9.1.2 分层随机抽样 教案

第九章统计9.1.2分层随机抽样

一、教学目标能理解分层随机抽样的概念，掌握分层随机抽样的步骤与适用范围，区分简单随机抽样和分层随机抽样，并能选择适当正确的方法进行抽样.能对现实生活中实际问题进行分层随机抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法，体会“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观.

二、教学重难点重点：分层随机抽样的特点、步骤和适用范围.难点：用分层随机抽样的样本均值估计总体平均值.

三、教学过程（一）创设情境1936年的美国总统选举前夕，为了预测两位候选人兰登和罗斯福谁将赢得大选，美国《文摘》杂志进行了一项规模宏大的民意调查。他们通过电话和邮件向数百万选民发送了问卷，试图了解选民的投票意向。最终调查结果预测了兰登将以压倒性优势获胜。然而，实际的选举结果却与《文摘》杂志的预测大相径庭。罗斯福以压倒性的优势赢得了连任。造成这个结果有多种原因，包括问卷回应率偏低、样本中包含了过多的富人，以及没有考虑到当时经济大萧条对选民心理的影响，这次失败的预测成为了统计学史上的一个著名案例，它暴露了当时民意调查方法的缺陷，尤其是抽样偏差的问题。（学生讨论）想一想：有没有更好的抽样方法可以规避这种情况呢？师生活动：教师展示生活中的随机抽样的实例，同时给出结果，从给出的结果发现抽样的不合理，引发学生对如何规避样本极端情况的思考.学生相互讨论.设计意图：通过视频导入，提出生活中的实例，从问题出发，自然引出学习分层随机抽样的目的，再以具体例子为开端，引导学生自主成长.这样设计让学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时能使他们体会到生活中处处有数学，也能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.（二）探究新知任务1：探究如何规避“极端”样本的随机抽样.探究1：在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名.运用简单随机抽样，抽取50名学生的身高作为样本，是否会出现全是高个子或全是矮个子的样本呢（全是男生或全是女生）？答：会出现全是高个子或全是矮个子的样本呢（全是男生或全是女生）.思考：你认为导致简单随机抽样出现“极端”样本的原因可能是哪些呢？师生活动：1.小组内交流讨论原因；2.以小组为单位进行阐述.答：第一，总体中个体之间差异较大.第二，样本抽取具有随机性.第三，通常总体中个体差异越小样本均值估计总体均值效果越好.总结：影响身高的因素有很多，性别是一个主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.设计意图:通过探讨“极端样本”出现的原因，提高学生对样本随机性的认识，同时对总体的情况进行分析，为改进抽样方法提供思路.探究2：在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，如何改进抽样方法减少“极端”样本的出现呢？提示：改进抽样方法：在男生和女生两个群体中都抽取相应的个体.思考：对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？答：等额分配；按男生、女生在全体学生中所占的比例分配.方案一：等额分配.即：男生样本量=女生样本量=25.男生被抽到的概率=女生被抽到的概率=所以，男生、女生被抽到的概率不一样.方案二：按男生、女生在全体学生中所占的比例分配.男生样本量女生样本量男生样本容量=女生样本容量=n男=所以，男生、女生中分别应抽取的人数为23人与27人.任务2：归纳分层随机抽样的概念，梳理抽样步骤.说一说：尝试总结分层随机抽样的概念、特点与适用范围.答：概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.在分层随机抽样中，每一个子总体称为层.如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.特点：总体按一定标准分成若干互不交叉的层（子总体）；每层都抽样，且按比例抽样；等可能抽样，每个个体被抽到的概率都相等.适用范围：总体规模和样本量都较大，总体是由差异明显的几部分组成的情况.说一说：你能说说具体的抽样步骤吗？合作探究：1.小组内交流讨论；2.在小组内交流分享；3.以小组为单位进行汇报；4.师小结.任务3：探究汇总的样本平均数与总体平均数的关系.说一说：尝试计算样本平均数、总体平均数以及它们关系.合作探究：1.小组内交流讨论；2.在小组内交流分享；3.以小组为单位进行汇报；4.师小结.在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y由于用第1层的样本平均数

x

可以估计第1层的总体平均数

X，用第2层的样本平均样本平均数

y

可以估计第2层的总体平均数

Y，因此我们可以用M×x+N×yM+N=M任务4探究不同抽样方法估计总体的效果.探究：若分别用简单随机抽样和分层随机抽样的方法，从高一年级学生身高的所有数据中抽取了50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，并绘制10次样本平均数的散点图，从多次抽取所得的结果中你有什么发现？合作探究：1.以小组为单位进行绘制；2.小组内交流、讨论、分享；3.以小组为单位进行汇报.答：如图所示.总结：第一，分层随机抽样的估计效果并不是每一次都优于简单随机抽样，而是从整体上或者从多数意义上优于简单随机抽样.第二，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样的样本平均数偏离总体平均数的幅度比较大，例如第10个，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样几乎没有出现.第三，分层随机抽样的结果并不是每一次都优于简单随机抽样．例如，分层随机抽样的第7次抽样结果就没有简单随机抽样的第7次抽样结果的估计效果好.设计意图：通过四个任务，对新知进行探究，从规避“极端”样本的原因出发，层层深入，挖掘原因，总结改进方法，探究分层随机抽样方法.接着概括概念、特点与适用范围，自然形成抽样步骤的框架，让学生真实发生，自然引出新知识，新方法.问题启发，思考新方法的不足，在教师的引导下学生理解与掌握新知.（三）应用举例例1在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本（如下表格），如何运用样本估计高一年级学生的平均身高.50名学生的身高样本数据（单位：cm）思考：可以用不同的方法来解决这个问题吗？答：方法一：运用所有样本数据直接计算平均数.运用所有样本数据直接计算平均数，估计高一年级学生的平均身高.计算得出，男生、女生身高的样本平均数分别为170.6人、160.6人.因此高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.方法二：运用样本中男、女身高的平均数和样本量计算总样本平均数.估计高一年级学生的平均身高：170.6×23+160.6×2750方法三：运用总体中男、女身高的平均数和各子总体的人数计算总体平均数.估计高一年级学生的平均身高：170.6×326+160.6×386例2为了解我国15岁女孩的平均身高，从北方抽取了300个女孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个女孩，平均身高为1.50m．由此可估计我国15岁女孩的平均身高为().答：由题意得我国15岁女孩的平均身高为eq\f(300×1.6＋200×1.5,200＋300)＝1.56m.例3某幼儿园有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对幼儿园改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．答：抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．设计意图：通过例题具体数据，引导学生采用多种方法估计高一年级全体学生的平均身高，通过一题多解，总结用样本来估计总体的计算方法.（四）课堂练习1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是(

).A.都是从总体中逐个抽取 B.都包含抽签法和随机数法

C.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D.都是将总体分成几层，分层进行抽取

解：两种抽样方法的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．

故选C．2.从一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则(

).A.p1<p2 B.p1>p2

C.p1，p2的大小不确定 D.p3.某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为n的样本进行调查，其中非常喜欢的有18人，则n的值是(

).A.20 B.30 C.40 D.50解：根据分层抽样原理知，n600+300+100=18600，

解得n=30．4.某企业共有3

200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3：5：2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽取的可能性相同吗？解：因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理．

由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是4003200=18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18．因为青、中、老年职