《结构力学》典型习题与解答

结构力学的学习，离不开大量习题的练习。通过对典型习题的深入剖析与独立求解，能够帮助我们更好地理解基本概念、掌握分析方法、提升解决实际工程问题的能力。本文选取若干结构力学中的典型习题，涵盖几何组成分析、静定结构内力计算等核心内容，力求通过清晰的解题思路与严谨的解答过程，为读者提供有益的参考。一、几何组成分析几何组成分析是结构力学的入门基础，其目的在于判断给定体系是否为几何不变体系，以及有无多余约束，从而确定其是否能作为结构使用。1.1平面体系的几何不变性判定习题1：几何不变体系的判定（无多余约束）习题描述：试对图示平面体系进行几何组成分析，判定其是否为几何不变体系，若为几何不变体系，说明有无多余约束。体系由基础、刚性杆AC、BC以及铰C组成，A、B两点为固定铰支座与基础相连。解题思路：几何组成分析的关键在于运用基本组成规则，判断体系是否具备几何不变性。对于此类由少数杆件和铰组成的简单体系，可尝试直接应用两刚片规则或三刚片规则进行分析。首先需明确各部件（刚片），再分析它们之间的连接方式（约束）是否满足规则要求。解答过程：1.确定刚片：基础本身可视为一个大刚片（刚片Ⅰ）。杆件AC和BC均为刚性杆，可分别视为刚片Ⅱ和刚片Ⅲ。2.分析连接：*刚片Ⅱ（AC）与刚片Ⅰ（基础）通过A点的固定铰支座连接，构成一个铰结点，提供两个约束。*刚片Ⅲ（BC）与刚片Ⅰ（基础）通过B点的固定铰支座连接，构成一个铰结点，提供两个约束。*刚片Ⅱ（AC）与刚片Ⅲ（BC）通过C点的铰连接，构成一个铰结点，提供两个约束。3.应用规则：我们考察刚片Ⅱ、Ⅲ与基础（刚片Ⅰ）的连接。刚片Ⅱ与Ⅰ由铰A连接，刚片Ⅲ与Ⅰ由铰B连接，刚片Ⅱ与Ⅲ由铰C连接。此时，三个刚片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）通过不在同一直线上的三个铰（A、B、C）两两相连，符合三刚片规则。4.结论：该体系为几何不变体系，且无多余约束。小结：三刚片规则是判定几何不变体系的重要依据之一，其核心在于三个刚片间的三个铰（或等效铰）不共线。在分析时，正确选择刚片并识别铰的位置至关重要。习题2：含有多余约束的几何不变体系判定习题描述：试分析图示平面体系的几何组成。体系由四根等长的刚性杆AB、BC、CD、DA铰接成菱形，在对角线位置增设一根刚性杆AC。A点为固定铰支座，B点为可动铰支座。解题思路：对于此类由多个杆件铰接而成的体系，可先从不考虑某些杆件时的体系状态入手，分析其几何不变性，再判断所增设的杆件是否为多余约束。解答过程：1.初步观察：若暂不考虑对角线AC杆，体系由AB、BC、CD、DA四根杆铰接成菱形ABCD，A为固定铰，B为可动铰。此时，ABCD构成一个铰接四边形，其形状可以改变（如菱形可变为平行四边形），因此是一个几何可变体系（常变体系）。2.添加约束：增设对角线AC杆后，将铰接四边形ABCD分割成两个三角形ABC和ADC。三角形是几何不变的基本单元。3.分析整体：三角形ABC中，A为固定铰，B为可动铰，形成一个几何不变的基本部分。三角形ADC通过铰A和铰C与ABC相连，铰A为固定铰，铰C使ADC与ABC刚性连接，因此整体构成几何不变体系。4.检查约束数量：计算体系的自由度或约束数目有助于验证。对于平面体系，自由度W=3m-2h-r（m为刚片数，h为单铰数，r为支座链杆数）。此处，刚片数m=5（AB、BC、CD、DA、AC），单铰数h：A、B、C、D各为一个单铰，每个铰连接2个刚片，故h=4。支座链杆数r：固定铰A提供2个，可动铰B提供1个，共r=3。则W=3*5-2*4-3=15-8-3=4。然而，这种计算方式有时会因刚片选择和铰的计算方式产生混淆，更直观的是，一个几何不变且无多余约束的平面体系，其W=0。现在W=4，显然不合理，说明之前的刚片计数方式有误。*更简便的方法：对于铰接体系，若将每个结点视为自由度为2的对象，每个链杆视为一个约束。结点数n=4（A、B、C、D），链杆数：AB、BC、CD、DA、AC共5根，支座链杆3根（A处2，B处1）。总约束数c=5+3=8。自由度W=2n-c=2*4-8=0。此时W=0，说明体系几何不变且无多余约束？这与之前的直观感受矛盾。*问题辨析：问题出在对“刚片”和“链杆”的界定。在铰接体系中，每一根直杆都是链杆，每个单铰连接两根链杆。上述第二种方法（结点法）计算自由度W=2n-(b+r)，其中b为体系内部链杆数，r为支座链杆数。此处n=4，b=5（AB,BC,CD,DA,AC），r=3。W=2*4-(5+3)=0。这表明体系是几何不变且无多余约束的。那么，为何最初认为无AC杆时是可变体系？因为无AC杆时，b=4，W=2*4-(4+3)=1>0，确为可变体系。添加AC杆后，W=0，变为不变体系，且无多余约束。5.修正结论：原体系（含AC杆）为几何不变体系，且无多余约束。小结：自由度计算是辅助判断几何组成的有效工具，但需注意公式的适用条件和参数的正确选取。对于铰接体系，结点法计算自由度（W=2j-b-r）较为便捷。当W≤0时，体系可能为几何不变，但需进一步结合几何组成规则判断是否存在瞬变或常变情况。二、静定结构内力计算静定结构的内力计算是结构力学的核心内容之一，其基本方法是利用静力平衡条件求解。2.1多跨静定梁的内力图绘制习题3：多跨静定梁的弯矩图与剪力图绘制习题描述：试绘制图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。梁由AB和BC两段组成，A端为固定铰支座，B处为中间铰，C端为可动铰支座。在AB段中点作用一集中荷载P，在BC段全跨作用均布荷载q。解题思路：多跨静定梁由基本部分和附属部分组成，计算时应遵循“先附属后基本”的原则，即先计算附属部分的约束力，将其反向施加于基本部分，再计算基本部分的内力。绘制内力图时，需明确各控制截面的内力值，并注意荷载作用对内力图形状的影响。解答过程：1.结构组成分析：该多跨静定梁中，BC段通过中间铰B与AB段相连。若去除AB段，BC段在B处（可视为固定铰）和C处（可动铰）支撑，能独立承受荷载，故BC段为基本部分；AB段则需依靠BC段通过铰B提供支撑才能保持稳定，故AB段为附属部分。（*编者注：此处原分析有误，通常将直接与基础相连，能独立承受荷载并保持平衡的部分视为基本部分。正确分析应为：AB段A端固定铰，B端中间铰，可独立承受荷载，为基本部分；BC段B端中间铰，C端可动铰，需依附于AB段，为附属部分。以下按正确分析进行。*）*修正：AB段A为固定铰，B为中间铰，可直接与基础形成稳定支撑，是基本部分。BC段B为中间铰，C为可动铰，其自身不能独立承受荷载并保持平衡（会发生转动），需通过铰B与AB段相连，故BC段为附属部分。因此，应先计算附属部分BC的内力和约束力。2.计算附属部分（BC段）的支座反力：*取BC段为隔离体，B处为铰，C处为可动铰。均布荷载q作用于全跨，跨度设为L（BC段长度）。*由∑MC=0：FBy*L-qL*(L/2)=0→FBy=qL/2(↑)*由∑Fy=0：FCy+FBy-qL=0→FCy=qL-qL/2=qL/2(↑)*B处水平反力FBx=0（无水平荷载）。3.计算基本部分（AB段）的支座反力：*将附属部分BC段对B铰的作用力FBy=qL/2反向施加于基本部分AB段的B端，即AB段B端受到向下的力qL/2。*AB段A端为固定铰，承受竖向反力FAy和水平反力FAx（此处FAx=0），B端（铰）有向下的力qL/2，中点作用集中荷载P。设AB段跨度为2L（为方便计算，设AB段长度为2L，中点在距A、B各L处）。*由∑MA=0：FBy'*2L-P*L=0（FBy'=qL/2，方向向下）→(qL/2)*2L=P*L→qL²=PL→P=qL(此为根据平衡条件得出的P与qL的关系，若题目给定P和q、L的具体数值，则可直接计算。此处假设P=qL以简化后续计算，实际解题时应根据题目给定值计算)。*由∑Fy=0：FAy-P-FBy'=0→FAy=P+qL/2=qL+qL/2=3qL/2(↑)。4.绘制剪力图（Q图）：*AB段：*A端右侧截面：Q=FAy=3qL/2(↑)。*荷载P左侧截面：Q=3qL/2。*荷载P右侧截面：Q=3qL/2-P=3qL/2-qL=qL/2。*B端左侧截面：Q=qL/2-FBy'(注意FBy'是AB段B端的外力，方向向下，在计算剪力至B端时，Q=qL/2)。*BC段：*B端右侧截面：Q=FBy=qL/2(↑)。*C端左侧截面：Q=qL/2-qL=-qL/2。*根据上述各控制截面剪力值，绘制剪力图。AB段无均布荷载，剪力图为水平直线；BC段有均布荷载，剪力图为斜直线。5.绘制弯矩图（M图）：*AB段：*A端：M_A=0。*荷载P作用点（AB中点）：M=FAy*L-P*0=3qL/2*L=3qL²/2(下侧受拉)。*B端：M_B=FAy*2L-P*L=3qL/2*2L-qL*L=3qL²-qL²=2qL²；或从右侧看，M_B=0（铰处弯矩为零）。这里出现矛盾，是因为之前假设P=qL是基于∑MA=0，此时计算M_B应为0。重新检查AB段∑MA=0：FAy*2L-P*L-FBy'*2L=0→FAy*2L=P*L+(qL/2)*2L→FAy=(PL+qL²)/(2L)=(P+qL)/2。若不假设P与qL的关系，则保留表达式。设AB长为L_AB，BC长为L_BC，此处为简化，取L_AB=L_BC=L。则：*对BC段：FBy=qL/2(↑)。*对AB段：A端，B端（受FBy向下的力qL/2），跨中P。*∑MA=0：FBy*L_AB-P*(L_AB/2)=0→(qL/2)*L-P*(L/2)=0→qL²/2=PL/2→P=qL。可见，当AB与BC等长时，P=qL才能使B铰处弯矩为零，这是合理的。因此，M_B=0。*AB段跨中弯矩M=FAy*(L/2)。FAy=P+FBy=qL+qL/2=3qL/2。所以M=3qL/2*L/2=3qL²/4。*BC段：*B端：M_B=0。*C端：M_C=0。*跨中最大弯矩在剪力为零处，即BC段中点。M_max=FBy*(L/2)-q*(L/2)^2/2=(qL/2)(L/2)-qL²/8=qL²/4-qL²/8=qL²/8(上侧受拉)。*根据各控制截面弯矩值及荷载情况绘制弯矩图：AB段在集中荷载P作用下，弯矩图为两条相连的斜直线，在P作用点达到最大值；BC段在均布荷载q作用下，弯矩图为抛物线。小结：绘制多跨静定梁内力图的关键在于正确区分基本部分和附属部分，遵循“先附属后基本”的求解顺序。铰结点处的弯矩必为零，这是重要的控制条件。内力图的形状应与荷载分布规律相对应。2.2静定刚架的内力图绘制习题4：静定刚架的内力计算与内力图绘制习题描述：试计算图示静定刚架的弯矩、剪力和轴力，并绘制内力图。刚架由立柱AB和横梁BC组成，A端为固定端，C端为自由端。横梁BC上作用有均布荷载q，在B结点处作用一水平向右的集中力P。各杆长度均为L。解题思路：静定刚架的内力计算通常采用截面法，即截取隔离体，利用平衡方程求解控制截面的内力。对于由直杆组成的刚架，应逐杆分析，注意结点处的内力平衡条件。绘制内力图时，弯矩图通常绘在杆件受拉一侧，剪力图和轴力图需标明正负号。解答过程：1.计算支座反力：*刚架A端为固定端，有三个支座反力：水平反力FAx、竖向反力FAy和弯矩MA。C端自由。*整体受力分析：*∑Fx=0：FAx-P=0→FAx=P(←)*∑Fy=0：FAy-qL=0→FAy=qL