有理数找规律专项分类练习（三）

有理数找规律专项分类练习（三）各位同学，大家好。在有理数的学习旅程中，找规律问题如同散落的珍珠，需要我们用敏锐的观察力和严谨的逻辑思维将其串联。经过前两期的专项练习，相信大家对基本的数字排列、符号变化等规律已有一定掌握。本期专项练习（三）将在此基础上，更侧重于规律的综合运用、递推关系的探寻以及与图形、算式结合的复杂规律，希望能帮助大家进一步提升分析问题和解决问题的能力。一、数与式的排列规律深化这类问题不仅要求我们关注数字本身的变化，更要洞察数字背后隐藏的运算逻辑或递推关系。（一）递增与递减中的倍数与和差例题1：观察下列数列，按规律填空：1，3，7，15，31，（），（）思路点拨：首先观察相邻两项的差值：3-1=2，7-3=4，15-7=8，31-15=16...差值分别为2,4,8,16...这是一个以2为公比的等比数列。那么下一个差值应为32，再下一个为64。因此，括号内的数依次为31+32=63，63+64=127。或者，我们也可以从另一个角度看：1=2^1-1，3=2^2-1，7=2^3-1，15=2^4-1，31=2^5-1，故第n项为2^n-1。尝试解答：（），（）例题2：观察下列数列，按规律填空：5，8，13，20，29，（），（）思路点拨：同样先看差值：8-5=3，13-8=5，20-13=7，29-20=9...差值依次为3,5,7,9...这是一个公差为2的等差数列。下一个差值应为11，再下一个为13。所以括号内的数为29+11=40，40+13=53。尝试解答：（），（）（二）符号交替与绝对值规律例题3：观察下列数列，按规律填空：-1/2，2/3，-3/4，4/5，-5/6，（），（）思路点拨：此数列的符号正负交替，奇数项为负，偶数项为正。再看绝对值部分：分子依次是1，2，3，4，5...分母依次是2，3，4，5，6...即第n项的绝对值为n/(n+1)。综合符号，第n项为(-1)^n*(n/(n+1))。因此，第六项（偶数项）为6/7，第七项（奇数项）为-7/8。尝试解答：（），（）（三）周期循环规律例题4：观察下列数列，按规律填空：1，-2，3，-4，1，-2，3，-4，（），（），（）思路点拨：不难发现，“1，-2，3，-4”这四个数重复出现，构成一个周期。周期长度为4。因此，接下来的三个数应为周期内的第一个、第二个、第三个数，即1，-2，3。尝试解答：（），（），（）二、数与形结合的规律数与形的结合往往能使抽象的规律变得直观，这类问题需要我们从图形的变化中提炼出数量关系。（一）图形中的点、线、面数量规律例题5：如图所示，是由若干个点组成的图形，第1个图形有1个点，第2个图形有3个点，第3个图形有6个点，第4个图形有10个点，...，按此规律，第n个图形有多少个点？（*此处应有图形示意：第1个是单点，第2个是三角形顶点3点，第3个是三角形内加一点形成小三角形共6点，第4个类似共10点——即三角形数*）思路点拨：我们把每个图形的点数写出来：1，3，6，10...观察这些数：3=1+2，6=3+3，10=6+4...即第n个图形的点数是第(n-1)个图形的点数加上n。也可以理解为第n个图形的点数是1+2+3+...+n。这是一个典型的“三角形数”数列，其通项公式为n(n+1)/2。尝试解答：第n个图形有个点。（二）表格或数阵中的排列规律例题6：观察下面的数表，寻找规律并在空格处填上适当的数。1...:---:---:---:---:--35...7911...13151719..................思路点拨：观察数表，每行的数字都是连续的奇数。第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数...且每行的第一个数与上一行有什么关系呢？第一行第一个数1；第二行第一个数3=1+2；第三行第一个数7=3+4；第四行第一个数13=7+6；...即每行第一个数比上一行第一个数依次多2,4,6,...（连续偶数）。或者换个角度，前n行共有1+2+3+...+n=n(n+1)/2个数。这些数是从1开始的连续奇数。第n行第m个数是整个数列中的第[(n-1)n/2+m]个奇数。奇数数列的第k项为2k-1。因此，第n行第m个数为2*[(n-1)n/2+m]-1=n(n-1)+2m-1。例如，第2行第2个数：n=2,m=2，2*1+4-1=5，正确。第3行第3个数：3*2+6-1=11，正确。尝试解答：第2行第3个空格（若存在）应填，第5行第2个数应填。三、方法总结与提升解决有理数找规律问题，通常遵循以下步骤：1.观察：仔细观察已知数据（或图形）的特征，包括数字的大小、符号、变化趋势、重复出现的现象等。2.比较：对相邻数据、间隔数据、分组数据进行比较，寻找它们之间的和、差、积、商、倍数、乘方等关系。3.归纳：尝试用代数式、文字描述等方式概括出规律。对于数列，常假设第n项的表达式。4.验证：将归纳出的规律代入已知项进行检验，确保其正确性；并用规律预测未知项。温馨提示：*注意符号的单独规律，有时符号规律与绝对值规律是分开的。*若数列忽增忽减或有重复现象，考虑周期规律。*对于与图形结合的问题，要耐心数出前几个图形的数量，再从数字入手找规律。*多尝试，多联想，不要怕犯错，规律往往在多次尝试后显现。四、自我检测与巩固练习请同学们运用上述方法，解决以下问题：1.填空：2，5，10，17，26，（），（）2.填空：1，-1/2，1/3，-1/4，1/5，（），（）3.观察数列：0，3，8，15，24，...第n个数是。4.如图，用棋子摆成正方形图案，第1个图案有4枚棋子，第2个图案有8枚棋子，第3个图案有12枚棋子，...，则第n个图案有枚棋子。（*此处应有图形示意：第1个是边长为2的正方形边框，第2个是边长为3的正方形边框，内无棋子，等等*）5.观察下面三行数：第一行：-1，2，-4，8，-16，32，...第二行：0，3，-3，9，-15，33，...第三行：-2，4，-8，16，-32，64，...（1）第一行的第7个数是；（2）第二行的第n个数与第一行的第n个数