湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析）

高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（）A. B. C. D.5.函数最小正周期为（）A. B. C. D.6.已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.27.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8.阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A B. C. D.10.（多选）已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.在区间上单调递增11.已知函数，则（）A.当时，的值域为B.若为增函数，则的取值范围为C.若存在最值，则的取值范围为D.若有两个零点，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合的真子集的个数为________.13.函数，的值域为_____.14.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的定义域；（2）求的单调区间及值域.（注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.）16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.17.已知函数最小正周期为，且对于任意实数，都有成立.（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求使不等式成立的的取值集合.18.已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中.（1）证明：为定值；（2）求最小值；（3）求的最小值.19.已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递增；（3）若关于的方程共有4个不同的实数解，求实数m的取值范围.高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解.【详解】集合，，则.故选：A.2.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分与两种情况讨论充分性，取说明必要性不成立即可得答案.【详解】先讨论充分性：当时，，故能推出；当时，，由得，故，即能推出，所以“”是“”充分条件成立；再讨论必要性：取，此时满足，但不满足，所以必要性不成立.综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可.【详解】设，因为幂函数的图象经过点所以，即，解得，所以，故要使函数有意义，则,所以函数的定义域为故选：C5.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求的最小正周期为，再根据，的最小正周期相同即可得答案.【详解】因为函数的最小正周期为，又函数的最小正周期为，函数的最小正周期也为，所以的最小正周期与的最小正周期相同，为故选：C6.已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据扇形的圆心角，半径，弧长，面积的关系列方程组求解即可.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，因为扇形的弧长为6，面积为9，所以，解得，所以这个扇形圆心角的弧度数为故选：D7.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助中间量比较大小，根据比较大小即可得答案.【详解】因为，，，所以，，所以.故选：C8.阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得.【详解】依题意可得，所以，又，即，所以，即，则，，所以，则，即当时，该振子的位移.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质判断AB；根据作差法比较大小判断CD.【详解】对于A，由得，又，故，故A选项正确；对于B，由得，又，故，故B选项错误；对于C，，因为，，所以，，所以，即，故C选项正确；对于D，，因为，，所以，所以，即，故D选项正确.故选：ACD10.（多选）已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.在区间上单调递增【答案】AB【解析】【分析】根据余弦函数的性质，依次讨论最小正周期，对称轴，对称中心，单调递增区间即可判断.【详解】对于A，的最小正周期为，故正确；对于B，令，解得，即的对称轴为，当时，为，故正确；对于C，令，解得，即的对称中心为，不存在使得，故错误；对于D，令，解得（），即的单调递增区间为（），当时，递增区间为，由于，故在上单调递增，在上单调递减，故错误.故选：AB11.已知函数，则（）A.当时，的值域为B.若为增函数，则的取值范围为C.若存在最值，则的取值范围为D.若有两个零点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】分析各段函数的单调性，求出函数在各段的取值范围，即可求出函数的值域，即可判断A，根据断点左侧函数值不大于右侧函数值，即可判断B，分析最小值必在处取到，即可判断C，判断在上存在一个零点，即可判断D.【详解】因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增；对于A：当时，则当时，当时，综上可得的值域为，故A正确；对于B：若为增函数，则，解得，即的取值范围为，故B正确；对于C：因为在上单调递增，且，；又在上单调递增，且；要使存在最值，则必定为最小值且在处取到，所以，解得，即的取值范围为，故C错误；对于D：因为在上单调递增，，所以在上存在一个零点；要使有两个零点，则在上存在一个零点，又在上单调递增，且，所以，解得，即的取值范围为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.集合的真子集的个数为________.【答案】【解析】【分析】解法一:(列举法)对集合的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合中的元素个数,再用公式求出真子集个数.【详解】解:解法一:(列举法)集合的真子集为,,,共个.故答案为:解法二:(公式法)集合中的元素有个,则真子集个数为,个.故答案为:本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合中有个元素,则集合的子集有个,真子集有,非空真子集有个.13.函数，值域为_____.【答案】【解析】【分析】由题知，，再结合二次函数性质求解即可.【详解】，因为，，所以当时，取得最大值；当或时，取得最小值；所以函数，的值域为.故答案为：14.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题知，进而将不等式转化为，再结合的单调性解得对任意恒成立，最后根据一元二次不等式恒成立问题分类讨论求解即可.【详解】因为，所以因为在上的单调递减，所以在上的单调递增，又因为，在上的单调递增，所以在上的单调递增所以，又，即所以所以，所以，即对任意恒成立，当时，恒成立，当时，对任意恒成立等价于，解得.所以，实数的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的定义域；（2）求的单调区间及值域.（注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.）【答案】（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为.值域为.【解析】【分析】（1）解不等式，可得的定义域；（2）设，则.判断两个函数的单调性，由复合函数单调性同增异减的法则得到的单调区间，并得到其值域.【小问1详解】由题可得，即，.解得.所以函数的定义域为.小问2详解】设，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，所以.因为是减函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且在，即处取得最小值，最小值为.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.值域为.16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系化简整理得，再结合的范围解方程即可得答案;（2）根据诱导公式化简得，再结合同角三角函数关系求解即可.【小问1详解】因为，，所以所以，即，解得或，当时，的分母为0，无意义，舍去，所以.【小问2详解】因为，，，，所以因为，，所以，所以，即.17.已知函数的最小正周期为，且对于任意实数，都有成立.（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求使不等式成立的的取值集合.【答案】（1）（2），.（3）【解析】【分析】（1）由最小正周期得，由恒成立得是最小值，进而待定系数求解即可；（2）根据正弦函数的单调递减区间整体代换求解即可；（3）由题知，再结合正弦函数的性质解不等式即可.【小问1详解】解：因为函数的最小正周期为，所以，解得因为对于任意实数x，都有成立，即是最小值，所以，即，所以，即，因，所以所以【小问2详解】解：令，，解得，所以的单调递减区间为，.【小问3详解】解：，即，所以，因为的解集为所以，令，解得，所以不等式解集为18.已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中.（1）证明：为定值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明；（2）根据基本不等式“1”的用法求解即可；（3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】解：因为实数的一元二次不等式的解集为，所以，是方程的两个实数根，所以，，即，所以，且，即为定值小问2详解】由（1）知，且，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为【小问3详解】因为，所以，因为，所以，即，，所以当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为19.已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递增；（3）若关于的方程共有4个不同的实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）.【解析】【分析】（1）根据求出，然后验证满足题意即可；（2）根据单调性定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可得证；（3）记，根据方程有2个不同的实数解确定，根据有2个不同的实数解确定的范围，然后