基于数学模型思想建构的专题探究：一次函数背景下的线段最值问题

基于数学模型思想建构的专题探究：一次函数背景下的线段最值问题一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课隶属于“函数”主题，是“一次函数”单元的高阶综合与拓展。其知识技能图谱清晰：学生需在熟练掌握一次函数图象与性质、平面直角坐标系、两点间距离公式（或勾股定理）的基础上，综合运用这些工具解决几何图形中的线段长度最值问题。这一内容处于知识链的汇合点，向上承接着函数作为研究变化规律的模型本质，向下则为未来学习二次函数最值、动态几何问题奠定了重要的思想方法基础。过程方法上，本课是践行“数学建模”与“数形结合”思想的绝佳载体。核心路径在于引导学生经历“几何问题代数化”的完整过程：即从几何图形中识别变量与不变量，建立线段长度关于动点坐标的函数模型，再利用函数性质求解最值，最后回归几何意义进行解释。这一探究过程本身，就是对学生逻辑推理、数学抽象和数学运算素养的深度锤炼。素养价值渗透方面，通过解决具有挑战性的最值问题，不仅能培养学生面对复杂问题时的结构化思考习惯与优化意识，更能让其深刻体会数学内部代数与几何两大分支的统一性与工具性，领悟数学模型在探究世界规律中的强大力量。

学情研判是实施有效教学的前提。八年级学生已具备一次函数的相关知识储备，并能进行简单的坐标计算，但将动态几何问题主动转化为函数问题寻求解决方案的意识和能力普遍薄弱。常见障碍在于：一是难以从复杂图形中抽象出关键变量（动点坐标）并建立函数关系，即“建模”之困；二是对“最值”的几何意义理解不深，容易陷入纯代数运算而迷失方向。因此，教学需铺设坚实的认知阶梯。过程中，我将通过一系列递进性的探究任务，辅以几何画板的动态演示，让抽象的“动点”和“变化过程”直观化。通过观察学生在任务单上的尝试、倾听小组讨论中的观点交锋、分析随堂练习的典型解法，我能动态把握其思维卡点。基于此，教学调适应体现差异化：对于基础薄弱的学生，提供“问题拆解清单”和关键步骤提示，引导其先完成模型建构中的单个环节；对于学有余力的学生，则鼓励其探究不同转化路径的优劣，并尝试推广模型，解决更复杂的变式问题，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成长。二、教学目标

知识目标：学生能够系统地理解并阐述解决“一次函数背景下线段最值问题”的通用思维框架——“建系、设点、表长、建模、求解”。能准确识别问题中的固定点、动点及其运动轨迹（一次函数图象），并熟练选用两点间距离公式或构造直角三角形的方式，将目标线段长度表达为关于一个变量的二次根式函数，进而通过分析函数特性或巧用几何变换（如轴对称）求得最值。

能力目标：在具体的问题情境中，学生能够独立或通过协作，完成从几何图形到函数模型的转化过程，展现出清晰的数形结合思维链条。他们能够规范地进行代数运算与推理，并最终用准确的数学语言解释所得最值的几何意义。例如，能够说明“为何此时线段最短”，并可能联想到“垂线段最短”或“两点之间线段最短”等基本几何事实。

情感态度与价值观目标：在挑战综合性问题的过程中，学生能保持积极探究的韧性和严谨求实的科学态度。在小组合作学习中，能认真倾听同伴的不同解题思路，尊重并理性评估每一种方案的价值，体验数学探究中合作与思辨的乐趣，增强战胜复杂问题的自信心。

学科思维目标：本节课重点发展的学科思维是模型思想与转化思想。学生将通过系列任务，亲历“实际问题→几何问题→代数模型→求解验证”的数学建模全过程，并深刻体会如何将陌生的、复杂的几何最值问题，通过建立坐标系这一桥梁，转化为熟悉的函数问题来处理，从而强化“转化与化归”这一核心数学思维方式。

评价与元认知目标：在课堂小结与练习讲评环节，引导学生依据“模型构建的完整性”、“解题过程的逻辑性”、“结果解释的合理性”等维度，对解题方案进行互评与自评。鼓励学生反思在问题解决过程中遇到的困难及采用的突破策略，例如，“我当时卡在哪个环节了？是没想到设坐标，还是不会表示那段长度？”从而提升其对自身学习过程的监控与调节能力。三、教学重点与难点

教学重点：建立求解此类问题的普适性分析框架与策略，即“几何条件代数化”的建模过程。具体表现为：引导学生掌握如何将目标线段长度表示为关于动点横坐标（或纵坐标）的函数解析式。确立此为重点，源于其对《课程标准》中“模型观念”与“几何直观”素养要求的直接回应，也是因为该策略是解决整个函数与几何综合应用领域的枢纽性方法。从中考命题趋势看，此类融合坐标、函数、几何最值的问题一直是考查学生综合能力的高频考点，其价值不仅在于知识本身，更在于所承载的数学思想方法。

教学难点：在于如何引导学生自主发现并成功实施“转化”策略，尤其是当目标线段并非直接连接两个已知点或动点，其长度无法直接用公式表示时（即所谓的“不对称”线段），如何通过作辅助线（如垂线段）将其转化为可求的对称线段。难点成因在于这需要学生克服静态看图形的惯性，动态地分析元素间关系，并灵活运用轴对称、全等等几何知识进行等量转化，思维跨度大、综合性强。预设依据来自以往学生作业和测试中的典型错误，常见为无法建立起长度与坐标间的函数关系，或表达式过于复杂难以处理。突破方向在于设计层层递进的探究任务，借助信息技术实现动态可视化，降低抽象难度，让学生在“做数学”中自己发现转化的契机。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式白板课件，内含“将军饮马”动态几何模型、系列探究问题的动画演示；几何画板软件，用于实时展示动点运动过程中线段长度的变化趋势及函数图象生成。1.2学习材料：分层设计的《探究学习任务单》（包含引导性问题、作图区、记录表）；当堂巩固练习卷（分A、B、C三层）。2.学生准备2.1知识回顾：复习一次函数图象性质、两点间距离公式；预习课本相关章节，思考“如何在坐标系中求一条线段的长度”。2.2学具：坐标纸、直尺、圆规、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：4人异质小组围坐，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：同学们，还记得我们古代那个经典的“将军饮马”问题吗？一位将军从营地A出发，去河边（直线l）饮马，然后返回营地B，怎样走路径最短？这是一个纯粹的几何问题。现在，老师给它披上一件“函数的外衣”——我们把这片草地放在平面直角坐标系里，河是一条我们知道解析式的直线，比如y=2x+1。营地A和B也变成了两个具体的坐标点。好，问题升级了：“将军”变成了一个动点P，它在这条直线y=2x+1上运动，请问：当P运动到什么位置时，PA+PB的和最小？你看，我们把一个动点放在函数图象上，去求两条线段和的最小值。这和以前的问题，感觉上有什么不同？1.1提出核心问题与路径明晰：感觉更“活”了，也好像更复杂了，对吗？因为动点P被函数关系“管着”了。这就是我们今天要携手攻克的堡垒——一次函数背景下的线段最值问题。我们这节课的探索路线很清晰：第一步，我们要学会“翻译”，把几何图形里的条件和问题，用坐标系和函数的语言重新表述；第二步，我们要找到“工具”，建立起我们关心的那个量（比如线段和）与动点坐标之间的函数关系，这就是建模；第三步，我们运用函数的“眼睛”去寻找那个最优解。准备好了吗？让我们开始这次建模之旅。第二、新授环节任务一：从“几何地标”到“坐标点”——建立坐标系模型教师活动：首先，我们在坐标系中具体化这个问题。请同学们在任务单的坐标系中，画出直线y=2x+1，并标出两个定点A(1，2)和B(4，3)。现在，动点P在直线上，它的坐标可以怎么表示呢？这是个关键。大家想想，P在直线y=2x+1上，如果我知道它的横坐标是t，那么它的纵坐标是多少？没错，就是2t+1。所以，我们可以设P点的坐标为(t,2t+1)。看，我们用一个字母t，就抓住了这个在直线上“跑来跑去”的动点。接下来，我们的目标是求PA+PB的最小值。那么，请先尝试用含有t的式子，分别表示出线段PA和PB的长度。给大家3分钟独立思考并书写。学生活动：学生在坐标纸上作图，理解点P坐标的参数化表示方法。尝试利用两点间距离公式，写出PA=√[(t1)²+(2t+12)²]，PB=√[(t4)²+(2t+13)²]。部分学生可能会因公式复杂而产生畏难情绪。即时评价标准：1.能否正确设定动点P的参数坐标。2.能否准确代入两点间距离公式，得出关于t的表达式（允许未化简）。3.在遇到复杂表达式时，是选择继续探索还是停滞放弃，观察其面对困难的态度。形成知识、思维、方法清单：★核心步骤1：参数设点。当动点在一次函数图象y=kx+b上运动时，可设其坐标为(x0,kx0+b)。更一般地，设横坐标为参数t，则坐标为(t,kt+b)。这是将动态几何问题代数化的第一步。教学提示：“设元”是代数方法的起点，要鼓励学生大胆设未知数。▲关键意识：坐标化。将图形中的点（无论固定还是运动）置于坐标系下，赋予其坐标，是沟通几何与代数的桥梁。●易错点提醒：代入距离公式时，对应坐标相减需仔细，特别是纵坐标的代数运算，如(2t+12)应化简为(2t1)。任务二：直面复杂与寻求简化——审视直接建模的困境教师活动：我看到很多同学都写出了PA和PB的表达式，它们都是根号下关于t的二次函数。把它们加起来，我们的目标函数S=PA+PB就是一个非常复杂的根式之和。大家直观感觉一下，直接对这个S关于t的函数求最小值，好求吗？感觉有点麻烦，对吧？这就像我们要打开一把锁，手里的工具不太称手。那么，我们能不能换个思路？同学们，在纯粹的“将军饮马”几何问题里，我们是怎么解决PA+PB最小值的？对了，作对称点！利用的是“两点之间，线段最短”。那么，在我们这个坐标化的模型里，这个经典的几何智慧还能不能派上用场呢？请大家在坐标系中，尝试作出点B关于直线y=2x+1的对称点B‘。思考一下，如果找到了B’，那么PA+PB和谁的长度是相等的？学生活动：回顾几何模型，尝试在坐标纸上作出对称点B‘。部分学生能回想起轴对称性质，意识到在直线同侧时，可通过对称转化为异侧问题。通过作图或思考，发现PA+PB=PA+PB‘，而A、B’为定点，根据两点之间线段最短，当P运动到线段AB‘与直线l的交点时，PA+PB’（即PA+PB）最小。即时评价标准：1.能否主动联系已学的几何模型（将军饮马）。2.能否理解对称转化在代数上的等价性：PA+PB=PA+PB‘。3.作对称点的作图是否规范、准确。形成知识、思维、方法清单：★核心思想：数形结合，以形助数。当直接代数建模导致表达式过于复杂、难以处理时，应立刻回头审视问题的几何背景，从几何图形本身的性质中寻找简化问题的突破口。这是解决数学问题的顶级策略。★核心方法2：对称转化（化折为直）。对于“两定一动”型线段和最小值问题，通过作其中一定点关于动点所在直线（对称轴）的对称点，将折线路径和转化为两点间的直线距离。此方法在坐标系中依然成立且威力巨大。●思维拐点提示：“这条路走不通时，别硬闯，回头看看有没有更近的路。”引导学生建立解题策略的元认知：方法优劣比较与选择。任务三：从“几何操作”回归“代数计算”——完成模型的求解教师活动：非常好！通过几何变换，我们把求复杂函数S的最小值，转化为了一个更明确的问题：求线段AB‘的长度，以及找到AB’与直线l的交点P的坐标。那么，现在的工作就变成了纯粹的代数计算了。第一个子任务：如何求出对称点B‘的坐标？我们知道直线是y=2x+1。求点关于直线的对称点坐标，关键抓住哪两个条件？对，一是BB’的中点在这条直线上，二是BB‘垂直于这条直线。请大家以小组为单位，根据这两个条件，列出方程组，求出B’的坐标。我请一个小组到黑板上展示他们的计算过程。学生活动：小组合作，利用中点坐标公式和垂直直线斜率乘积为1的关系，建立关于B‘坐标(x’,y‘)的方程组。例如，设B(4，3)，B’(x‘，y’)，则有：中点((4+x‘)/2，(3+y’)/2)满足y=2x+1；且BB‘斜率(y’3)/(x‘4)与直线斜率2满足乘积为1。联立求解。计算完成后，利用两点式求出直线AB’的方程，再与直线y=2x+1联立，解出交点P的坐标。最后计算AB‘的长度，即为所求最小值。即时评价标准：1.能否正确列出关于对称点坐标的方程组。2.方程组求解过程是否清晰、准确。3.能否顺利完成后续的交点坐标与距离计算。形成知识、思维、方法清单：★核心技能：对称点的坐标求解。设对称点坐标，利用“中点在对称轴上”和“连线与对称轴垂直”两个条件建立方程组，是解决此类问题的通用代数方法。必须熟练掌握。●计算要点：垂直条件转化为斜率乘积为1时，注意分母不为零的情况。求解方程组需细致。★完整逻辑链闭合：几何转化（对称）→代数计算（求对称点、求交点、求距离）→得到几何最值。体现了从几何出发，借助代数工具，最终回归几何结论的完整思维闭环。任务四：模型拓展与变式思考——不对称线段的转化教师活动：刚才我们解决的是“两定一动”求线段和的最小值。现在问题再变一变：如果动点P仍然在直线y=2x+1上，但我们现在只关心线段PA本身的长度何时最小？大家思考一下，PA什么时候最短？有同学脱口而出了：垂线段最短那么，在坐标系中，我们如何找到点A到直线y=2x+1的垂足P呢？这又需要我们进行代数建模。请大家思考，这一次，我们能否直接建立一个关于PA长度的函数，并求其最小值？试试看。学生活动：学生尝试直接建模：设P(t，2t+1)，则PA²=(t1)²+(2t+12)²=(t1)²+(2t1)²。这是一个关于t的二次函数。通过展开、配方或利用二次函数顶点公式，可以求出当t取何值时，PA²（从而PA）取得最小值。学生计算后发现，这种方法比对称转化更直接，因为目标函数是单一的二次式，求最值非常方便。教师活动：（追问）那么，通过函数求出的使PA最小的t值，其几何意义是什么？我们能否用学过的“点到直线的距离公式”来验证这个结果？请大家用两种方法计算点A到直线y=2x+1的距离，看看是否一致。形成知识、思维、方法清单：★核心方法3：直接函数建模法。对于单一目标线段的最值问题（如求一动点到一定点的最短距离），直接设点坐标，利用距离公式建立关于参数的二次函数（通常是PA²的形式），通过求二次函数最值来解决，往往是更简洁、更通用的代数方法。★核心方法4：几何法（垂线段最短）与代数工具（点到直线距离公式）的互证。引导学生比较两种方法的结果，深刻理解不同数学工具（函数最值、距离公式）的内在一致性，加深对“数形统一”的认识。●方法选择策略：面对不同结构的最值问题（和的最值、单一线段的最值），需灵活选择最优解题策略。对称转化擅长处理“折线和”，直接建模擅长处理“单线段距离”。任务五：策略归纳与模型升华教师活动：经历了以上几个问题的探索，我们来一起梳理一下。解决“一次函数背景下的线段最值问题”，我们的武器库现在有哪些装备？大家小组讨论一下，然后我们共同完成一个策略流程图。学生活动：小组讨论，归纳出主要步骤：1.坐标化与参数设点。2.分析目标（是线段和、差还是单一线段长）。3.选择策略：若为“两定一动”线段和/差最值，优先考虑几何对称转化；若为单一线段最值，可考虑直接建立二次函数模型。4.执行计算。5.解释结果的几何意义。形成知识、思维、方法清单：★高阶思维：模型选择与决策。解题不是套用固定程式，而是基于对问题结构的分析（目标是什么？图形有何特征？），在多种可用方法（对称转化、直接建模、甚至其他几何变换）中作出明智选择的能力。这是数学核心素养的关键体现。★元认知清单：引导学生形成自我提问习惯：“这个问题属于哪种类型？”“直接建模表达式会不会很复杂？”“图形有没有特殊的对称性？”“哪种方法可能更简便？”▲思想升华：本节课的本质，是教授学生如何运用坐标系和函数，为动态几何问题配备一套强大的“代数导航系统”。通过建模，将“哪里最短”的几何追问，转化为“函数何时取最值”的代数计算，展现了数学的理性力量与结构之美。第三、当堂巩固训练

现在，请大家拿出分层练习卷，根据自己的情况，选择完成至少两个层次的题目。我们留出15分钟。基础层（必做）：1.已知点A(0，1)，点B是x轴上的动点，求线段AB的最小值。2.点P在直线y=x2上，定点A(1，0)，B(3，2)，求PA+PB的最小值。（设计意图：第1题直接应用“垂线段最短”模型，第2题直接套用“将军饮马”模型，巩固核心方法。）综合层（鼓励完成）：3.点P在直线y=x+4上，定点A(2，1)，求△OPA的周长的最小值（O为坐标原点）。（设计意图：需要将周长和转化为线段和，并识别出需要作两次对称还是转化到异侧，是核心模型的综合应用。）挑战层（学有余力选做）：4.在直线y=2x上找一点P，在x轴上找一点Q，使得四边形APQB的周长最小（A，B为已知定点）。请描述你的解题思路。（设计意图：涉及两个动点，需要更复杂的模型转化与策略分析，极具挑战性，培养顶尖学生的探究与规划能力。）反馈机制：学生独立完成后，先进行小组内互评，重点交流不同层次的解题思路。教师巡视，收集共性问题和精彩解法。随后，针对共性问题进行集中点评，并请有独特解法的学生上台分享。特别强调对“选择何种模型及为何这样选择”的思考过程的阐述。第四、课堂小结

同学们，今天我们完成了一次深刻的数学建模探险。谁能用一句话概括我们探险的核心收获？……是的，我们学会了为运动的点配上坐标的“追踪器”，然后根据问题特征，灵活选择“对称转化”或“函数建模”的策略，最终用计算找到那个最优解。这背后贯穿始终的，是数形结合的思想。请大家在任务单的背面，尝试画一个简单的思维导图，梳理一下我们今天探索的路径和收获的方法。最后布置作业：必做题：整理课堂探究任务一至任务三的完整解题过程。选做题：1.深入思考巩固训练中的挑战题，尝试写出详细解答。2.自编一道一次函数背景下的线段最值问题，并给出解答。下节课，我们将有机会展示大家的自编题目。好，这节课就到这里，感谢大家的深度思考与积极合作！六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.已知点M(3，1)，直线l：y=x，点N是l上的动点，求线段MN长度的最小值，并求出此时点N的坐标。2.在平面直角坐标系中，点A(1，2)，点B(2，3)，点P在x轴上，求PA+PB的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标。拓展性作业（大多数学生可完成）：3.（情境应用题）如图，在一条笔直的公路（可视为x轴）同侧有两个村庄A、B，其坐标分别为(1，2)和(4，1)。现要在公路边修建一个公交站P，使得P到两村庄的距离之和最小。请建立坐标系，求出公交站P的最佳位置坐标。4.点P在直线y=2x1上运动，点A的坐标为(0，2)。求使得△OPA为等腰三角形的点P的坐标。（提示：需分类讨论，并涉及距离公式）探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.探究：对于一次函数y=kx+b（k≠0）图象上的动点P，和两个定点A、B，在什么条件下，PA+PB的最小值问题采用对称转化法求出的P点坐标，与采用直接建立PA+PB函数求导（或其它代数方法）求出的结果必然一致？请尝试论证你的猜想。6.请以“一次函数与最短路径”为主题，设计一张包含至少3个不同类型例题（如：一点到直线最短、两点到直线同一点最短、一点分别到两直线上一动点的距离和最短等）并附有详解的数学小报。七、本节知识清单及拓展★01.动点坐标的参数化表示：若动点P在已知解析式为y=kx+b的直线上运动，可设其横坐标为参数t，则其坐标为P(t，kt+b)。这是联系几何运动与代数分析的桥梁。★02.两点间距离公式：在平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=√[(x1x2)²+(y1y2)²]。求线段长的代数基础。★03.“将军饮马”模型（轴对称转化）：用于解决“两定一动”型线段和最小值问题。核心操作：作其中一个定点关于动点所在直线（对称轴）的对称点，将折线路径和转化为两点之间直线段距离。▲04.对称点坐标求法：设点B关于直线l：y=kx+b的对称点为B‘(x’，y‘)。利用两个条件列方程组：①BB’中点坐标满足直线l方程；②直线BB‘与l垂直，即斜率乘积k_BB‘k=1（当k存在时）。★05.垂线段最短（点到直线距离）：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。在坐标系中，可通过直接建模（求二次函数最值）或使用点到直线距离公式d=|kx0y0+b|/√(k²+1)求解。★06.直接函数建模法：设出动点坐标，将目标线段长度（或其平方）表示为关于参数的函数，通过研究函数性质（如二次函数的顶点）求最值。适用于单一线段最值问题。●07.易错点：复杂表达式下的策略选择：当直接建模所得函数表达式过于复杂时，不应硬算，应反思是否可利用图形几何性质（如对称性）进行转化简化。▲08.数形结合思想的本课体现：“形”提供了问题原型与转化灵感（如对称），“数”提供了精确计算与模型构建的工具。二者相辅相成，缺一不可。★09.数学建模的一般流程（本课缩影）：1.理解几何问题（识别动点、定点、目标量）。2.建立坐标系，代数化（设坐标）。3.建立目标量的函数模型。4.求解模型（代数运算或结合几何转化）。5.回归几何解释。●10.分类讨论意识的渗透：在拓展问题中（如等腰三角形存在性问题），需根据不同的相等情况（如PA=PO，PA=AO，PO=AO）进行分类建模与求解。▲11.学科关联：此问题模型在物理学（光线的反射路径最短原理）、工程学（最优选址）等领域有直接应用，体现了数学作为基础工具学科的广泛应用价值。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析。从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立完成基础层题目，正确应用对称转化或直接建模法。约60%的学生能挑战综合层题目，表明多数学生已初步掌握核心策略。挑战层题目仅有少数学生能给出完整思路，这与预设相符，体现了分层的必要性。知识目标基本达成，学生能清晰复述解题步骤。能力目标方面，学生在任务三的小组合作计算中展现了良好的代数运算与协作能力，但在任务四、五的策略选择讨论中，仍可见部分学生存在思维定式，倾向于记住“题型”而非分析“结构”，这提示我在后续教学中需加强“为何选择此方法”的追问。

（二）核心环节有效性评估。导入环节的“坐标化将军饮马”成功制造了认知冲突，激发了探究欲。新授环节的五个任务构成了有效的认知阶梯：任务一、二暴露了直接代数法的繁琐，自然地“逼出”了几何转化的需求；任务三将几何操作落实为代数计算，实现了“数形互助”；任务四提供了另一种模型（直接法）进行对比；任务五的策略归纳至关重要，帮助学生从具体问题中“跳出来”，形成方法论的认知。这个设计基本实现了“支架式教学”的理念，层层递进，将难点拆解。然而，在任务二的“寻求简化”环节，部分思维活跃的学生可能更早想到对称，而另一部分学生则仍在代数式里挣扎。如何更好地设计问题，让不同起点的学生都能经历这个“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的思维转折点，是值得进一步研磨的。

（三）对不同层次学