分数除法的算理探究与模型建构：六年级上册教学设计

分数除法的算理探究与模型建构：六年级上册教学设计一、教学内容分析  本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段（46年级）。在知识图谱上，它上承分数乘法的意义与计算，下启分数四则混合运算及解决实际问题，是分数运算体系中的关键枢纽与认知跃升点。核心概念是“分数除法的意义”与“算法则”，关键在于理解“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”这一算理本质。课标强调在具体情境中理解运算意义，本课蕴含的核心学科思想方法是模型思想（将除法问题统一于“求一个数包含几个另一个数”的“份数”模型）与推理意识（从整数除法到分数除法的算理迁移与归纳）。其素养价值在于，通过算理的深度探究，发展学生的数感、运算能力，并培育在陌生规则（分数除法法则）面前，不满足于机械记忆，而执着于“为什么可以这样算”的理性精神与科学态度。  学情研判需基于“以学定教”原则。学生已有牢固的整数除法意义、分数乘法计算及“倒数”概念作为认知锚点。潜在障碍主要源于认知跨度：从“均分”整数的直观经验，跨越到“均分”一个分数，尤其是“一个数除以分数”的算理抽象性显著增强，易导致学生仅停留于算法记忆。常见误区如混淆“除以分数”与“乘以分数”的算理依据。教学调适策略在于：设计阶梯式探究任务，借助直观模型（线段图、面积图）搭建从具体到抽象的桥梁；通过对比性设问（如，比较整数除以整数、分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数在算理上的共通性）促进知识结构化；实施动态过程评估，通过课堂巡视、追问典型做法（如“你的第一步为什么想到把除数变成它的倒数？”）即时诊断思维过程，为理解困难者提供“操作图示符号”的多元表征支持路径。二、教学目标  知识目标：学生能在具体问题情境中，理解分数除法的运算意义，并通过对系列算例的观察、操作与推理，自主归纳出分数除法的计算法则（除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数），并能在理解的基础上准确、熟练地进行计算。  能力目标：学生能运用数形结合的方法（如画线段图），分析和解释分数除法运算的算理，实现算法与算理的统一；能在解决实际问题的过程中，灵活选择运算方法，发展信息提取、数学建模和解决问题的能力。  情感态度与价值观目标：学生在小组合作探究中，能主动分享自己的猜想与验证过程，乐于倾听并辨析同伴的不同思路，体验数学知识内在的连续性与统一性之美，激发探究数学规律的好奇心与自信心。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与推理意识。通过构建“求一个数里包含几个另一个数”的通用除法模型，将整数与分数的除法意义统一起来；通过从特殊到一般的归纳推理，发现并论证分数除法的普遍算法。  评价与元认知目标：学生能依据“算理表述清晰、算法应用正确”的双重标准，对自我或同伴的解题过程进行评价；能在课堂小结时，反思本课探索的关键步骤与核心思想，明确“从意义出发理解运算”的学习策略价值。三、教学重点与难点  教学重点：分数除法计算法则的归纳与理解。其确立依据在于，该法则是进行分数除法运算的普适性工具，是后续学习分数混合运算、解决分数复杂实际问题的直接基础。从课标“掌握必要的运算技能”和学业评价来看，它属于核心考点，且考查常与算理理解相结合，以检验学生是否超越机械记忆。  教学难点：理解“一个数除以分数”的算理，特别是“为什么除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”。其成因在于此过程高度抽象，需要学生摆脱整数除法的“均分”动作表象，从除法“求份数”的本质意义出发进行推理，认知跨度大。常见错误如“4÷1/2=2”，源于对“包含除”意义理解不清。突破方向是强化直观模型支撑与意义回溯，设计关键问题链引导思维聚焦于“求4里面包含几个1/2”。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含问题情境动画、可拖动的图形分拣工具）；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（A基础版/B探究版）；课堂练习反馈卡。2.学生准备2.1知识预备：复习分数乘法的计算及倒数的概念。2.2学具：直尺、彩笔。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：呈现改编自教材的“分彩带”问题。“老师有一根4米长的彩带，如果每段长2米，可以剪成几段？每段长1米呢？每段长1/2米呢？每段长2/3米呢？”（板书算式：4÷2=2，4÷1=4，4÷1/2=？，4÷2/3=？）。“大家能一眼看出前两个的答案，后两个呢？感觉有点陌生了对吗？今天我们就要揭开‘分数除法’的神秘面纱。”1.1驱动问题提出与路径规划：“面对4÷1/2，你的第一感觉答案可能是多少？8？2？还是别的数？怎么验证？我们能否像研究整数除法一样，回到除法的根本意义上去寻找答案？本节课，我们就将化身‘算理侦探’，通过‘温故知新→动手探路→发现规律→解释道理’四步，破解所有分数除法的运算密码。”第二、新授环节任务一：温故知新，统一除法意义模型教师活动：首先引导学生回顾前两个整数除法算式的意义。“4÷2=2，除了表示把4平均分成2份，每份是2，还能表示什么？”提示从“包含”的角度看。待学生说出“表示4里面包含2个2”后，强化这一模型：“非常棒！除法也可以理解为‘求一个数里面包含几个另一个数’。那4÷1=4，就是求4里面包含几个1。请大家用这个‘包含’的眼光，再来审视我们遇到的第一个难题：4÷1/2，它求的是什么？”（期望回答：求4里面包含几个1/2）。接着，引导学生思考如何验证。“既然求包含几个，我们能否用一种直观的方式‘数’出来？”提示可用线段图。学生活动：回顾并重新表述整数除法的“包含”意义。理解新问题“4÷1/2”在“包含除”模型下的含义。尝试画一条表示4米的线段，思考如何在这条线段上“数”出包含了多少个“1/2米”。部分学生可能尝试将线段等分。即时评价标准：1.能否用“求一个数包含几个另一个数”准确解释除法算式的意义。2.能否主动联想到用画图（线段图）的策略来辅助分析抽象问题。3.在小组交流中，能否清晰地向同伴阐述自己的理解。形成知识、思维、方法清单：★除法意义的“份数”模型：除法不仅可以表示“平均分”，更本质地可以理解为“求被除数中包含几个除数”。这是连通整数与分数除法算理的核心桥梁。教学提示：务必在此处让所有学生清晰建立这一模型，可通过手势、图示反复强化。▲数形结合策略：面对抽象的数量关系，通过画线段图、面积图等几何直观手段，将问题具体化、可视化，是探究数学规律的重要方法。“同学们，当你觉得脑子里转不过来时，不妨让笔尖帮你思考，把问题‘画’出来。”任务二：动手探路，破解“整数除以分数”教师活动：组织学生以小组为单位，利用学习任务单上的线段图（一条标为4的线段），探究4÷1/2和4÷2/3的结果。对A组（基础）学生，提供辅助提示：“1米里面有几个1/2米？那4米呢？”；对B组（探究）学生，直接挑战：“请用线段图证明你的结果，并尝试用算式记录你的思考过程。”巡视指导，收集典型方法（如逐段计数、利用分数单位累加、转化为乘法）。请学生上台展示。学生活动：小组合作。在图上操作：将代表4米的线段，每1/2米为一份进行划分，数出共有8份。对于4÷2/3，可能先理解2/3米是2个1/3米，将4米按1/3米分，得到12小份，每2小份（一个2/3）为一组，可分成6组。记录过程：4÷1/2=4×2=8；4÷2/3=4×3÷2=6，或思考为4×(3/2)=6。即时评价标准：1.操作与画图的准确性，是否能正确表示“份”的概念。2.从操作到算式的抽象记录能力，算式能否反映思考过程。3.小组分工协作的有效性，是否每位成员都参与了探究与表达。形成知识、思维、方法清单：★整数除以分数的直观算理：如4÷1/2，因为1米包含2个1/2米，所以4米包含（4×2）个1/2米，即4÷1/2=4×2。同理，4÷2/3，因为1米包含3/2个2/3米（即1÷2/3=3/2），所以4米包含4×(3/2)个2/3米。关键点拨：看“1个单位”包含几个除数，是被除数与除数倒数的桥梁。★算法初步感知：在探究中，学生能初步感知到“除以一个分数，好像可以变成乘以一个颠倒过来的数”。教师此时可追问：“这个‘颠倒过来的数’和原来的除数，有什么关系？”（引出倒数）。▲从特殊到一般的归纳起点：这两个特例是归纳一般规律的关键材料。“大家看，我们从这两个具体的‘案子’里，已经找到了重要的线索！”任务三：观察对比，大胆提出猜想教师活动：将之前的所有算式（包括可能补充的如6÷2/3）板书在一起，形成对比表格：除法算式转化为乘法算式观察除数的变化4÷24×1/22→1/2(2的倒数)4÷14×11→1(1的倒数)4÷1/24×21/2→2(1/2的倒数)4÷2/34×3/22/3→3/2(2/3的倒数)引导学生观察：“仔细观察‘转化’前后这两列，你有什么惊人的发现？大胆说出你的猜想！”鼓励学生用完整的数学语言表述。学生活动：仔细观察、对比、讨论。尝试归纳：“一个数除以另一个数，等于乘上那个数的倒数。”“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。”部分学生可能对“0除外”的条件敏感。即时评价标准：1.观察的全面性与深度，能否发现算式中“除数”与“所乘数”之间的互逆关系。2.归纳猜想的语言是否准确、严谨。3.能否主动质疑或补充条件（如除数不能为0）。形成知识、思维、方法清单：★分数除法计算法则猜想：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。这是本节课要验证的核心命题。★归纳推理方法：从若干个具有共同特征的具体例子中，发现一般性规律，并提出猜想，是数学发现的重要方式。“科学家们提出新理论，往往也是从这样的观察和猜想开始的，你们现在就在体验这个过程！”▲数学表达的严谨性：强调“0除外”这一条件的重要性，并与分数中除数不能为0的意义相联系。任务四：解释道理，验证猜想（以分数除以分数为例）教师活动：提出挑战：“我们的猜想很漂亮，但它对所有的分数除法都成立吗？比如，3/4÷1/2，根据猜想应该等于3/4×2=3/2。你能用我们前面‘包含除’的意义和画图的方法，来验证这个结果吗？”引导学生将3/4理解为“单位1”的3/4，求它里面包含几个1/2。可提供图形分拣动画辅助理解：一个圆平均分成4份取3份，看这3/4个圆能包含多少个半圆（1/2）。学生活动：尝试用画图或推理进行验证。例如，将3/4和1/2通分，3/4=3/4，1/2=2/4。问题转化为：3/4里面包含几个2/4？结果是(3/4)÷(2/4)=3÷2=3/2。这一过程自然引出了“将除数转化为1”的思想：3/4÷1/2=(3/4×2)÷(1/2×2)=(3/2)÷1=3/2。即时评价标准：1.验证方法的多样性（画图、通分、利用商不变性质等）。2.验证过程逻辑的清晰度。3.能否将新问题（分数÷分数）转化为已解决的问题（整数÷分数或分数÷整数）。形成知识、思维、方法清单：★分数除以分数的算理验证：可通过“通分”将分数单位统一，使问题转化为整数相除；或利用“商不变的性质”（被除数与除数同乘一个不为零的数，商不变）将除数变为1，从而直接得出结果。这后一种思路（(3/4÷1/2)=(3/4×2)÷(1/2×2)=(3/2)÷1=3/2）完美解释了“乘以倒数”的算理。★“化归”思想：将未知的、复杂的问题（分数÷分数）转化为已知的、简单的问题（整数÷整数或除以1），是数学中最基本、最重要的思想方法之一。“看，我们用了‘转化’这个法宝，把陌生的敌人变成了熟悉的老朋友！”▲算理的多元理解：除了“包含除”模型，也可引导学有余力的学生思考：除法是乘法的逆运算，由()×1/2=3/4，根据因数=积÷另一个因数，推导出()=3/4÷1/2=3/4×2。任务五：总结法则，明确要点教师活动：带领学生共同回顾验证过程，正式确认猜想成立，形成完整、准确的计算法则。“经过严密的侦探工作，我们现在可以正式宣布分数除法的‘运算法则’了。谁能完整、流利地说出来？”板书法则。强调关键点：1.“一个数”可以是整数、分数、小数（后续）；2.“除以一个不等于0的数”；3.“等于乘这个数的倒数”。随后，通过一个快速口答小练习（如5÷1/3，2/3÷4，0.6÷3/5）巩固法则的直接应用，并追问计算步骤。学生活动：齐声或个别背诵法则。参与口答练习，并解释计算步骤：将除法转化为乘法，写出除数的倒数，然后进行分数乘法计算。即时评价标准：1.对法则复述的准确性。2.应用法则进行计算的熟练度与准确率。3.是否能自觉进行“0除外”的判断。形成知识、思维、方法清单：★分数除法计算法则（最终版）：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。这是本课知识的结晶，要求理解性记忆。★计算步骤：一“变”（除号变乘号），二“倒”（除数变成它的倒数），三“算”（按分数乘法法则计算）。可用顺口溜辅助记忆：“除法变身乘法算，除数倒立在眼前，分子分母约分先，计算结果要最简。”▲法则的普适性：此法则适用于任何情形（分数÷整数、整数÷分数、分数÷分数），体现了数学的高度统一与简洁。“这个小小的法则，一下子统治了整个分数除法的世界，这就是数学的力量！”第三、当堂巩固训练1.基础层（全体必做，巩固法则）：计算题组：8÷2/3，5/6÷5，9/10÷3/5，2/3÷4/9。要求写出转化过程。同伴互评：同桌交换，依据“转化正确、计算准确、结果最简”三个标准打星。2.综合层（大多数学生挑战）：（1）解方程：2/3x=4/5。（2）实际问题：一辆汽车2/3小时行驶了40千米，照这样计算，1小时行驶多少千米？（请用两种方法列式：先求速度，或直接用路程÷时间）。教师讲评：聚焦第（2）题，比较40÷2/3与40×(3/2)的列式异同，强调除法意义与法则的统一。展示典型线段图解法。3.挑战层（学有余力选做）：探究：如果a÷b=c，那么(a×3/4)÷(b×2/5)的商是多少？与c有什么关系？这运用了我们学过的什么性质？（商的变化规律与分数除法的综合）。反馈机制：课后可提交思路给老师，获得个性化指导。第四、课堂小结1.知识整合：“同学们，回顾一下我们今天这趟‘算理侦探’之旅，你探索到了哪些宝藏？请用你喜欢的方式（比如思维导图或知识树）梳理出来。”邀请12名学生分享他们的知识结构图，重点强调“意义→探究→猜想→验证→法则”的探索路径。2.方法提炼：“解决‘分数除法怎么算’这个难题，我们最厉害的武器是什么？”（引导学生说出：回到除法定义、数形结合、从特殊归纳一般、猜想与验证、转化思想等）。“对，无论规则多奇怪，从意义出发，总能找到理解的根基。”3.作业布置与延伸：1.必做作业：完成练习册基础部分；用线段图说明“3÷3/4”的计算道理。2.选做作业：（1）生活调查：找一找生活中哪些地方可能用到分数除法，并编一道应用题。（2）数学阅读：了解历史上人们是如何逐步认识分数除法的。六、作业设计基础性作业：1.计算下列各题，并说说你的计算过程：7÷1/4，5/8÷10，2/3÷5/6。2.填空：()的2/5是12；8/9是2/3的()倍。3.判断：a是一个非零自然数，a÷1/3的结果一定大于a。（）拓展性作业：1.解决问题：一袋面粉重15千克，用去一部分后还剩3/5，用去了多少千克？（先画线段图分析，再列式解答）。2.小华在计算一个数除以3/4时，看成了乘3/4，结果得到了9/16。正确的结果应该是多少？探究性/创造性作业：设计一份“分数除法算理”的解说微视频（或图文海报），面向还不会的同学，用最直观、易懂的方式（必须用到图示）解释“为什么除以一个分数等于乘它的倒数”。可以选用12个例子进行说明。七、本节知识清单及拓展★1.除法意义的“包含除”模型：除法可以理解为求被除数中包含几个除数。这是理解分数除法算理的基石。例如，4÷1/2就是求4里面包含几个1/2。★2.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。这是分数除法的核心运算法则，适用于所有情况（整数、分数除以整数或分数）。★3.分数除以整数的算理：如5/6÷5，表示把5/6平均分成5份，求一份是多少。根据分数意义，即求5/6的1/5是多少，所以5/6÷5=5/6×1/5。★4.整数除以分数的算理：如4÷2/3，求4里面包含几个2/3。可以先求1里面包含几个2/3（即1÷2/3=3/2），所以4里面包含4×(3/2)个2/3。核心思路是“看‘1’里面包含几个除数”。★5.分数除以分数的算理：如3/4÷1/2，可用通分法：=(3/4)÷(2/4)=3÷2=3/2；或用商不变性质：被除数和除数同时乘2，=(3/4×2)÷(1/2×2)=(3/2)÷1=3/2，这直观展示了“乘倒数”的由来。▲6.数形结合在算理理解中的应用：线段图、面积图是解释分数除法算理的强大工具。通过画图，可以直观地“数”出包含的份数，实现从直观到抽象的过渡。▲7.“转化”与“化归”思想：将分数除法问题通过“乘以倒数”转化为分数乘法问题，是典型的“化未知为已知”的转化思想。探究过程中的通分、利用商不变性质也是转化思想的体现。▲8.猜想与验证的探究流程：观察特例（4÷1/2，4÷2/3）→提出猜想（可能是乘倒数）→举例验证（用分数÷分数验证）→得出结论。这是完整的数学探究过程。★9.计算步骤口诀：“一‘变’（÷变×）、二‘倒’（除数变倒数）、三‘算’（按乘法算）、四‘约’（要约分）、五‘简’（结果要最简）”。★10.易错点警示：①遗忘“0除外”的条件；②倒数找错，特别是整数的倒数是1/整数，带分数需先化为假分数；③转化后按乘法计算时，是分子与分母交叉约分，而非只约一个分数的分子分母；④结果是假分数一般要化为带分数（除非题目允许或作为中间步骤）。八、教学反思  本次教学设计尝试将结构化的教学模型、差异化的学生关照与素养导向的目标统领进行深度融合。从假设的实施效果看，教学目标基本达成。大多数学生能通过探究活动归纳出法则，并能用“包含除”模型或图示解释简单情境下的算理，当堂巩固训练的基础层正确率预计可达85%以上。（一）环节有效性评估：导入环节的“分彩带”问题成功制造了认知冲突，激发了探究欲。“算理侦探”的角色设定贯穿始终，使学习过程具有代入感。新授的五个任务环环相扣：任务一统一意义模型是关键铺垫，部分对“包含除”不敏感的学生在此处可能需要更多实例对比；任务二的动手操作是亮点，学生通过画、数、算，获得了深刻的直观体验，是算理理解的坚实基础；任务三的观察归纳，学生表现出较强的发现规律能力；任务四的验证是思维爬坡点，B组学生能顺畅运用“通分”或“商不变性质”推理，A组学生在图示和教师引导下也能理解；任务五的法则总结水到