2026年数学建模与问题求解模拟题

2026年数学建模与问题求解模拟题第一部分：问题求解（共3题，每题10分，合计30分）第1题（10分）：城市交通信号灯优化问题某城市中心区域有四个主要交叉口（A、B、C、D），形成一个矩形交通网络。高峰时段，各交叉口的平均车流量（双向）分别为：A口120辆/分钟，B口150辆/分钟，C口130辆/分钟，D口100辆/分钟。当前信号灯配时方案为：绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒，各路口循环。假设车辆到达服从泊松分布，交通延误成本为每辆车每分钟5元。试通过数学建模，设计一个优化信号灯配时方案，以最小化整个网络的总延误成本，并要求相邻路口信号灯有最小相位差（不小于10秒）。第2题（10分）：农产品供应链库存优化问题某农业合作社种植有机蔬菜，其供应和需求受季节影响。已知每批蔬菜的采购成本为10元/公斤，库存持有成本为2元/公斤·天，缺货成本为5元/公斤。未来30天的需求预测（公斤）为：[200,180,220,250,300,280,260,240,220,200,180,160,150,140,130,120,110,100,90,80,70,60,50,40,30,20,10,5,3]。若每天的最大采购量不超过500公斤，且初始库存为0，请建立数学模型，确定每日最优采购量，以最小化总成本（采购成本+库存持有成本+缺货成本）。第3题（10分）：能源消耗与碳排放平衡问题某工业园区包含5家企业，其能源消耗以电力为主，单位电力碳排放因子为0.5吨CO2/万千瓦时。各企业当前电力消耗量（万千瓦时/月）为：企业1-300，企业2-250，企业3-400，企业4-350，企业5-200。园区计划通过引入太阳能发电和节能改造来降低碳排放。已知：①每安装1千瓦太阳能光伏板，可替代0.8万千瓦时电力，成本为200元/千瓦；②每家企业通过节能改造可减少电力消耗10%-20%（均匀分布），成本为100元/千瓦时。若园区碳排放总量需控制在2000吨/月以内，请建立数学模型，计算最优的太阳能装机量和节能改造方案，以最低成本实现目标。第二部分：数学建模（共4题，每题25分，合计100分）第4题（25分）：人口流动与疫情防控策略优化问题某城市由三个区域（A、B、C）组成，人口规模分别为：A区50万人，B区70万人，C区80万人。近期出现流感爆发，区域间流动情况（日均万人）为：A→B：5，A→C：3，B→A：4，B→C：6，C→A：2，C→B：5。为控制疫情，政府可采取的措施包括：①区域间交通管制（成本100万元/月，可降低某条线路流动率的50%）；②强制疫苗接种（成本200万元/月，可降低区域内传播概率30%）。假设流感传播服从SIR模型，且当前感染人数A区1000人，B区800人，C区600人。请建立数学模型，确定最优防控策略组合（交通管制与疫苗接种），在感染人数控制在总人口的1%以下的前提下，最小化防控总成本。第5题（25分）：银行贷款风险评估模型某商业银行需对个人住房贷款申请进行风险评估。历史数据包含2000份贷款记录，其中变量包括：年龄（岁）、收入（万元/年）、贷款金额（万元）、贷款期限（年）、是否违约（1/0）。部分数据如下表所示（示意）：|年龄|收入|贷款金额|贷款期限|违约||||-|-|||30|15|80|20|0||45|30|200|30|1||28|8|50|10|0||...|...|...|...|...|要求：①建立分类模型（如逻辑回归或决策树）预测贷款违约概率；②设计一个评分卡，将预测概率转化为信用评分（如0-100分）；③若银行设定违约率上限为5%，请确定贷款审批阈值（如最低收入要求、最高贷款金额限制），以在控制风险的前提下最大化业务量。第6题（25分）：智慧农业灌溉系统优化问题某农场种植水稻，需根据土壤湿度、气象数据和作物生长阶段进行精准灌溉。监测数据（过去30天）如下表所示（示意）：|日期|土壤湿度(%)|温度(℃)|气压(hPa)|作物生长阶段|灌溉量(m³/亩)||--|||-|--|-||2023-06-01|65|28|1013|幼苗期|10||2023-06-02|60|30|1012|幼苗期|15||...|...|...|...|...|...|要求：①建立多元线性回归模型，分析土壤湿度、温度、气压对灌溉量的影响；②引入模糊逻辑控制，根据生长阶段和气象异常（如暴雨）调整灌溉策略；③若灌溉成本为1元/m³，水资源限制为每日总灌溉量不超过500m³/亩，请优化未来7天的灌溉方案，在保证作物生长需求（湿度≥60%）的前提下最小化成本。第7题（25分）：共享单车调度问题某城市共享单车运营商在五个区域（A-E）投放车辆，当前车辆分布（辆）为：A-200,B-150,C-300,D-100,E-250。骑行需求（辆/小时）预测如下：-工作日8-9点：A→B：50，B→A：30，C→A：40；-周末下午：D→E：60，E→D：40。调度规则：①单车转运成本为10元/辆·公里，②每小时最多调度200辆，③车辆总量不超过1000辆。若运营商目标是最小化用户平均候车时间（假设需求服从泊松分布，当前各区域平均候车时间见下表），请建立优化模型，确定每小时各区域最优调度量。答案与解析问题求解部分第1题-模型：用排队论M/M/c/N模型模拟各交叉口延误，设c=2（绿灯期可通过车辆数），N=5（队列长度上限）。总延误成本=Σ[排队长度×平均停留时间×延误成本]。-优化：通过Lingo求解信号灯周期（最小满足流量需求的T）与相位差（ΔT≥10s），计算各路口绿灯时间分配，目标函数为总延误成本最小。第2题-模型：采用（R，Q）库存策略，设R为安全库存，Q为订货批量。用动态规划逆向求解：f(k)=min[10Q+2k(k-1)/2+5(max(0,d_k-k))]+f(k+1)-结果：通过遍历计算每日最优采购量（如第1天采购200公斤，第2天150公斤等），总成本约1.5万元。第3题-模型：设x_i为第i企业节能改造比例（0-0.2），y_i为太阳能装机量（单位千瓦）。目标函数：min[200Σy_i+100Σ0.2x_i500]-约束：Σ(0.8y_i+0.9500x_i)-当前电力需求≤2000吨CO2。-结果：最优方案为A区改造15%、B区20%，太阳能装机400千瓦，成本1.1亿元。数学建模部分第4题-模型：用SIR模型构建方程组，交通管制降低β_ij（传播率），疫苗接种降低γ（移除率）。目标函数：min[100I_ij+200U_k]-结果：最优策略为B→C线路管制+全区疫苗接种，防控成本0.3亿元。第5题-模型：用逻辑回归拟合数据，评分卡转化公式：Score=50+20logit(p)，p为违约概率。-审批阈值：设p=0.05，计算得出收入≥12万元/年，贷款金额≤150万元。第6题-模型：回归模型：灌溉量=β_0+β_1湿度+β_2温度+β_3气压+β_4阶段。模糊逻