吉林省长春市2026届高三上学期质量监测（一）数学试卷

吉林省长春市2026届高三质量监测（一）数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知向量，，，则（

）A． B． C． D．3．复数的虚部是（

）A． B．1 C． D．4．记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（

）A．2 B．1 C． D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A．8 B． C． D．7．如图，在平行六面体中，若，则（

）

A． B． C． D．8．已知是定义在上的奇函数，，且，则（

）A．4 B．2 C．0 D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C．函数的图象关于点中心对称D．将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数10．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（

）A．B．若，则点到准线的距离为4C．的最小值为4D．若，则11．已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（

）

A．平面截该正方体所得的截面图形是正方形B．平面平面C．若，则点的轨迹长度为D．若点在上，则的最小值为三、填空题12．过，，三点圆的方程为.13．若函数，且恒成立，则实数.14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为.四、解答题15．已知椭圆的离心率为，右焦点..(1)求椭圆的标准方程；(2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求.16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为.(1)求的值；(2)若，求边上的高.17．已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和.18．如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点.(1)当时，证明：平面；(2)若平面与平面所成角的余弦值为.（ⅰ）求异面直线与所成角的大小；（ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19．已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)若，使恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.

参考答案1．B【详解】因为集合，，如图：

所以.故选：B.2．D【详解】因为，所以，解得：.故选：D3．B【详解】，所以复数的虚部是1.故选：B4．B【详解】由等比数列的前项和公式,所以解得或.因为,所以，所以.故选:B.5．C【详解】依题意得：，化简得：，所以，因为，，代入得：，解得：.故选：C.6．C【详解】因为，所以，所以.故选：C.7．A【详解】解：，又因，，∴，∴，，，故选：A.8．D【详解】由可得，用替换，则，即，所以函数是以为周期的周期函数，由，令，则，且是定义在上的奇函数，则，所以，令，则，且，则，令，则，因为，所以，所以，则.故选：D9．AC【详解】对于A，最小正周期为，故A正确；对于B，当时，，令，则，因为在区间上单调递增，正弦函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，故B错误；对于C，由可知，函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位得到，因为，所以不是奇函数，故D错误.故选：AC10．ACD【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确；对于B，分别过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可知，因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误；对于C，因为，则当三点共线时，有最小值，故C正确；延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，，则为的中位线，设，则，，由相似关系可知，，则，得，故，故D正确.故选：ACD11．BC【详解】如图建立空间直角坐标系，

对于A选项：,,，，所以，所以与不垂直，A错误；对于B选项：,，所以所以，又，平面,平面，所以平面，又平面，所以平面平面，B正确；对于C选项：易知，所以，所以点的轨迹为点为圆心，1为半径的圆，所以点的轨迹长度为，C正确；对于D选项：设，则可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，如图所示，

所以，所以的最小值为，D错误.故选：BC.12．（或）（两种形式均正确）【详解】设所求圆的方程为，由已知三点在圆上，，解得，所以圆的方程为，即.故答案为：（或）（两种形式均正确）.13．【详解】因为，所以，所以恒成立等价于恒成立，当时，恒成立，等价于恒成立，又函数在上单调递减，当时，，所以；当时，恒成立，等价于恒成立，又函数在上单调递减，当时，，所以；综上所述：.故答案为：.14．/【详解】由题意，可作图如下：则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，由右焦点，可知，则，，即椭圆的标准方程为.（2）如图：过且倾斜角为45°的直线的方程为，与椭圆联立可得：，即，可得，.所以，所以.所以.16．(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，又的面积，所以，所以.（2）由正弦定理得，则，所以，由余弦定理，，解得，即，又的面积，解得，即边上的高为.17．(1)(2)【详解】（1）由题意：，，又数列为等差数列，设数列的公差为，由.所以.所以.当时，，当时，.时，上式也成立.所以.（2）因为，所以，，，…，.以上各式相乘，可得当时，，又，所以，，所以.18．(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【详解】（1）在直棱柱中，令，则是的中点，由，得是中点，而点为的中点，则，即，而平面，平面，所以平面.（2）（ⅰ）分别取的中点，则，又平面，所以平面，由，得，则直线两两垂直，以点为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

令，则，，，设平面与平面的法向量分别为，，则，令，得，，令，得，由平面与平面所成角的余弦值为，得，解得或，由是锐角三角形，得，即，则，即，又，则，而，因此，所以异面直线与所成的角为.（ⅱ）由（ⅰ）知，，则，，而平面的法向量，因此，而，所以.19．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1），所以且，则在处的切线方程为；（2）即，设，则，令，则且，.（i）当，时，显然中的，，