1.1集合的概念-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

1.1集合的概念【学习要求】1.通过实例了解集合的含义．2.掌握集合中元素的三个特性．3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．【思维导图】【知识梳理】一、集合的概念1．元素与集合的概念(1)元素：我们把研究对象统称为元素．表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示2．集合中元素的特性eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(确定性：作为一个集合的元素必须是确定的，,互异性：集合中元素一定是不同的，,无序性：集合中的元素是不存在前后顺序的.))二、元素与集合的关系1．元素与集合的关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(属于：a是集合A的元素，记作a∈A，,读作“a属于A”.,不属于：a不是集合A的元素，记作a∉A，,读作“a不属于A”.))【注】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．2．集合的分类及常用数集(1)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(空集∅：不含任何元素的集合.,非空集合\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有限集：含有有限个元素的集合.,无限集：含有无限个元素的集合.))))(2)常用的数集：数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR(3)常用数集关系网实数集Req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有理数集Q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整数集Z\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(正整数集N*,{0}))自然数集N,负整数集)),分数集)),无理数集))三、集合的表示法1、列举法定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a1，a2，a3，…，an}。用列举法表示集合应注意的问题：(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；(2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序；(3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；(4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．2、描述法定义：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3、Venn图：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．【高频考点】高频考点1.集合的基本概念【方法点拨】1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．【例1】（2021·浙江高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数【变式1-1】（2020·江苏高一期中）下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（）A．组 B．组 C．组 D．组【变式1-2】（2020·广东深圳市·高一期末）下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的正方形 B．方程的整数解C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员【变式1-3】（2021.福建省高一期中）下列各组对象不能组成集合的是（）A．2021年欧洲杯参数队伍B．中国文学四大名著C．我国的直辖市D．抗日战争中著名的民族英雄【变式1-4】[多选题]（2020秋•六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（）A．比较小的数B．不大于10的偶数 C．所有三角形D．高个子男生高频考点2.判断元素与集合的关系【方法点拨】判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021·浙江高一期末）已知集合，则（）A． B． C． D．【变式2-1】（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列关系中①；②；③；④正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-2】（2020·北京市第四十四中学高一期中）已知，，则（）A． B． C． D．【变式2-3】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）非空集合A具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（）（1）（2）（3）若，则（4）若，则A．（1）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）【变式2-4】已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}．（1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系；（2）设x1，x2∈A，证明：x1•x2∈A．高频考点3.利用集合中元素的特异性求参数【方法点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例3】（2020秋•花都区校级月考）若集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m的值是（）A．±2或1 B．﹣2或1 C．2或1 D．﹣2【变式3-1】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．－2B．2C．4D．2或4【变式3-2】（2020·广东中山市迪茵公学高一月考）设集合，若且，则实数的取值范围是________【变式3-3】（2021·重庆高一月考）已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为________【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合，则有（）.A．且 B．但 C．但 D．且高频考点4.用列举法表示集合【方法点拨】1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．【例4】（2021·山东省淄博实验中学高三月考）集合，用列举法可以表示为（）A． B． C． D．【变式4-1】（2021·河北石家庄市·石家庄高一月考）用列举法表示集合为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2021·上海高一专题练习）下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对【变式4-3】（2020·上海高一期末）定义．已知，，，用列举法表示________．【变式4-4】（2020秋•西安区校级月考）用列举法表示下列集合（1）{x∈N*|x是15的约数}（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}（3）{x|x为不大于10的正偶数}（4）{a|1≤a＜5，a∈N}（5）A＝{x∈N|∈N}（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．高频考点5.用描述法表示集合【方法点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.；若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】（2020秋•镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（3）所有三角形构成的集合．【变式5-1】（2020·浙江杭州市·高一月考）用描述法表示奇数集合：①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z};②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z};③C＝{2b+1|b∈Z};④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．上述表示方法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2020秋•黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集合表示为（）A．{（x，y）|x≠1，y≠1，x≠2，y≠﹣2} B．{（x，y）|或} C．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2][（x﹣2）2+（y+2）2]≠0} D．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2]+[（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}【变式5-3】（2020秋•平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为．QUOTEQUOTEQUOTE【变式5-4】（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为_________．高频考点6.集合中的新定义问题【方法点拨】集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．【例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高一期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.（1）且；（2）若、，则，且当时，有.给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”；⑤设集合是“好集合”，若、，则；其中真命题的序号是________.【变式6-1】（2021•黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有个．【变式6-2】（2021•黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【变式6-3】（2021•定远县期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【变式6-4】（2020·浙江省高一课时练习）设是集合A上的一个运算，若对任意，有，则称A对运算封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即.若分别是：①加法，②减法，③乘法，④除法，则A对运算封闭的序号有________.易错点1.忽略集合中元素的互异性【方法点拨】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．【例1】若，则a=（）A． B．0 C．1 D．0或1【变式1】已知，且，则实数的取值集合是______．【变式2】设集合，，，求的值．【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·浙江省高一期末）已知集合，下列选项正确的是（）A． B． C． D．2．（2020·北京高一期末）方程组的解集是（）A．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}C．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}3．（2020·湖北省高一期末）已知集合，则中元素的个数为（）A． B． C． D．4．（2020·浙江省高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．35．（2020·浙江省高一课时练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．46．（2020·常德市第二中学高三其他）已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．7．（2021·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一课时练习）用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（）A．3 B．2 C．1 D．4二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2020·浙江宁波市·余姚中学高一月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数可以取（）A． B． C． D．10．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．11．（2020·江苏镇江市·丹徒高中高一月考）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（）A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1C．若，则 D．若n=1，则12．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（）A．， B．，C．， D．，三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·浙江省高一课时练习）若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______.14．（2021·山东高一课时练习）给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.（填序号）15．（2020·上海高一专题练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.16．（2020·上