初中数学旋转变换专题练习题

初中数学旋转变换专题练习题旋转变换是初中几何的重要组成部分，它不仅丰富了我们对图形运动的认识，也为解决几何问题提供了灵活多变的思路。掌握旋转变换，能够帮助我们更好地理解图形的性质，培养空间想象能力和逻辑推理能力。下面，我们将通过一系列练习题，巩固旋转变换的相关知识，并提升运用这一工具解决实际问题的能力。一、知识梳理与要点回顾在开始练习之前，让我们简要回顾旋转变换的核心知识点：1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度（旋转角），这样的图形运动称为旋转变换。2.要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。3.性质：*对应点到旋转中心的距离相等。*对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。*对应线段相等，对应角相等。*旋转前后的图形全等。深刻理解这些性质是解决旋转问题的关键。在解题时，要善于从复杂图形中识别出旋转的“痕迹”，明确旋转中心、旋转角和对应关系。二、旋转变换的应用策略与常见题型旋转变换常用于以下几种情形：*已知中点或中线：考虑将图形绕中点旋转180°，构造中心对称图形，从而实现线段或角的转移与拼接。*图形中存在等腰或等边条件：例如等腰直角三角形、等边三角形，常可将图形绕等腰三角形的顶点旋转顶角的度数（如90°、60°），利用旋转的性质构造全等三角形，集中分散的条件。*遇正方形、正多边形：它们本身具有很好的旋转对称性，常通过旋转特定角度（如90°、60°）来构造辅助线，解决问题。三、典型例题精析例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在边AB上，且∠DCE=45°。求证：AD²+BE²=DE²。分析与提示：本题中，AC=BC，∠ACB=90°，是一个等腰直角三角形。∠DCE=45°，恰为∠ACB的一半。考虑将△ACD绕点C顺时针旋转90°，使得AC与BC重合。设点D的对应点为D’，连接ED’。通过证明△ECD≌△ECD’，将DE转化为D’E，再证明∠D’BE=90°，即可利用勾股定理证得结论。例题2：已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AB=6，BC=8。求四边形ABCD的面积。分析与提示：由AD=CD且∠ADC=60°，易知△ADC为等边三角形。可考虑将△ABC绕点C顺时针旋转60°，使得CD与AD重合，构造新的三角形，将不规则四边形的面积转化为规则图形（如等边三角形或直角三角形）的面积之差或之和。四、专题练习题基础巩固1.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若∠BAC=80°，∠B=30°，则∠EAD=______°，∠AED=______°。![基础题1图（请自行脑补：△ABC，绕A旋转得△ADE，AB旋转到AD，AC旋转到AE，夹角60°）]2.点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP’。若BP=5，则PP’的长为______。![基础题2图（请自行脑补：正方形ABCD，P在内部，连接BP，旋转后B、P、P’可能共线或构成三角形）]3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，将△ACD绕点D旋转180°得到△BED。求证：四边形ACBE是矩形。![基础题3图（请自行脑补：等腰直角△ABC，C为直角，D为AB中点，连接CD，旋转后得△BED）]能力提升4.如图，在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5。求∠APB的度数。![提升题4图（请自行脑补：等边△ABC，内部一点P，连接PA、PB、PC）]5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上一点。求证：BD²+CD²=2AD²。（提示：将△ABD绕点A逆时针旋转90°）![提升题5图（请自行脑补：等腰直角△ABC，A为直角，D在BC上）]6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24，求AC的长。![提升题6图（请自行脑补：四边形ABCD，∠A和∠C是直角，AB=AD）]拓展应用7.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P’AB。（1）求点P与点P’之间的距离；（2）求∠APB的度数。![拓展题7图（请自行脑补：正△ABC，内一点P，连接PA、PB、PC，旋转△PAC）]8.已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD。探究：当∠ACB为何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？（提示：考虑旋转△ABC或△ABD）五、参考答案与提示基础巩固1.∠EAD=80°，∠AED=30°。（旋转不改变角的大小）2.PP’=5√2。（△BPP’为等腰直角三角形）3.提示：利用旋转性质得AD=BD，CD=ED，∠A=∠EBD，从而AC∥BE且AC=BE，故四边形ACBE是平行四边形，再由∠C=90°证得矩形。能力提升4.提示：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP’A，连接PP’。可证△PBP’为等边三角形，△APP’为直角三角形，从而∠APB=150°。5.提示：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接DE。可证△ADE为等腰直角三角形，CE=BD，∠ECD=90°，在Rt△ECD中用勾股定理。6.提示：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，使得AB与AD重合。可证C、E、D三点共线，且△ACE为等腰直角三角形，其面积等于四边形ABCD的面积24，从而求出AC=4√3。拓展应用7.（1）PP’=6；（2）∠APB=150°。（类似题4的思路）8.提示：当∠ACB=120°时，CD距离最大，最大值为a+b。（将△ACD绕点D顺时针旋转60°得到△A’BD，当C、B、A’三点共线时CA’最大）六、总结与提升旋转变换的魅力在于它能将分散的条件集中，将不规则的图形转化为规则的图形，从而化难为易。在解决与旋转相关的问题时，关键在于：*观察图形特征：是否存在等腰、等边、正方形等具有旋转对称性的基本图形。*确定旋转中心和旋转角：通常以等腰三角形的顶点、正方形的顶点等为旋转中心，