2025学年第一学期杭高期末考试高三数学答案

2025学年第一学期杭高期末考试高三（数学）试题卷1.本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。2.答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方。3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。4.考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．1．【答案】A【解析】，因此，.2．已知复数，，则复数的模等于（）A． B． C． D．2．【答案】B【解析】3．已知向量满足，，，则（）A． B． C． D．3．【答案】C【解析】，则．又，因此．4．函数的图象是（）A．B．C．D．4．【答案】B【解析】图象过点,时，5．记为数列的前项积，已知，则=（）A． B． C． D．5．【答案】D【解析】则，代入，化简得：，则，故选D.6．甲、乙、丙人去食堂用餐，每个人从这种菜中任意选用种，则菜有人选用、菜有人选用的情形共有（）A． B． C． D．6．【答案】C【解析】菜有人选用有种，比如甲、乙选用了菜，=1\*GB3①甲、乙之中有人选用了菜，有种，比如甲用了菜，则乙从中任意选用种，有种，丙从中任意选用种，有种，故共有=2\*GB3②丙选用了菜，丙再从中任意选用种，有种，甲、乙再从中各任意选用种，有种，故共有由=1\*GB3①=2\*GB3②可知所有情形是7．过作直线交圆于另一点，连结和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则()A．B．C．D．7．A提示：设的斜率为，则，，故8．若函数满足，设的导函数为，当时，，则()A． B． C． D．8．【答案】A【解析】由，知函数关于点对称。为向上攀爬的类周期函数，，，所以二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于统计的知识，说法正确的是（）A.若数据的方差为0，则所有的都相等B.已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数C.数据的第70百分位数是8.5D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为【答案】AD【详解】A项：由方差知识得，A项正确；B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误；C项：，则70百分位数为第6个数9，C项错误；D项：样本点都在直线，则完全负相关，所以相关系数为，D项正确.故选：AD10．已知函数的图象关于对称，则（）A．在上单调递减B．在上有两个极值点C．直线是的对称轴D．直线是的切线【答案】BCD【解析】，不单调，故A错；有两个极值点，故B正确；直线是的对称轴，故C正确；所以时的切线方程为,即,故D正确综上,选BCD;11．在平面上,抛物线的焦点为,准线为,点在曲线上且位于第一象限,设的角平分线交于点,交于点.已知,点关于轴的对称点为,则以下说法正确的有（

）A．B．C．三点共线D．三点共线【答案】ACD.【解析】由题意知,.过点作的垂线交于点,可知,因此与重合,故,A正确；设点,则,又,故,于是,于是,B错误；可知,因此,三点共线,C正确；可得,因此三点共线,D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．展开式中项的系数为．12．【答案】【解析】展开式通项不含项，令，得，展开式中项为，系数为13．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为．13．【答案】【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，设长宽高分别为，则，，则，，，外接球半径，在三棱锥的体积三棱锥的每个面的三边分别为，每个面的面积为，所以所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为．14．在四边形中，已知，，，若两点关于轴对称，则．14．【答案】3【解析】由得，当点在轴上方时，，故有当点在轴下方时，，故有两者都有，所以则，化简得的顶点的轨迹方程为由，设，，得点的轨迹方程为，把圆沿轴翻折，与联立，得，所以法2：把圆沿轴翻折交轴于另一点，恰为圆心，为圆心角，，所以，所以为等腰三角形，点横坐标为，所以四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在中，角的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围．15．（1）由余弦定理，代人得，则由正弦定理得所以，得由知，故，所以或（舍去）所以…………6分（2），由得…………13分法2：由得，所以…………13分16.(本小题满分15分)如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，为的中点.（1）求证：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为，，所以，，所以，又因为，平面，所以⊥平面；…………6分（2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，.…………10分设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.…………15分17．(本小题满分15分)进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．【详解】（1）因为，所以..………4分（2）①因为，，，所以，，所以设，则两式相减，得所以所以.…………9分②由①可知，所以，令，则，所以单调递减，又，，所以当时，则的最小值为..…………15分18.(本小题满分17分)设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点，（=1\*romani）求的值；（=2\*romanii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值．18．【答案】（1）；（2）（=1\*romani）（=2\*romanii）【解析】（1）因为到其中一条渐近线的距离，所以……2分又，所以所以双曲线的方程为……4分（2）设直线方程为，则代入双曲线方程得：。设，则……6分（=1\*romani）而所以，则所以……10分（=2\*romanii）过平行于的直线方程为直线方程为与联立得，即则所以……13分由两式相除得，则所以……15分因为，所以，故为线段的中点，即所以．……17分19.(本小题满分17分)设，，.已知函数在处的切线方程为.（1）求的值；（2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例.（3）证明：若正实数满足，，则必有．19.（1）设，，则函数在处的切线方程为即与对照，知且所以…………4分（2）由（1）知结论：当时，不等式恒成立证明：由推得，.设，则，当时，所以在上单调递增，又故，所以在上单调递增，又所以...........7分而设，则，所以在上递增，又所以在上递增，又所以，即所以，...........10分（3）法1：因为上递增，故当时，必有由（2）知当时，所以当时，有，即设，对称轴欲证，只需证即证，即证，即证，成立（或出现相应给分）所以...........13分又由（2）知所以当时，有，即设，在递增欲证，只需证即证，即证即证，即证即证，即证成立（或出现相应给