山东省枣庄市2026届高三第一学期质量检测数学试题

2026届高三第一学期质量检测数学试题2026.01注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则的虚部为（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算可得，进而可得虚部.【详解】因为，则，所以的虚部为.故选：B.2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.【详解】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；必要性：因为，，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合不等式的性质，以及特殊验证，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，由，可得，根据不等式的性质，可得，所以D正确；故选：D.4.记正项等比数列的前项和为，且，，则（）A.243 B.81 C.27 D.9【答案】A【解析】【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可得.【详解】设正项等比数列的公比为，且，则，整理可得，解得或（舍去），所以.故选：A.5.直线被圆截得的弦长为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，先求出圆心到直线的距离，然后用勾股定理即可求出弦长.【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为.则圆心到直线的距离为.所以弦长为.故选：C.6.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解.【详解】由余弦定理得，所以，则的面积为.故选：B.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可.【详解】因为，即，设消除的污染物大约需要，由题意可得，即，取对数可得，两式相比可得，则，所以要消除的污染物大约需要.故选：C.8.记函数，的两个零点为和，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断.【详解】令，即，联立方程，解得或，不妨设，则，，且，则，.对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；对于选项AB：因为，则，且，可得，，则，故A错误；且，故B错误；故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在正方体中，若点为底面的中心，则（）A.平面 B.C.与所成的角为 D.与平面所成的角的正切值为【答案】ABD【解析】【分析】应用空间向量法证明线线垂直、线面平行以及向量法求线线角余弦，向量法求线面角从而确定正确答案.【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，又因为，所以，B选项正确；取中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，A选项正确；设与所成的角为，，所以，所以与所成的角为，C选项错误；设平面的法向量为，设与平面所成的角为，则，所以，所以，所以D选项正确.故选：ABD10.下列命题正确的是（）A.若，，则B.已知关于的经验回归方程为，且，则C.一组样本数据，，…，（），其中是最小值，是最大值，则，，…，的75%分位数一定与，…，的75%分位数不同D.若事件，满足，则与独立【答案】BD【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解A,将样本中心代入回归方程即可求解B,根据百分位数的计算即可求解C,根据相互独立的性质即可求解D.【详解】对于A，由于，，则，故A错误，对于B，将代入可得，故，B正确；对于C，将原来17个数从小到大排列，，则17个数的75%分位数为17个数中的第13个数，去掉其中最大和最小两个数据后，，故剩下15个数据的75%分位数为15个数中的第12个数字，也是17个数中的第13个数，故两者可能相等，C错误，对于D，，所以相互独立，因此也相互独立，D正确，故选：BD.11.已知函数，则（）A.为奇函数B.的值域是C.有极值D.存在实数，，使得在上的值域为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断A；先化简，进而结合指数函数的性质求解判断B；先判断函数的单调性，即可判断C；若在上的值域为，可得与在上有两个交点，进而结合图象判断D.【详解】对于A，由，，则，所以奇函数，故A正确；对于B，由，而，则，即，则，即，所以的值域是，故B正确；对于C，由B知，，因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，则在上单调递增，无极值，故C错误；对于D，由C知，函数在上单调递增，若在上的值域为，则，所以方程在上有两个不相等的实根，则与在上有两个交点，结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是，且，，可作出函数与的大致图象如下：由图可知与在上有两个交点，因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为______．【答案】4【解析】【分析】先根据抛物线的焦点求出双曲线的半焦距，再结合双曲线的离心率求出，即得其实轴长.【详解】由抛物线方程可得，解得，故抛物线焦点坐标为，因双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，故，又离心率为，解得，则该双曲线的实轴长为.故答案为：4.13.已知函数，若恒成立，则取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先判断的奇偶性，再判断单调性，根据恒成立，则即求恒成立，讨论，两种情况，即可求解.【详解】根据题意知，，所以可知为奇函数，而单调递增，单调递减，即单调递增，所以单调递增，而恒成立，则即恒成立，所以可得恒成立，当，恒成立，所以符合条件；当，恒成立，则需要且，化简可得，综上所述.故答案为：14.在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先利用与表示、，再将转化为与的计算，进而求解.【详解】因为，且，则，又因为，且与所成的夹角为，则，可得，当且仅当时，的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式；（2）整理可得，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】因为，则.16.如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上．（1）若，求证：点是棱的中点；（2）若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，设，，根据垂直关系有求参数值，即可证；（2）根据已知及棱锥的体积求出的坐标，进而确定对应平面的法向量，应用向量法求平面与平面夹角的余弦值．【小问1详解】由底面，底面，则，又底面都是正方形，则，故两两相互垂直，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设，，则，，，因为，故，即，因为点在棱上，所以，，，所以，解得，即，而的中点坐标为，所以点是棱的中点；【小问2详解】设，则，即，由题意，可得，所以，则，，设平面的法向量为，则，令，得由平面的一个法向量，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且．（ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）；（ⅱ）求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）平行四边形；（ⅱ）6【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，即可得到动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，进而求解即可；（2）（ⅰ）结合椭圆的对称性即可判断；（ⅱ）由（ⅰ）易得四边形面积为，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得表示出，令，，进而结合对勾函数的性质求解即可.【小问1详解】连接，由题意知，，则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即，则，所以的方程为.【小问2详解】（ⅰ）由题意，，且，，结合椭圆的对称性，易知，则四边形为平行四边形.（ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心，则四边形面积为，由题意，设直线的方程为，，联立，得，则，，，则，则四边形面积为，令，，则，因为函数在上单调递增，则，则，即四边形面积的最大值为6.18.现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．（1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和；（2）对于两个不相互独立的事件，，，．①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；②定义为与的相关系数．（ⅰ）若，求证：与正相关；（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）（i）证明见解析；（ii），与正相关.【解析】【分析】（1）由题设的可能取值为，应用古典概型的概率求法求对应概率，进而写出分布列并求出期望；（2）（i）根据新定义及条件概率公式得，即可证；（ii）根据题意求出，，，根据给定公式及（i）的结论，即可得.【小问1详解】由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，，，，，所以的分布列如下，0123所以；【小问2详解】（i）由，则，所以，故与正相关，得证；（ii）由题意，，，所以，结合（i）结论，故与正相关.19.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，．（ⅰ）讨论在内的零点个数；（ⅱ）证明：．【答案】（1）；（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可；（2）（ⅰ）对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明.【小问1详解】因为，所