河北省雄安新区2025-2026学年高一上学期2月期末考试数学试题（试卷+解析）

河北省雄安新区2025-2026学年上学期期末考试高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C D.3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.4.下列各组函数不是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与5.若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.6.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.7.已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（）A.2025 B.2026 C.4052 D.4053二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（）A.B.C.为偶函数D.10.下列说法中，正确的是（）A.若，则的定义域为B.若实数满足，则的最小值为C.若，则D.“”是“”的充分不必要条件11.已知函数若有个不同的实数根，记为，且，则下列结论正确的是（）A.时，B.的所有可能取值为C.当时，D.当时，，且三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一扇形的面积为2，圆心角的弧度数为1，则该扇形的周长为__________.13.已知角为锐角，且，则__________.14.已知函数（为常数）为上偶函数，则不等式的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.化简求值：（1）（2）16.将函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象.（1）写出的函数表达式，并求其图象的对称轴方程；（2）若.①求最小正周期及单调递减区间；②当时，求的值域.17.已知函数.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.18.如图，某游乐场的摩天轮的半径为30米，中心轴距地面40米.启动后，逆时针匀速旋转一周需要12分钟.乘客甲从摩天轮最低处登舱，开启后该舱的底部离地面的高度（单位：米）（忽略座舱本身高度）与启动的时间（单位：分钟）的关系可表示为，其中.（1）求的函数表达式；（2）当乘客甲所在舱的底部距离地面55米及以上时，乘客甲可以将游乐场的全景尽收眼底，当时，乘客甲有多长时间可以看到游乐场的全景？（3）若乘客乙在乘客甲登舱3分钟后登舱，当时，求甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值.19.同学甲对函数进行了一番研究，他的研究结果如下：函数为奇函数，定义域为，函数在和上单调递增，在和上单调递减，它被称为“对勾函数”.（1）同学乙对函数进行了研究，得到此函数在定义域和上单调递增，请你帮助同学乙用单调性的定义证明此结论；（2）求函数的值域；（3）令，若在上最小值为，求的值.河北省雄安新区2025-2026学年上学期期末考试高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，即可根据交集运算求解.【详解】由题知，，又集合，所以.故选：B2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题否定的结构即可求解.【详解】命题“”的否定为“”，故选：D.3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，即可求解.【详解】当时，，则，又由为奇函数，则.故选：A4.下列各组函数不是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可.【详解】对于A，当为奇数时，，所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数；对于B，为偶数时，，所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数；对于C，与都可化为，且定义域均为，故是同一个函数；对于D，与的定义域都是，是关于的二次函数，而是关于的函数，当时为一次函数，当时为常数函数，两函数对应关系不相同，故不是同一个函数.故选：D.5.若角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出,利用二倍角公式和商数关系化简原式即可求解.【详解】角的终边过点，则.故选：D.6.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数，正切函数以及对数函数的单调性即可求解.【详解】因为，即，所以.故选:A.7.已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，求得，再由时，，结合余弦函数性质即可求解.【详解】因为，所以，故，故，即，因为，所以，故，当时，，要想在上有且只有三个最值点，则要，解得即的取值范围是，故选：B.8.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（）A.2025 B.2026 C.4052 D.4053【答案】C【解析】【分析】先根据解析式求得，首尾相加可得答案.详解】由题意可知，所以，所以，故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（）A.B.C.为偶函数D.【答案】BCD【解析】【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以A错误，B正确；由上述分析可得，则，所以为偶函数，C正确；因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以，故D正确.故选：BCD.10.下列说法中，正确的是（）A.若，则的定义域为B.若实数满足，则的最小值为C.若，则D.“”是“”的充分不必要条件【答案】BCD【解析】【分析】对于A,结合对数函数的定义域求解即可；对于B,利用基本不等式1的妙用即可求解；对于C，利用换元法即可求解解析式；对于D，利用二倍角公式化简结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】对于A，由得，由，得，的定义域为，故A错误；对于B，由，得，则，当时取得等号，故B正确；对于C，令，则，则，所以，故C正确；对于D，若，则，所以充分性成立；若，则或，所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.11.已知函数若有个不同的实数根，记为，且，则下列结论正确的是（）A.时，B.的所有可能取值为C.当时，D.当时，，且【答案】ACD【解析】【分析】作出函数的图像，将有个不同的实数根，转换成交点问题，结合图象逐项判断即可.【详解】将函数的图象沿轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象；对于，最小正周期为，故上有4个周期，令，则可得图象的对称轴为，由此作出函数的图象，如图，当时，由上图知，，满足，则，即，所以，A正确；让直线上下移动，可得交点的个数可能为，没有11个的情况，B不正确；当时，由图可知时，取其他值时，，故C正确；时，直线在轴下方，由图可知，，，同理得，故.D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一扇形的面积为2，圆心角的弧度数为1，则该扇形的周长为__________.【答案】6【解析】【分析】由扇形的面积和弧长公式可得出关于，的方程组，解出这两个量的值，即可求得该扇形的周长.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，由题意可知，解得，所以2，所以扇形的周长为.故答案为：613.已知角为锐角，且，则__________.【答案】【解析】【分析】先化简条件可得，结合平方关系可求，利用差角公式可得答案.【详解】，由题可知，故答案为：14.已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】利用偶函数的性质求得，进而判断函数的单调性，然后根据函数单调性即可求解不等式.【详解】因为函数（为常数）为上的偶函数，所以，所以，则，对于，，当时，，所以，单调递增，且单调递增，所以在上单调递增，所以，平方得，解得或.故答案：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.化简求值：（1）（2）【答案】（1）11（2）1【解析】【分析】（1）根据指数、对数的运算性质化简即可；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】.【小问2详解】.16.将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象.（1）写出的函数表达式，并求其图象的对称轴方程；（2）若.①求最小正周期及单调递减区间；②当时，求的值域.【答案】（1），.（2）①，；②.【解析】【分析】（1）由求解即可；（2）①化简得，由周期公式和不等式，求解即可；②由，得到，即可求解.【小问1详解】由题可知，令，解得，即函数图象的对称轴方程为.【小问2详解】.①最小正周期为，令，解得，所以单调递减区间为.②令，当时，，所以，所以，所以的值域为.17.已知函数.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）把问题转化为一个一元二次不等式恒成立问题，分类求解即可；（2）通过对数运算化简，把问题转化为一个一元二次不等式恒成立问题，分离变量，解法1：换元，求二次函数最值即可；解法2：利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】若的定义域为，则解集为，当时，由，得，不合题意；当时，由的解集为，得解得.综上得.【小问2详解】由条件知在上恒成立，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，解法1：令，因为，所以，则，当时，，所以，即实数的取值范围是.解法2：令，因为，所以，则，当且仅当时，取等号，所以，所以，即实数的取值范围是.18.如图，某游乐场的摩天轮的半径为30米，中心轴距地面40米.启动后，逆时针匀速旋转一周需要12分钟.乘客甲从摩天轮最低处登舱，开启后该舱的底部离地面的高度（单位：米）（忽略座舱本身高度）与启动的时间（单位：分钟）的关系可表示为，其中.（1）求的函数表达式；（2）当乘客甲所在舱的底部距离地面55米及以上时，乘客甲可以将游乐场的全景尽收眼底，当时，乘客甲有多长时间可以看到游乐场的全景？（3）若乘客乙在乘客甲登舱3分钟后登舱，当时，求甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值.【答案】（1）（2）4分钟（3）米【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求；（2）由（1）求解不等式即可；（3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简两人所在舱的底部距离地面的高度差，根据化简结果结合三角函数的最值求解出.【小问1详解】因为摩天轮半径米，中心轴距地面40米，所以.旋转一周需要分钟，可得，所以.乘客从最低点登舱，此时，所以，代入得：，即，又，所以，所以.【小问2详解】由题意令，即，又，解得，所以乘客甲有4分钟可以看到游乐场的全景.【小问3详解】由题意得乘客乙所在舱的底部距离地面的高度（单位：米）为，所以两人所在舱的底部距离地面的高度差，又，所以，所以当或，即或时，取得最大值，此时，所以甲乙两位乘客所在舱的底部距离地面的高度差的最大值为米.19.同学甲对函数进行了一番研究，他的研究结果如下：函数为奇函数，定义域为，函数在和上单调递增，在和上单调递减，它被称为“对勾函数”.（1）同学乙对函数进行了研究，得到此函数在定义域和上单调递增，请你帮助同学乙用单调性的定义证明此结论；（2）求函数的值域；（3）令，若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）证