教学案例：线段垂直平分线探究教学

教学案例：线段垂直平分线探究教学一、案例背景“线段的垂直平分线”是初中几何的重要内容，它既是对轴对称知识的深化，也是后续学习等腰三角形、圆等内容的基础。传统教学多以教师讲授、演示为主，学生被动接受，对性质的理解往往停留在表面。本案例尝试采用探究式教学，引导学生通过动手操作、观察思考、合作交流等方式，自主发现和建构线段垂直平分线的性质与判定，培养其几何直观、推理能力及探究精神。二、教学目标（一）知识与技能1.理解线段垂直平分线的概念，能准确描述其定义。2.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）。3.能运用线段垂直平分线的性质与判定解决简单的几何问题。（二）过程与方法1.经历线段垂直平分线性质的探究过程，体会从直观感知到理性证明的认知过程。2.在动手操作、合作探究中，提升观察、分析、归纳及逻辑推理能力。3.初步学会运用几何语言表达思考过程和结果。（三）情感态度与价值观1.通过主动参与探究活动，感受数学的严谨性和结论的确定性，激发学习数学的兴趣。2.在解决问题的过程中体验成功的喜悦，培养合作意识和创新精神。3.体会数学源于生活又服务于生活，增强应用意识。三、教学重难点重点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的探究与应用。难点：线段垂直平分线性质定理的逆定理的理解和证明；性质与判定的灵活运用。四、教学准备教师：多媒体课件、几何画板软件、等腰三角形纸片（学生每人一张）、直尺、圆规、剪刀。学生：预习课本相关内容，准备直尺、圆规、练习本、铅笔。五、教学过程（一）情境创设，引入新课师：同学们，我们已经学习了轴对称图形。大家请看老师手中的这个等腰三角形纸片（展示等腰三角形），它是轴对称图形吗？生：是！师：它的对称轴是什么呢？谁能上来帮老师折一折，找出来？（学生上台演示，将等腰三角形对折，使两腰重合。）师：很好。这条折痕我们很熟悉，它既是顶角的平分线，也是底边上的高。今天，我们来研究这条折痕的另一个重要身份。我们知道，这条折痕垂直于底边，并且把底边分成了相等的两部分。像这样，垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，我们给它一个专门的名称，叫做——线段的垂直平分线。（板书课题：线段的垂直平分线）设计意图：从学生已有的轴对称知识和等腰三角形入手，自然引出线段垂直平分线的概念，让学生初步感知其存在和特征，激发学习兴趣。（二）动手操作，探究性质师：我们已经知道了什么是线段的垂直平分线。那么，线段的垂直平分线上的点，有什么特殊的性质呢？请同学们拿出准备好的白纸，我们一起来做个实验。（引导学生按步骤操作）1.画线段：在白纸上画一条线段AB。2.作垂直平分线：用折纸的方法（或尺规作图）作出线段AB的垂直平分线MN，垂足为点O。3.取点测量：在MN上任取一点P，连接PA、PB。用刻度尺测量PA、PB的长度，记录下来。4.再取点测量：在MN上再取几个不同的点P1、P2、P3，分别连接它们与A、B的线段，测量长度并记录。师：同学们，通过测量，你们发现了什么规律？PA与PB的长度有什么关系？P1A与P1B呢？（学生小组讨论，交流测量结果）生1：我们组测量的PA和PB是相等的，P1A和P1B也是相等的。生2：我们取的点离O点远近不同，但测量结果都是PA等于PB。师：很好！大家通过动手操作和测量，观察到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离似乎是相等的。这仅仅是我们通过测量得到的猜想，要想确认这个结论的正确性，还需要进行严格的证明。设计意图：通过动手操作和测量，引导学生从直观上感知线段垂直平分线的性质，培养学生的动手能力和观察能力，为后续的理论证明打下基础。（三）推理论证，深化理解师：如何证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”呢？（教师引导学生分析命题的题设和结论，画出图形，写出已知、求证。）已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P在MN上。求证：PA=PB。师：要证明两条线段相等，我们学过哪些方法？生：全等三角形！师：非常好。观察图形，PA和PB分别在哪个三角形中？生：△POA和△POB。师：这两个三角形全等吗？条件够吗？生：因为MN是AB的垂直平分线，所以OA=OB，∠POA=∠POB=90°。又因为OP是公共边，所以根据“SAS”可以判定△POA≌△POB，所以PA=PB。（教师规范板书证明过程，并强调几何语言的严谨性。）师：通过证明，我们确认了刚才的猜想是正确的，这就是线段垂直平分线的性质定理。（板书定理内容）师：这个定理的条件和结论分别是什么？它有什么作用？生：条件是点在线段的垂直平分线上，结论是这个点到线段两端点的距离相等。作用是可以用来证明两条线段相等。师：我们反过来思考一下，如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点是否一定在线段的垂直平分线上呢？这就是性质定理的逆命题。这个逆命题成立吗？（引导学生类似地画出图形，写出已知、求证，并尝试证明。）已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。师：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，我们可以怎么思考？可以证明PO垂直平分AB吗？（学生分组讨论，尝试证明。教师巡视指导，引导学生作辅助线：过点P作PO⊥AB于点O，或取AB中点O，连接PO。）生1：过点P作PO⊥AB于点O，则∠POA=∠POB=90°。在Rt△POA和Rt△POB中，PA=PB，PO=PO，所以Rt△POA≌Rt△POB（HL），所以OA=OB。所以PO是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上。生2：取AB的中点O，连接PO。因为OA=OB，PA=PB，PO=PO，所以△POA≌△POB（SSS），所以∠POA=∠POB。又因为∠POA+∠POB=180°，所以∠POA=∠POB=90°，即PO⊥AB。所以PO是AB的垂直平分线，点P在AB的垂直平分线上。师：同学们的证明都非常精彩！两种方法都可以证明这个逆命题是成立的。这就是线段垂直平分线的判定定理。（板书定理内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）师：现在我们有了两个定理，它们之间有什么联系和区别？（引导学生对比性质定理和判定定理的条件与结论，明确它们的互逆关系。）设计意图：通过严格的逻辑推理证明性质定理及其逆定理，培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力，使学生体会数学的严谨性。同时，通过对比分析，帮助学生理清两个定理的联系与区别，加深理解。（四）应用拓展，巩固新知师：我们学习了线段垂直平分线的性质和判定，现在就来运用它们解决一些问题。例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E。若AC=6cm，BC=4cm，求△BCD的周长。（教师引导学生分析：要求△BCD的周长，即BC+CD+BD。已知BC=4cm，AC=6cm=AB。DE是AB的垂直平分线，根据性质定理，AD=BD。所以CD+BD=CD+AD=AC=6cm。因此，△BCD的周长=BC+(CD+BD)=4+6=10cm。）练习：1.如图，在直线MN上求作一点P，使PA=PB。（尺规作图）2.已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P。求证：PA=PB=PC。（学生独立完成或小组合作完成，教师巡视指导，对典型错误进行点评。）师：通过练习我们发现，三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。这个点就是三角形的外心。（简要介绍，为后续学习做铺垫）设计意图：通过例题和练习，巩固学生对线段垂直平分线性质定理和判定定理的理解与应用，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。尺规作图的练习也培养了学生的作图技能。（五）总结反思，形成结构师：今天我们一起探究了线段的垂直平分线，大家有哪些收获？（学生自由发言，教师引导总结）1.知识上：我们学习了线段垂直平分线的概念、性质定理和判定定理。2.方法上：我们经历了“观察——猜想——验证——证明——应用”的探究过程，体会了数形结合、转化与化归的思想。3.能力上：通过动手操作和合作交流，提升了我们的动手能力和合作探究能力。师：线段垂直平分线的性质和判定在今后的几何学习中有着广泛的应用，希望大家能够灵活掌握，学以致用。设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课所学知识，回顾探究过程，总结数学思想方法，形成知识体系，提升学习能力。六、教学反思本节课围绕线段垂直平分线的性质与判定展开，通过创设情境激发兴趣，动手操作感知性质，推理论证确认猜想，应用拓展巩固新知，总结反思提升认识等环节，力求体现探究式教学的理念。在实际教学中，学生参与动手操作和探究的积极性较高，能够通过测量发现性质的猜想。在证明环节，部分学生对于辅助线的添加还存在困难，需要教师更耐心的引导和启发。对于性质定理和判定定理的区分和灵活应