°,∠PMQ=30°,∠AMP=75°,∠APM=60°,∠PAM=45°,在△PMQ中,PM=PQsin∠PMQ=50.8(在△PAM中,由正弦定理得AMsin∠APM=PMsin∠PAM,所以AM=25.4在△ABM中,AB=AM·sin∠AMB=25.46×2+64≈60((2)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶D在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高CD=________m.

【解析】设此山高为hm,则BC=3hm,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600m.根据正弦定理得,BCsin∠BAC=即3hsin30°=600sin45°,解得h=1006.即此山的高答案:1006【思维升华】高度问题的易错点(1)图形中为空间关系,极易当作平面问题处理,从而致错;(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入,从而把握不准已知条件而致错.【对点训练】1.矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意,也象征着上饶四省通衢,连南接北,通江达海,包容八方.如图2,某中学研究性学习小组为测量其高度,在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为π6,π4,π3,且AB=BC=20m,则四门通天铜雕的高度为A.156m B.106m C.66m D.56m【解析】选B.设OP=hm,则OA=3hm,OB=hm,OC=33h在△ABO中,由余弦定理得cos∠ABO=400+h2-在△BCO中,由余弦定理得cos∠OBC=400+h2-因为∠ABO+∠OBC=π,所以400-2h240h+400+2解得h=106,所以四门通天铜雕的高度为106m.2.“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,又称“千禧之轮”.该摩天轮的半径为6(单位:10m),游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦某建筑BC,伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位:10m),游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时,视角θ=30°,则建筑BC的高度为___________(单位:10m).

【解析】当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时,如图所示,因为摩天轮的半径为6,所以AD=12,又AB=12,因此DB=AD2+AB2=144+144=122,因为∠因为∠CDB=θ=30°,所以∠DCB=180°-45°-30°=105°,由正弦定理可知BCsin∠CDB=DBsin∠DCB⇒BCsin30°=因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+所以BC=62sin105°=626+24=62答案:123-12考点三测量角度问题【例3】(1)如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于()A.33 B.6-2 C.3-1 D.2【解析】选C.在△ABC中,∠ACB=∠DBC-∠BAC=45°-15°=30°,由正弦定理知BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,故BC=AB·sin∠BAC在△BDC中,BCsin∠BDC=CDsin∠DBC,故50(6-2)sin∠即sin(θ+90°)=3-1,即cosθ=3-1.(2)甲船在A处观察乙船,乙船在它北偏东60°方向,相距a海里的B处,乙船向正北方向行驶,若甲船速度是乙船速度的3倍,甲船为了尽快追上乙船,朝北偏东θ方向前进,则θ=________.

【解析】如图,设两船在C处相遇,则由题意得∠ABC=180°-60°=120°,且ACBC=3由正弦定理得ACBC=sin120°sin∠BAC=3,所以sin∠又因为0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°,所以θ=60°-30°=30°.答案:30°【思维升华】角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.【对点训练】如图,某人在垂直于水平面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离