河北衡水中学2025-2026学年度高三上学期综合素质评价六数学试题

2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价六数学学科本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由补集和交集运算求解.【详解】因为，所以.故选：C2.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，再求出即得解.【详解】由，得，从而，所以的虚部为1．故选：A3.某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用中位数、极差的意义列式计算即得.【详解】依题意，该组数据的中位数为，极差为，由该组数据的中位数是极差的，得，所以.故选：B4.已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.【详解】由恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，所以.故选：A5.设是数列的前项和，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，即.所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故选：B.6.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，分别为的中点，可知：∥∥，且，可得，即，所以该容器中液体的体积为.故选：A7.已知函数，下列函数是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.【详解】由于，定义域为故，定义域为，，即不是奇函数，A错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，B错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，C错误；，定义域为，，即为奇函数，D正确，故选：D8.已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断的形状，再结合双曲线的定义列式，可求双曲线的离心率.【详解】如图：因为，所以为双曲线的焦点.因为为上的点，所以，根据双曲线对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以.所以为等边三角形，，所以.又根据双曲线的定义，，所以，所以.故选：D二、多项选择题（每题6分，少选得部分分，错选不得分）9.关于的展开式，下列判断正确的是（）A.展开式共有6项B.展开式的各二项式系数的和为64C.展开式的第6项的系数为30D.展开式中二项式系数最大的项是第4项【答案】BD【解析】【分析】根据二项式定理逐一判断即可.【详解】解：展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为，故B正确；展开式第6项是，其系数为-30，故C错误；展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.故选:.10.已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为C.不存在点Q，使得D.的最小值为【答案】CD【解析】【分析】由题设，可得，，对于A,由离心率公式可判断；对于B，由即可判断；对于C，由，即，即可判断；对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断.【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，对A：，故选项A错误；对B：当时，有，则，故选项B错误；对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确；对D：由椭圆的定义有，所以，当且仅当时等号成立，当时，,由于，则能取到，满足条件；当时，,由于，则不能取到，此时,综上选项D正确.故选：CD.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.为函数的最小正周期 B.函数的图象关于对称C.函数的值域为 D.当时，函数有5个零点【答案】ABD【解析】【分析】由代入检验，根据正弦函数的对称性与周期性，可得AB的正误；由升幂公式与绝对值定义，化简函数解析式，结合正弦与余弦的函数性质，可得C的正误；由方程与函数的关系，结合三角函数的图象，作图，可得D的正误.【详解】因为，故B正确；因为，因为，所以为函数的一个周期，又，因为，当时，单调递增，当时，单调递减，结合选项B可得函数的大致图象，结合图象故A正确；经分析可知，，所以，故C错误；结合和图象易知两个图象有5个交点，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（每题5分，共15分）12.某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种.【答案】【解析】【分析】根据组合数的定义及计算方式直接可得解.【详解】恰好有个女生被选中时，共有种方法，故答案为：.13.已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围.【详解】因为，所以,由函数零点等价于函数的零点，再结合正弦函数在区间上恰有3个零点，则，解得，故答案为：14.如图，正方体棱长为2，为的中点，为空间中的点，且满足，则多面体体积的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，得到

点坐标，然后求出点到平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式得到的体积，即可求解．【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为

，则

，则

，不妨取平面的法向量为，则点到平面的距离为

，当且仅当时取“=”，又，所以，即三棱锥的体积的最大值为，

又因为

为

的中点，则，所以多面体

的体积的最大值为.故答案为：.四、解答题（共5题，满分77分）15.在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将条件中的边转化为角后结合特殊角与特殊值的关系即可求解；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出关于的方程组并求出的值，然后利用正弦定理即可求解.【小问1详解】在中，因为，由正弦定理，得，又，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由（1）知，，，因为的面积为，即，解得；由余弦定理得，即，即；所以，解得；又，由，解得；由正弦定理得，所以，解得.16.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项，建立方程，求出等差数列的公差为，进而求出数列的通项公式；（2）根据（1）求出，根据错位相减求出，根据题意可知，再根据为偶数和奇数两种情况求解，根据数列的单调性，即可得到结果.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，且，，成等比数列，则，即，又，解得，所以;【小问2详解】解：因为，设，①，②，①-②：，，.则，得，当为偶数时，，又单调递增，当时，最小，即，即；当为奇数时,，又单调递减，当时，最大，即，即；所以.17.为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，则，则随机变量的取值为．，，，所以X的分布列为所以随机变量的数学期望为．【点睛】本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：

（1）每次给药相互独立；（2）解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.18.已知，，．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，；（3）若在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性；（2）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可；（3）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解.【小问1详解】因为，所以，当时，，则在上单调递增；当时，由可解得：，由可解得：或.则在区间上单调递增，在区间，上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减.【小问2详解】当时，要证明，即证明，因为，所以原不等式可变为，即.令，则只需证在恒成立即可..因为，所以，，，所以，所以在上单调递增，所以，即.因此，当时，.【小问3详解】分离参数：，因为，所以.构造函数，，只需求恒成立即可.令当时，且（令，则，故），故，所以.所以在上单调递增，所以，故，单调递增.当时，，所以，故.因此.19.已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．①证明：三点共线；②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值．【答案】（1）（2）①证明见解析；②16【解析】【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹；（2）①设线段的中点为，利用向量证明，，三点共线，同理可证，，三点共线，进而可得结论；②将转化为四边形面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可.【小问1详解】已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等，根