河北二类数学题目及答案

河北二类数学题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.若集合A={x|x>2}，B={x|x≤1}，则集合A∩B等于

A.{x|x>2}

B.{x|x≤1}

C.∅

D.{x|x∈R}

2.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

3.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₅=15，则该数列的公差d等于

A.2

B.3

C.4

D.5

4.若向量a=(3,4)，b=(1,2)，则向量a·b等于

A.11

B.10

C.9

D.8

5.函数g(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是

A.0

B.1/2

C.1

D.-1/2

7.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

8.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则该三角形是

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

9.函数h(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是

A.2

B.4

C.8

D.0

10.若直线y=kx+3与圆x²+y²=4相切，则k的值等于

A.±√2

B.±2

C.±√3

D.±1

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若f(x)=2x+1，则f(2)+f(-2)的值等于_______.

2.已知等比数列{bₙ}中，b₁=2，b₄=16，则该数列的公比q等于_______.

3.若向量c=(1,-1)，d=(-1,1)，则向量c×d的模长等于_______.

4.函数k(x)=tan(x-π/4)的图像关于_______对称.

5.从5名学生中选出3名参加比赛，不同的选法共有_______种.

6.已知圆O的半径为3，圆心到直线l的距离为2，则直线l与圆O的位置关系是_______.

7.函数m(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程是_______.

8.若sinα=1/2，且α是锐角，则cosα的值等于_______.

9.已知函数n(x)=|x-1|+|x+1|，则n(x)的最小值等于_______.

10.若抛物线y²=2px的焦点坐标是(2,0)，则p的值等于_______.

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的有

A.f(x)=2x+1

B.g(x)=x²

C.h(x)=log₃x

D.k(x)=e^x

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a²>b²

B.若sinα=1/2，则α=π/6

C.若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则a⊥b

D.若圆x²+y²=r²与直线y=x相切，则r=√2

3.下列不等式成立的有

A.3^2>2^3

B.log₅4>log₅3

C.sin(π/3)>cos(π/3)

D.(-2)^3=(-3)^2

4.下列图形中，是轴对称图形的有

A.正三角形

B.平行四边形

C.等腰梯形

D.圆

5.下列函数中，周期为π的有

A.f(x)=sin(2x)

B.g(x)=cos(π/2-x)

C.h(x)=tan(x/2)

D.k(x)=sin(x)+cos(x)

6.下列数列中，是等差数列的有

A.{aₙ}=n²

B.{bₙ}=2n-1

C.{cₙ}=3^n

D.{dₙ}=5n+2

7.下列向量中，互相垂直的有

A.a=(1,2)

B.b=(-2,1)

C.c=(3,4)

D.d=(-4,-3)

8.下列方程中，表示圆的有

A.x²+y²-4x+6y-3=0

B.x²+y²=4

C.x²+y²+4x+6y+9=0

D.x²+y²-6x+8y+25=0

9.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a+c>b+c

B.若sinα=cosα，则α=π/4

C.若向量a=(1,1)，向量b=(1,-1)，则|a|=|b|

D.若圆x²+y²=r²与直线y=0相切，则r=1

10.下列不等式成立的有

A.2^3>3^2

B.log₂4>log₂3

C.sin(π/6)>cos(π/4)

D.(-1)^2>0

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.若a>0，则logₐ(x)在定义域内单调递增。

2.若向量a与向量b共线，则必有a=b。

3.若三角形ABC的三边长分别为5,12,13，则该三角形是直角三角形。

4.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上必连续。

5.若集合A⊆B，且B⊆C，则A⊆C。

6.若sinα=cosα，则α=π/4。

7.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，则aₙ=Sn-Sₙ₋₁。

8.若圆x²+y²=r²与直线y=mx+c相切，则r=√(c²+m²)。

9.若函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称。

10.若抛物线y²=2px的焦点坐标是(2,0)，则其准线方程是x=-2。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)的顶点坐标。

2.已知等比数列{bₙ}中，b₁=3，b₄=81，求该数列的通项公式。

3.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,1)，求向量a+b和向量a-b的坐标。

4.已知圆x²+y²-6x+8y-3=0，求该圆的圆心和半径。

5.已知函数g(x)=sin(2x)+cos(2x)，求其最小正周期。

6.已知三角形ABC的三边长分别为5,12,13，求该三角形的最小内角。

7.已知函数h(x)=e^x，求其在点(1,e)处的切线方程。

8.已知集合A={x|x>2}，B={x|x≤1}，求A∪B和A∩B。

9.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₅=15，求该数列的公差d。

10.已知直线y=kx+3与圆x²+y²=4相切，求k的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C.∅

解析：集合A={x|x>2}表示所有大于2的实数，集合B={x|x≤1}表示所有小于或等于1的实数。两个集合没有交集，因此A∩B=∅。

2.C.(1,+∞)

解析：函数f(x)=log₃(x-1)有意义，需要x-1>0，即x>1。因此定义域为(1,+∞)。

3.B.3

解析：等差数列{aₙ}中，a₅=a₁+4d，代入a₁=5，a₅=15，得15=5+4d，解得d=3。

4.A.11

解析：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a·b=3×1+4×2=3+8=11。

5.A.π

解析：函数g(x)=sin(2x)+cos(2x)可以化简为√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为π。

6.B.1/2

解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面或反面的概率都是1/2。

7.A.(2,-3)

解析：圆x²+y²-4x+6y-3=0可以化简为(x-2)²+(y+3)²=16，圆心坐标为(2,-3)。

8.C.直角三角形

解析：三角形的三边长满足勾股定理3²+4²=5²，因此是直角三角形。

9.C.8

解析：函数h(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的导数为h'(x)=3x²-3。令h'(x)=0，得x=±1。计算h(-2)=-10，h(-1)=2，h(1)=-2，h(2)=2，最大值为8。

10.A.±√2

解析：直线y=kx+3与圆x²+y²=4相切，则圆心到直线的距离等于半径，即|3|/√(1+k²)=2，解得k=±√2。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：f(2)=2×2+1=5，f(-2)=2×(-2)+1=-3，f(2)+f(-2)=5+(-3)=2。

2.2

解析：等比数列{bₙ}中，b₄=b₁q³，代入b₁=2，b₄=16，得16=2q³，解得q=2。

3.5√2

解析：向量c=(1,-1)，向量d=(-1,1)，则向量c×d的模长为|c|×|d|×sin(90°)=√(1²+(-1)²)×√((-1)²+1²)×1=√2×√2=2。

4.x=π/4+kπ(k∈Z)

解析：函数k(x)=tan(x-π/4)的图像关于直线x=π/4+kπ对称。

5.10

解析：从5名学生中选出3名参加比赛，不同的选法共有C(5,3)=10种。

6.相交

解析：圆O的半径为3，圆心到直线l的距离为2，小于半径但大于0，因此直线l与圆O相交。

7.y=x

解析：函数m(x)=e^x在点(0,1)处的导数为m'(x)=e^x，m'(0)=1。切线方程为y-y₁=m'(x₁)(x-x₁)，即y-1=1×(x-0)，得y=x。

8.√3/2

解析：sinα=1/2，且α是锐角，则α=π/6，cosα=cos(π/6)=√3/2。

9.2

解析：函数n(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1处分段，计算得n(x)的最小值为2。

10.8

解析：抛物线y²=2px的焦点坐标是(2,0)，则p/2=2，解得p=4。但根据题目条件，焦点坐标是(2,0)，则p=8。

三、多选题答案及解析

1.A.f(x)=2x+1,B.g(x)=x²,D.k(x)=e^x

解析：f(x)=2x+1是一次函数，在(0,+∞)上单调递增；g(x)=x²是二次函数，在(0,+∞)上单调递增；k(x)=e^x是指数函数，在(0,+∞)上单调递增。h(x)=log₃x是对数函数，在(0,+∞)上单调递增。

2.C.若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则a⊥b,D.若圆x²+y²=r²与直线y=x相切，则r=√2

解析：向量a=(1,0)和向量b=(0,1)的点积为0，因此垂直；圆x²+y²=r²与直线y=x相切，圆心到直线的距离等于半径，即|0|/√(1²+1²)=r，解得r=√2。

3.A.3^2>2^3,B.log₅4>log₅3,C.sin(π/3)>cos(π/3)

解析：3^2=9，2^3=8，9>8；log₅4>log₅3因为4>3；sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/2，√3/2>1/2。

4.A.正三角形,C.等腰梯形,D.圆

解析：正三角形关于三条中线对称；等腰梯形关于上底和下底中点的连线对称；圆关于任意直径对称。

5.A.f(x)=sin(2x),B.g(x)=cos(π/2-x),D.k(x)=sin(x)+cos(x)

解析：f(x)=sin(2x)的周期为π；g(x)=cos(π/2-x)=sin(x)的周期为2π；h(x)=tan(x/2)的周期为π；k(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)的周期为2π。

6.B.{bₙ}=2n-1,D.{dₙ}=5n+2

解析：{bₙ}=2n-1是等差数列，公差为2；{dₙ}=5n+2是等差数列，公差为5。

7.B.b=(-2,1),D.d=(-4,-3)

解析：向量a=(1,2)和向量b=(-2,1)的点积为1×(-2)+2×1=0，因此垂直；向量c=(3,4)和向量d=(-4,-3)的点积为3×(-4)+4×(-3)=-12-12=0，因此垂直。

8.A.x²+y²-4x+6y-3=0,B.x²+y²=4,D.x²+y²-6x+8y+25=0

解析：A可以化简为(x-2)²+(y+3)²=16，表示圆；B表示圆心在原点，半径为2的圆；D可以化简为(x-3)²+(y+4)²=4，表示圆。

9.A.若a>b，则a+c>b+c,B.若sinα=cosα，则α=π/4,C.若向量a=(1,1)，向量b=(1,-1)，则|a|=|b|

解析：a>b，两边同时加c，不等式方向不变；sinα=cosα，则α=π/4或5π/4，但题目只考虑锐角，因此α=π/4；向量a=(1,1)的模长为√2，向量b=(1,-1)的模长也为√2，因此|a|=|b|。

10.B.log₂4>log₂3,C.sin(π/6)>cos(π/4)

解析：log₂4=2，log₂3<2；sin(π/6)=1/2，cos(π/4)=√2/2，1/2<√2/2。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：若a>0且a≠1，则logₐ(x)在定义域内单调递增。若a=1，则logₐ(x)无意义。

2.错误

解析：向量a与向量b共线，则必有|a|=|b|且方向相同或相反。但a和b可以不相等。

3.正确

解析：三角形的三边长满足勾股定理5²+12²=13²，因此是直角三角形。

4.正确

解析：根据微积分基本定理，若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上必连续。

5.正确

解析：根据集合包含的定义，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C。

6.错误

解析：若sinα=cosα，则α=π/4+kπ(k∈Z)，但题目只考虑锐角，因此α=π/4。

7.正确

解析：根据等差数列的性质，aₙ=Sn-Sₙ₋₁。

8.正确

解析：圆x²+y²=r²与直线y=mx+c相切，则圆心到直线的距离等于半径，即|c|/√(1+m²)=r。

9.正确

解析：根据偶函数的定义，若f(-x)=f(x)，则其图像关于y轴对称。

10.错误

解析：抛物线y²=2px的焦点坐标是(p/2,0)，题目给出焦点坐标是(2,0)，则p/2=2，解得p=4。其准线方程是x=-p/2，即x=-2。

五、问答题答案及解析

1.(2,-3)

解析：函数f(x)=x²-4x+3可以化简为f(x)=(x-2)²-1，顶点坐标为(2,-1)。但题目要求的是顶点坐标，因此应为(2,-3)。

2.bₙ=3×2^(n-1)

解析：等比数列{bₙ}中，b₁=3