2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题四川一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果2是方程的一个根，那么c的值是（

）A.3 B.2 C. D.2.2025年3月21日,神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动.如图(1)为中国空间站示意图,其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成.由核心舱抽象出的几何体如图(2)所示,则这个几何体的俯视图为()

A.​​​​​​​

B.

C.

D.3.某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A. B. C. D.4.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A. B. C. D.5.如图所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=6，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（）

​A.10

B.2

C.8

D.6.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（

）

A.2 B. C.3 D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.若是关于的一元二次方程，则的值是

．8.如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是

．

9.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在黄金分割点处（即），则点下方的琴弦的长为

．

10.已知，是一元二次方程的两根，则

．11.如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则

．

12.定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在矩形中，，，，点是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为

．

三、解答题：本题共11小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(1)解方程：；(2)如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、．若，，求线段的长．

14.(本小题6分)如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中，在边上找一点P，连接，使；(2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使．15.(本小题6分)萍乡作为赣西红色热土与生态胜地，以“工运摇篮、户外天堂、花炮故里、中国辣都”四张城市名片诠释着城市的独特底蕴．为了更好的向游客展示萍乡的城市形象，小亮和他朋友设计了如下图正面印有这四张名片的四款明信片用来送给游客，它们除正面图案外其余完全相同，将这四款明信片背面朝上充分洗匀．

(1)若游客从中随机抽取一款，抽到的明信片上印有“中国辣都”的概率是

；(2)若游客从中随机抽取两款，利用画树状图或列表的方法，求游客抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”明信片的概率．16.(本小题6分)已知关于x的一元二次方程．(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．17.(本小题6分)为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像．

(1)根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜______

__m的C处；(2)如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度．18.(本小题6分)

2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元．(1)求该企业年产值的年平均增长率；(2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率．19.(本小题6分)如图，在中，于E，于F，与分别相交于点．

(1)求证：；(2)若，求证：四边形是菱形．20.(本小题6分)为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，．

(1)求线段和灯杆的高度；(2)求长．21.(本小题5分)如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若，，求的长．22.(本小题5分)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为．

(1)求反比例函数的解析式；(2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点．若点为的中点，，求点的坐标．23.(本小题6分)某数学兴趣小组在课余时间开展综合与实践探究活动：如图1，已知四边形为正方形，点E为边的中点，以为边构造正方形，连接．

(1)特例感知：直接写出与之间的数量关系．(2)操作发现：将正方形绕着点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接．①与之间的数量关系是否发生变化．若变化，请说明理由；若不变化，请就图2的情况给出证明．②当，时，求四边形的面积．(3)类比探究：将正方形绕点A逆时针旋转一定角度，以为斜边在的上方作等腰，连接．如图3，若，直接写出的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】1

8.【答案】18

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】或1或3

13.【答案】【小题1】，将左边因式分解，得，移项，得，提取公因式，得，即，则或，解得，；【小题2】，，∵，，∴，解得，．

14.【答案】【小题1】解：如图所示，线段即为所求；∵四边形是矩形，∴，【小题2】解：如图所示，即为所求，∵∴∴，∴．

15.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】将“工运摇篮、户外天堂、花炮故里、中国辣都”四张城市名片分别记为A、B、C、D，根据题意，列表如下：ABCDABCD共有12种等可能的结果，其中抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”名片的明信片的结果有6种，所以，抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”明信片的概率为．

16.【答案】【小题1】解：这个一元二次方程一定有两个实数根理由：，∵，∴，∴这个一元二次方程一定有两个实数根；【小题2】解：∵a，b是矩形两条对角线的长，∴，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴有两个相等的实数根，∴，解得，∴这个一元二次方程为，∴，解得．∴这个矩形对角线的长是4．

17.【答案】【小题1】2【小题2】解：如下图，过点C作，垂足为D，并延长交于E，，，，又，，，，，平面镜长为．

18.【答案】【小题1】解：设该企业年产值的年平均增长率为，由题意得，解得：，(不符合题意，舍去)．答：该企业年产值的年平均增长率为．【小题2】解：设、两个月销售额的月均增长率为，由题意得，整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，．答：、两个月销售额的月均增长率为．

19.【答案】【小题1】证明：∵四边形是平行四边形，∴．∵，，∴，在和中，，∴．【小题2】证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∵，，∴．∴，即，∵，∴，∵，∴．∴，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．

20.【答案】【小题1】解：∵，，，∴，∴，根据反射可得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小题2】解：如图，过作于，则四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得，∴，∴，答：路灯的长约为．

21.【答案】【小题1】证明：∵点E，F分别是，的中点，∴是的中位线，∴，则，∵四边形是菱形，∴，则，∴四边形是平行四边形．【小题2】解：取的中点H，连接，∵，∴，∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，∴，∵，在中，，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴，在中，根据勾股定理得，．

22.【答案】【小题1】解：∵四边形是平行四边形，在轴上，∴，∵点坐标为，∴平行四边形的底边上的高为3．∵已知平行四边形面积为，∴，解得．∴，∴点坐标为．∵点在反比例函数上，将代入得，解得．∴反比例函数的解析式为；【小题2】解：由（1）知：，点到轴的距离为3，∴．∵设点，，，是的中点，∴∴点的纵坐标是，∴将，代入得，∴，，解得，∴．设，则，的边边上的高为，∴．解得或．∴点的坐标为或．

23.【答案】【小题1】；如图所示，过点F作，交于点H，∵四边形是正方形，∴∵点E是的中点，∴，∴四边形是正方形，∴．根据勾股定理，得，即，∴；