广东省惠州市惠州某中学学2024届中考数学四模试卷含解析

广东省惠州市惠州一中学2024年中考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.把多项式・2OX2+or分解因式，结果正确的是（）

A.ax（r2-2x）B.ax2（x-2）

C.ax（r+1）（x-1）D.ax（x-1）2

2.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间

t（单位：分钟）满足的函数关系p=j+b/+c6c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和

实验数据，可得到最佳加工时间为（）

0.5--------卜十T

•:।!：

::!

---------!--!--1-->

O345f

A.4.25分钟B.4.00分钟C.3.75分钟D.3.50分钟

3.李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序

是（）

己知：如图，在_ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC±,且DE//BC,DF//AC,

求证：.ADEs.DBF.

证明：①又・・・DF//AC,®'：DE//BC,③.•./A=/BDF,④「./ADE=ZB,ADE^ADBF.

A.③②④①B.②④©③C.③①®@D.②(③④①

4.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a#））的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=-L点B

的坐标为（L0）,则卜列结论：①AB=4；②bJacX）；③abVO；®a2-ab+ac<0,其中正确的结论有（）个.

A.3B.4C.2D.1

5.如图，在平面直角坐标系中，A(1,2),B(1,-1),C(2,2),抛物线产ox2(〃和)经过AABC区域(包括边

B.-14。<0或0<。42

C.一lWa<0或工<。与1

2

I).-<a<2

2

6.已知点M(-2,3)在双曲线，=-±,则下列一定在该双曲线上的是()

X

A.(3,-2)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(3,2)

7.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF

8.某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元,

且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的

是（）

200350200350200350200350

A.---=----B.---=----C.----=----D.----=----

xx-3xx+3x+3xx-3x

9.如图，在AA3C中，A8=10,AC=8,8C=6，以边A3的中点。为圆心，作半圆与AC相切，点RQ分别是边

和半圆上的动点，连接夕。,则长的最大值与最小值的和是（）

32

B.2x/13+l

A.6C.9T

10.若a是一元二次方程x2-x-l=0的一个根，则求代数式a3-2a+l的值时需用到的数学方法是（）

A.待定系数法B.配方C.降次D.消元

11.如图，已知NAO8=70。，OC平分NAOS,DC//OBf则NC为（）

A.20°B.35°C.45°D.70°

12.下列计算或化简正确的是（

A.26+4&=6石B.屈=4①

c.D.炳子百=3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如匡，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O,A,B,M均在格点上，P为线段OM上的一个动点.

（1）OM的长等于；

（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PIV取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点

P的位置，并简要说明你是怎么画的.

A

20.（6分）如图：△PCD是等腰直角三角形，NDPC=90。』，ZAPB=135°

求证：（1）△PAC^ABPD；

21.（6分）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，ZB=ZE=30°.

△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是

②设ABDC的面积为AAEC的面积为则&与$的数量关系是.猜想论证

当4DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与3的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC

和AAEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.拓展探究

已知NABC=60。，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,OE#AB交BC于点E（如图4）,若在射线BA上存在点F,

使SADCF=SABDC,请直接写出相应的BF的长

22.（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为

1k

（4,2），直线y=--X+3交AR,BC分别于点M,N,反比例函数y=—的图象经过点M,N.

2x

八

x

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且4OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标.

23.（8分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升

费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用」为625万元，乙种套房费用为700万元.

（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？

（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于

甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？

（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元

（a>0）,市政府如何确定方案才能使费用最少？

24.（10分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每

辆车的日租金x（元）是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过

100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的hl租金至少应为多少元？（注：净收入二

租车收入■管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

25.（10分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为320D元.在该产品的

试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元

销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不

低于28011元.商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司

所获的利润为y元，求J（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围该公司的销售人员发现：当

商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为

使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

26.（12分）如图1,四边形ABCD中，AB1BC,AD//BC,点P为DC上一点，且AP=AB,分别过点A和

点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F.

（1）证明：.ABEs二80；

/7七.AB3BP…

（2）若不=:，求不二的值；

''BC4CF

pn7

⑶如图2,若AB=BC,设N7MP的平分线AG交直线BP于G当C/=l,正时，求线段AG的长.

x.3

27.①分）解方程百一^

(x-l)(x+2)

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

先提取公因式QX,再根据完全平方公式把X2-2X+1继续分解即可.

【题目详解】

原式（x2-2x+l）=ax（x-1）2,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式

法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

2、C

【解题分析】

根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得.

【题目详解】

根据题意，将（3,0.7）、（4,0.8）、（5,0.5）代入p=at2+bt+c,

9a+3b+c=0.7

得：《16n+4/?+c=0.8

25。+5/?+c=0.5

解得：a=-0.2,b=1.5,c=-2,

即p=-0.2t2+1.5t-2,

当t=----F二=3.75时，p取得最大值，

-0.2x2

故选C.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.

3、B

【解题分析】

根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；

【题目详解】

证明：@YDE//BC,

④NADE=2B,

①又DF//AC,

③ZA二，BDF,

.“ADEsDBF.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似.

4、A

【解题分析】

利用抛物线的对称性可确定A点坐标为(・3,0),则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点

可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a>。，再利用对称轴方程得到b=2a>0,则可对③进行判断；利用x=-l时,

y<0,即a・b+cV0和a>0可对④进行判断.

【题目详解】

•・,抛物线的对称轴为直线x=・l,点B的坐标为(1,0),

AA(-3,0),

AAB=1-(-3)=4,所以①正确；

・・,抛物线与X轴有2个交点，

.,.△=b2-4ac>0,所以②正确；

;抛物线开口向下，

Aa>0,

•・・抛物线的对称轴为直线x=-3=-1,

2a

Ab=2a>0,

Aab>0,所以③错误；

Vx=-1时，yVO,

.*.a-b+c<0,

而a>0,

Aa（a-b+c）<0,所以④正确.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数产ax?+bx+c（a,b,c是常数，a#0）,△=b2・4ac决定抛物线与x轴的

交点个数：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=lr-4ac<0时,

抛物线与x轴没有交点.也考查了二次函数的性质.

5、B

【解题分析】

分两种情况进行讨论：

当。>0时，抛物线经过点A（l,2）时，。=2,抛物线的开口最小，a取得最大值2.抛物线），二。』经过△ABC

区域(包括边界)，〃的取值范围是：0<aW2.

当avO时，抛物线)，=aF经过点8(1,7)时，〃=-1,抛物线的开口最小，。取得最小值-1.抛物线y=a?经过

△48C区域(包括边界)，〃的取值范围是：一

故选B.

点睛：二次函数)，=加+〃T+c(awO),二次项系数〃决定了抛物线开口的方向和开口的大小，

a>0,开口向上，〃<0,开口向下.

时的绝对值越大，开口越小.

6、A

【解题分析】

因为点M(・2,3)在双曲线)=七上，所以xy=(-2)x3=-6,四个答案中只有A符合条件.故选A

X

7、B

【解题分析】

根据矩形和折叠性质可得AEHC^AFBC,从而可得BF=HE=DE,设BF=EH=DE=x,则AF=CF=9-x,在RtABCF

中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4,据此得出GF=L由EF、2=EG2+GF2可得答案.

【题目详解】

如图，・・•四边形ABCD是矩形，

.*.AD=BC,ZD=ZB=90°,

根据折叠的性质，有HC=AD,ZH=ZD,HE=DE,

/.HC=BC,NH=NB,

又NHCE+NECF=90°,ZBCF+ZECF=90°,

.\ZHCE=ZBCF,

在4EHC^AFBC中，

4H=4B

•；,HC=BC,

ZHCE=ZBCF

/.△EHC^AFBC,

ABF=HE,

ABF=HE=DE,

设BF=EH=DE=x,

则AF=CF=9-x,

在RtABCF中，由BF2+RC2=CF2可得X?+32=(9-X)2,

解得：x=4,即DE=EH=BF=4,

则AG=DE=EH=BF=4,

AGF=AB-AG-BF=9-4-4=1,

AEF2=EX；2+GF2=32+12=1O,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了折叠的性鹿、矩形的性质、二角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强,熟练掌握各相关的性质

定理与判定定理是解题的关键.

8、B

【解题分析】

试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量

关系列出方程即可.

考点：由实际问题抽象出分式方程

9、C

【解题分析】

如图，设。O与AC相切于点E,连接OE,作OPiJ_BC垂足为Pi交。。于Qi,此时垂线段OPi最短，PIQI最小值

为OPi・OQi,求出OPi,如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.

【题目详解】

解：如匿，设OO与AC相切于点E,连接OE,作OPi_LBC垂足为Pi交OO于Q”

此时垂线段OPi最短，P|Q|最小值为OPI-OQI,

VAB=10,AC=8,BC=6,

/.AB2=AC2+BC2,

AZC=1D°,

VZOPiB=10°,

AOPi/7AC

VAO=OB,\

APiC=PiB,

AOPi=-AC=4,

0

AP1Q1最小值为OPi-OQi=L

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=5+3=8,

・・・PQ长的最大值与最小值的和是1.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于

中考常考题型.

10、C

【解题分析】

根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【题目详解】

由题意可知：a2-a-l=0,

.*.a2-a=L

或a2-l=a

a3-2a+l

=a3-a-a+l

=a(a2-l)-(a-1)

=a2-a+l

=1+1

=2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义.

11、B

【解题分析】

解：・.・。。平分NAO8,AZAOC=ZBOC=-ZAOB=35°*：CD//OB/.ZfiOC=ZC=35°,故选B.

2ft

12、D

【解题分析】

解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A错误；

B.逐=2后，故B错误；

C.卜3)2=3,故C错误；

D.5/27-r5/3=>/27^3=>/9=3,正确.

故选D.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(1)472;(2)见解析；

【解题分析】

解：(1)由勾股定理可得OM的长度

⑵取格点F,E,连接EF,得到点N,取格点S,T,连接ST,得到点R,连接NR交OM于P,则点P即为所求。

【题目详解】

(1)OM=J42+4-4加；

故答案为4加.

(2)以点O为原点建立直角坐标系，则A(1,0),B(4,0),设P(a,a),(0<a<4),

VPA2=(a-1)2+a2,PB2=(a-4)2+a2,

APA2+PB2=4(a-45)2+—43,

44

V0<a<4,

,当a=|时，PA2+PB2取得最小值与，

综上，需作出点P满足线段OP的长=平；

4

取格点F,E,连接EF,得到点N,取格点S,T,连接ST,得到点R,连接NR交OM于P,

则点P即为所求.

【题目点拨】（1）根据勾股定理即可得到结论;

（2）取格点F,E,连接EF,得到点N,取格点S,T,连接ST,得到点R,连接NR即可得到结果.

14、y=l（x-3）1-1.

【解题分析】

抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，

根据顶点式可求新抛物线的解析式.

【题目详解】

•・•尸”的顶点坐标为（0,0）,

・••把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3,-1）,

•・•平移不改变抛物线的二次项系数，

・••平移后的抛物线的解析式是尸1（x-3）,-1.

故答案为产1（x-3）1-1.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式产。（如人尸+士（«,b,c为常数，W0）,

确定其顶点坐标（儿&）,在原有函数的基础上”值正右移，负左移；£值正上移，负下移”.

15、1

【解题分析】

解：如图.,在RIAA6c中（NC=90»放置边长分别2,3,x的三个正方形，.•.△CE/尸“，.・.OE：

PN=OM：PF,VEF=x,MO=2tPN=3,：.OE=x-2fPF=x-3t：.（x-2）：3=2：（x-3）,・"=0（不符合题意，

舍去），x=L故答案为1.

B

点睛；本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用X的表达式表示

出对应边是解题的关键.

16、3或L2

【解题分析】

【分析】由△PBESZU)BC,可得NPBE=NDBC,继而可确定点P在BD上，然后再根据△API)是等腰三角形，分

DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.

【题目详解】二•四边形ABCD是矩形，.•・NBAD=NC=90。，CD=AB=6,ABD=10,

VAPBE^ADBC,

.*.ZPBE=ZDBC,・••点P在BD上，

如图1,当DP=DA=8时,BP=2,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=2：10,

Z.PE：6=2：10,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=1：2,

/.PE：6=1：2,

.*.PE=3；

综上，PE的长为1.2或3,

故答案为：1.2或3.

【题目点拨】本题考查了相似三角形的性侦，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的

关键.

17、1.

【解题分析】

利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.

【题目详解】

解：原式=第二需

【题目点拨】

本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键.

18、

【解题分析】

根据△ABC、AEFD都是等边三角形，nJWAAEF^ABDE^ACDF,即可求得AE+AF=AE+BE=a,然后根据切

线长定理得到AH=L(AE+AF-EF)=-(a-b)；,再根据直角三角形的性质即可求出AAEF的内切圆半径.

22

【题目详解】

解：如国1,。1是AABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE,BD=BF,CE=CF,

AAD=AE=-[(AB+AC)-(BD+CE)]=-[(AB+AC)-(BF+CF)]=-(AB+AC-BC),

222

如图2,♦.,△ABC,△DEF都为正三角形，

/.AB=BC=CA,EF=FD=DE,ZB/\C=ZB=ZC=ZFED=ZEFD=ZEDF=60°,

/.Zl+Z2=Z2+Z3=120°,N1=N3；

在AAEF和△CFD中，

/BAC=/C

<Z1=Z3,

EF=FD

/.△AEF^ACFD(AAS)；

同理可证：△AEF^ACFD^ABDE；

ABE=AF,BPAE+AF=AE+BE=a.

设M是AAEF的内心，过点M作MH_LAE于H,

则根据图1的结论得：AH=-(AE+AF-EF)=-(a-b)；

22

TMA平分NBAC,

/.ZHAM=30°；

AHM=AH*tan30°=—(a-b)•#4(a-b)

236

故答案为：骼(a-b).

【题目点拨】

本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，

根据已知得出AH的长是解题关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)见解析；(2)90。；(3)解题思路见解析.

【解题分析】

(1)将线段AO绕点A逆时针方向旋转90。，得到线段AE,连结£C.

(2)先判定△ABDgZiACE,即可得到N8=NACE,再根据NBu/ACBuNACEndS。，即可得出

ZECD=ZACB+ZACE=90°；

(3)连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求。后=0；由NAZW=6O。，ZCAE=1.5°,可求NEDC

的度数和NC。/7的度数，从而可知。尸的长；过点A作A〃_LO/于点“，在RMADH中，由ZAD尸=60°,AD=1

可求4从的长；由。尸、。〃的长可求"产的长；在RSAHF中，由4〃和HF,利用勾股定理可求4户的长.

【题目详解】

解：(1)如图，

A

（2）线段AD绕点A逆时针方向旋转90，得到线段AE.

.•./DAE=90，AD=AE，

.•./DAC+NCAE=90.

•・・/BAC=9（），

"BAD+NDAC=90•

/.4AD=/CAE,

在ABD和一ACE中

AB=AC

-ZBAD=ZCAEt

AD=AE

/.ABDgACE（SAS）.

.•./B=NACE,

・・bABC中，NA=9U，AB=AC,

NB=NACB=NACE=45.

/CD=/ACB+NACE=90;

（3）I•连接DE,由于.ADE为等腰直角三角形，所以可求DE二血；

II•由ZADF=60,NCAE=7.5，可求/EDC的度数和NCDF的度数，从而可知DF的长；

IH•过点A作AH_LDF于点H,在Rt_ADH中，由NADF=60,AD=1可求AH、DH的长；

IV•由DF、DH的长可求HF的长；

V•在RQAHF中，由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长.

故答案为（1）见解析；（2）90。；（3）解题思路见解析.

【题目点拨】

本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角.

20、(1)见解析；(2)&,

【解题分析】

(1)由△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,可得NPAB=NPBD,ZBPD=ZPAC,从而即可证明;

(2)根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=g,再由勾股定理即可求解.

【题目详解】

证明：(1);△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,

.\ZAPC+ZBPD=45O,

又NPAB+NPBA=45。，ZPBA+ZPBD=45°,

AZPAB=ZPBD,ZBPD=ZPAC,

VZPCA=ZPDB,

AAPAC^ABPD；

(2)VxcPC=PD,AC=3,BD=1

PD~BD

・・・PC=PD=6，

,C0=q3+3=&•

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，属于基础题，关键是掌握相似三角形的判定方法.

21、解：(1)①DE〃AC.②S=S2.(1)&=S?仍然成立，证明见解析；(3)3或2.

【解题分析】

(1)①由旋转可知：AC=DC,

VZC=90°,ZB=ZDCE=30°,，NDAC=NCDE=200・・•・△/、》(：是等边三角形.

AZDCA=20°.AZDCA=ZCDE=20°.ADE#AC.

②过D作DN±AC交AC于点N,过E作EM±AC交AC延长线于M,过C作CF±AB交AB于点F.

由①可知：△ADC是等边三角形,DE〃AC,/.DN=CF,DN=EM.

ACF=EM.

VZC=9D°,ZB=30°

・・・AB=1AC.

XVAD=AC

ABD=AC.

VS.=-CFBD,S,」ACEM

222

/.S(=S2.

(1)如图，过点D作DMJ_BC于M,过点A作ANJ_CE交EC的延长线于N

・••△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,

ABC=CE,AC=CD,

VZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

/.ZACN=ZDCM,

/ACN=/DCM

:在△ACN和^DCM中，＜NCMD=NN,

AC=CD

AAACN^ADCM(AAS),

.*.AN=DM,

/.△BDC的面积和乙AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

即S1=S1；

(3)如图，过点D作DFi〃BE,易求四边形BEDFi是菱形，

所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等,

此时SADCFI=SABDE;

过点D作DFI_LBD,

VZABC=20°,FiD〃BE,

AZFIFID=ZABC=2()°,

VBFi=DFi,ZFiBD=-ZABC=30°,ZFiDB=90°,

2

AZFiDFi=ZABC=20°,

・••△DFIFI是等边三角形，

.\DFi=DFi,过点D作DGJ_BC于G,

VBD=CD,ZABC=20°,点D是角平分线上一点,

119

AZDBC=ZDCB=-x20°=30°,BG=-BC=-,

222

ABD=373

AZCDFI=1800-ZBCD=180O-30O=150°,

ZCDFi=320°-l50°-20°=150°,

AZCDFi=ZCDFi,

•・•在△CDFi和ACDFi中,

DF=DF2

ZCDF=CDFlt

CD-CD

.,.△CDFi^ACDFi(SAS),

，点Fi乜是所求的点,

VZABC=20°,点D是角平分线上一点，DE〃AB,

:.ZDBC=ZBDE=ZABD=-x20°=30°,

2

XVBD=3x/3,

/.BE=；x3y/3vcos30°=3,

.\BFi=3,BFi=BFi+FiFi=3+3=2,

故BF的长为3或2.

4

22、(1)y=-(2)点P的坐标是(D,4)或(0,—4).

x;

【解题分析】

(1)求出OA=BC=2,将y=2代入y=-gx+3求出x=2,得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即

可求出答案.

（2）求出四边形RMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.

【题目详解】

（1）VB（4,2）,四边形OABC是矩形，

.*.OA=BC=2,

将y=2代入y=」x+33得：x=2,AM（2,2）.

把M的坐标代入y=K得：仁%

X

4

・••反比例函数的解析式是y=?；

x

⑵S四边形BMON=S矩形OABC-S&AOM-SACON=4x2-2x—X4=4.

VAOPM的面积与四边形BMON的面积相等，

A-OPAM=4.

2

VAM=2,

AOP=4.

，点P的坐标是（0,4）或（0,-4）.

23、（1）甲：25万元；乙：28万元；（2）三种方案；甲种套房提升50套，乙种套房提升30套费用最少；（3）当a=3

时，三种方案的费用一样，都是2240万元；当a>3时，取m=48时费用最省；当0VaV3时，取m=50时费用最省.

【解题分析】

试题分析：（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；

（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80・m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，

再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论；

（3）根据（2）表示出W与m之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论.

（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，依题意，

㈤625700

得丁=773

解得：x=25

经检验：x=25符合题意，

x+3=28；

答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元.

（2）设甲种套房提升叼套，那么乙种套房提升（m・48）套，

25W+28X(80-W)>2090

依题意，得

2Sw+28x(80-?w)<2096

解得：48<m<50

即m=48或49或50,所以有三种方案分别

是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套.

方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升1.

套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套.

设提升两种套房所需要的费用为W.

FT=25m+28x（80-优）=-3例+2240

所以当E•义时，费用最少，即第三种方案费用最少.（3）在（2）的基础上有：

犷=（25+。）M+28x（80-M）=（a-3）冽+2240

当a=3时，二种方案的费用一样,都是2240万元.

当a>3时，取m=48时费用W最省.

当0VaV3时，取m=50时费用最省.

考点：1.一次函数的应用；2.分式方程的应用；3.一元一次不等式组的应用.

24、（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元.

【解题分析】

试题分析；（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入■管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）

由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值.

试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则OVxSOO,

由50x-1100>0,

解得x>22,

又•・”是5的倍数，

・・・每辆车的日租金至少应为25元；

（2）设每辆车的净收入为y元，

当0<x<100时，yi=50x-1100,

•・•力随x的增大而增大，

・••当x=100时，yi的最大值为50x100-1100=3900；

当x>100时，

/%—100、

y2=（50------------）x-1100

=--x2+70x-1100

5

=--(x-175)2+5025,

5

当x=175时,yz的最大值为5025,

5025>3900,

故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元.

考点：二次函数的应用.

25、(1)商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；(2)当叱烂10时，y=700x,当10V烂1时，y=

・53+750x,当x>l时，j，=300x；(3)公司应将最低销售单价调整为2875元.

【解题分析】

(1)设件数为x，则销售单价为3200.5(x-10)元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；

(2)由利润y=(销售单价.成本单价)x件数，及销售单价均不低于2800元，按0士310,10Vxg50两种情况列出函

数关系式：

(3)由(2)的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价.

【题目详解】

(1)设商家一次购买这种产品X件时，销售单价恰好为2800元.

由题意得：3200-5(x-10)=280