高中集合运算及应用题详解

高中集合运算及应用题详解集合作为高中数学的入门知识，不仅是后续函数、不等式等内容的基础，其本身所蕴含的逻辑思维与集合思想，对培养同学们的数学素养至关重要。本文将系统梳理集合的基本运算，并通过典型例题的详细解析，帮助同学们深化理解，提升解题能力。一、集合的基本运算集合的运算，本质上是基于集合间的关系进行的元素重组与筛选。我们主要关注交集、并集和补集三种基本运算。（一）交集(Intersection)定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。符号表示：A∩B={x|x∈A且x∈B}理解要点：交集是“公共部分”，即两个集合都含有的元素构成的新集合。若A与B没有公共元素，则A∩B为空集∅。Venn图表示：用两个相交的圆分别表示集合A和B，重叠部分即为A∩B。（二）并集(Union)定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。符号表示：A∪B={x|x∈A或x∈B}理解要点：并集是“合并部分”，即将两个集合中的所有元素（重复元素只算一次）合并在一起构成的新集合。“或”字在这里是数学意义上的“或”，包括只属于A、只属于B以及同时属于A和B的元素。Venn图表示：用两个相交的圆分别表示集合A和B，两个圆所覆盖的全部区域即为A∪B。定义：一般地，设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”。符号表示：∁UA={x|x∈U且x∉A}理解要点：补集是相对于“全集”而言的，离开了全集，补集就没有意义。它表示的是在“整体”中除去“部分”后剩下的元素。Venn图表示：用一个矩形表示全集U，矩形内的一个圆表示集合A，那么矩形内圆以外的部分即为∁UA。（四）集合运算的基本性质掌握以下运算性质，能有效简化运算过程，提高解题效率：1.交集的性质：*A∩A=A*A∩∅=∅*A∩B=B∩A(交换律)*(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(结合律)*若A⊆B，则A∩B=A2.并集的性质：*A∪A=A*A∪∅=A*A∪B=B∪A(交换律)*(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(结合律)*若A⊆B，则A∪B=B3.补集的性质：*A∪(∁UA)=U*A∩(∁UA)=∅*∁U(∁UA)=A*∁UU=∅,∁U∅=U4.分配律与德摩根定律：*A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(交集对并集的分配律)*A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(并集对交集的分配律)*∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)(德摩根第一定律)*∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)(德摩根第二定律)——“交之补等于补之并，并之补等于补之交”二、集合运算应用题详解集合应用题的关键在于将文字信息准确转化为集合语言，明确集合中的元素是什么，以及元素之间的关系，再运用集合运算的定义和性质进行求解。（一）基础运算型例1：已知集合A={x|x是小于10的正奇数}，集合B={x|x是12的正约数}，求A∩B，A∪B。分析：首先，我们需要明确集合A和集合B中的具体元素。*小于10的正奇数有1,3,5,7,9，所以A={1,3,5,7,9}。*12的正约数有1,2,3,4,6,12，所以B={1,2,3,4,6,12}。求解：*A∩B是A和B的公共元素组成的集合，即{1,3}。*A∪B是A和B所有元素合并组成的集合（重复元素只写一次），即{1,2,3,4,5,6,7,9,12}。点评：此类问题直接考察集合的列举法表示及交并集的基本概念，关键在于准确列出集合元素。（二）不等式与集合运算结合例2：设全集U=R，集合A={x|-1≤x<3}，集合B={x|2x-4≥x-2}。(1)求A∩B，A∪B；(2)求∁UA，∁U(A∩B)。分析：首先化简集合B。对于B：2x-4≥x-2⇒x≥2。所以B={x|x≥2}。集合A已给出：A={x|-1≤x<3}。求解：(1)A∩B：即x既要满足-1≤x<3，又要满足x≥2。所以取其公共部分，得{x|2≤x<3}。A∪B：即x满足-1≤x<3或x≥2。将两部分合并，因为x≥2包含了2≤x<3，所以结果为{x|x≥-1}。(2)∁UA：全集为R，即所有不属于A的实数。A是-1≤x<3，所以∁UA={x|x<-1或x≥3}。∁U(A∩B)：先由(1)知A∩B={x|2≤x<3}，其补集为所有不属于[2,3)的实数，即{x|x<2或x≥3}。或者，利用德摩根定律：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)。先求∁UB：B={x|x≥2}，所以∁UB={x|x<2}。则(∁UA)∪(∁UB)={x|x<-1或x≥3}∪{x|x<2}={x|x<2或x≥3}。结果一致，验证了德摩根定律的正确性。点评：解决与不等式结合的集合问题，最好能借助数轴进行分析，直观明了，不易出错。注意区间端点的取舍（空心与实心）。（三）实际应用问题例3：某班有学生45人，其中参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有22人，两样都参加的有15人。问：(1)只参加数学兴趣小组的有多少人？(2)只参加物理兴趣小组的有多少人？(3)至少参加一个兴趣小组的有多少人？(4)两样都不参加的有多少人？分析：此类问题是集合交并补运算在实际生活中的典型应用，适合用Venn图来辅助理解。设全集U为该班全体学生，集合A为参加数学兴趣小组的学生，集合B为参加物理兴趣小组的学生。已知：card(U)=45,card(A)=28,card(B)=22,card(A∩B)=15。（card(S)表示集合S中元素的个数）求解：(1)只参加数学兴趣小组的人数：即属于A但不属于B的元素个数，为card(A)-card(A∩B)=28-15=13人。(2)只参加物理兴趣小组的人数：即属于B但不属于A的元素个数，为card(B)-card(A∩B)=22-15=7人。(3)至少参加一个兴趣小组的人数：即A∪B的元素个数。根据容斥原理：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=28+22-15=35人。或者，也可理解为“只参加数学”+“只参加物理”+“两样都参加”=13+7+15=35人。(4)两样都不参加的人数：即A∪B在U中的补集的元素个数，为card(U)-card(A∪B)=45-35=10人。点评：解决此类计数问题，核心是理解“至少”、“至多”、“只参加”等词语的含义，并能准确对应到集合的交、并、补运算。Venn图是解决这类问题的非常有效的工具，能够清晰地展示各部分元素的数量关系。容斥原理（card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)）是计算并集元素个数的重要公式。三、解题要点总结1.明确集合中的元素：解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，是数、点、还是具有某种性质的对象。2.掌握表示方法：熟练运用列举法、描述法（特别是不等式描述的数集）表示集合，并能进行相互转化。3.善用工具：数轴是解决数集运算（尤其是与不等式结合）的得力助手；Venn图则在解决涉及集合间关系及元素计数的实际问题时非常直观。4.理解运算本质：深刻理解交集、并集、补集的定义及其运算性质，能正确运用这些性