河南省南阳市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

2025年秋期高中二年级期终质量评估数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（）A.0 B. C. D.不存在2.设，，，，且，，则（）A. B. C.3 D.43.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（

）（）A.50天 B.61天 C.86天 D.88天4.若圆与圆有且仅有三条公切线，则（）A.6 B.4 C.36 D.165.如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（）A. B. C. D.6.抛物线的焦点为为抛物线上一点，点满足，则直线（为坐标原点）斜率的取值范围为（）A. B. C. D.7.将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（）A.26种 B.36种 C.38种 D.50种8.为双曲线的右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.二项式系数最大项是第4项C.展开式的常数项为540 D.展开式含有10.下列说法中正确的是（）A.从一批含有10件正品、4件次品产品中任取3件，则取得2件次品的概率是B.已知随机变量服从二项分布，若，则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.已知随机事件A，B满足，则11.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，为线段上的一个动点，设由点、、构成的平面为．则下列结论中，正确的是（）A.当为的中点时，平面截正方体所得的截面为五边形B.平面截正方体所得的截面可能是三角形C.当点与重合时，平面截正方体，所得截面的面积为D.点到平面的距离的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是两两垂直的单位向量，则________________．13.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为_____________．14.若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知圆的圆心在直线上，且经过．（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线与圆的另一个交点记为，求的面积最大时直线的方程．16.有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．17.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1).（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；（3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X).18.如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，．（1）求证：平面；（2）求与平面夹角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.过平面内的动点分别作直线和的垂线，交轴于两点，若（为坐标原点）．（1）求动点的轨迹的方程；（2）曲线，直线与和的交点从左到右依次为．①证明：；②若，求最小值．2025年秋期高中二年级期终质量评估数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（）A.0 B. C. D.不存在【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义:轴正方向与直线向上的方向之间所成的角，我们规定：当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0，可得答案.【详解】因为轴是水平的直线，所以其倾斜角为0，故选：A．2.设，，，，且，，则（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案.【详解】因为，则，解得，则因为，则，解得，则，则，则.故选：C.3.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（

）（）A.50天 B.61天 C.86天 D.88天【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可.【详解】由，因为，所以，即，所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为：，故选：B4.若圆与圆有且仅有三条公切线，则（）A.6 B.4 C.36 D.16【答案】D【解析】分析】由圆与圆有且仅有三条公切线，得到圆与圆外切，则有，计算求解即可.【详解】，圆的半径为，，圆的半径为，圆与圆有且仅有三条公切线，圆与圆外切，，，.故选：D.5.如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，则，电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，所以整个电路不发生故障的概率为.故选：C.6.抛物线的焦点为为抛物线上一点，点满足，则直线（为坐标原点）斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由可得到点的坐标，进而可得的表达式，对进行讨论即可.【详解】由题知，设，由得，∴，解得，∴，当时，；当时，（当且仅当时等号成立），又当时，∴；当时，（当且仅当时等号成立），又当时，∴.综上，直线（为坐标原点）斜率的取值范围为，故选：B．7.将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（）A.26种 B.36种 C.38种 D.50种【答案】D【解析】【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可.【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室，且每个实验室至少1人，分配方案有种；当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法，再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法，故共有种；当1号实验室有3人时，分配方案有种；可得不同的分配方案共有种．故答案为：508.为双曲线的右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由题知，，设双曲线的左焦点为，连接，则，在中，由余弦定理化简可得，即可求解．【详解】因为，，，所以，设双曲线的左焦点为，连接，则，所以在中，，由余弦定理得，，整理得，即，得．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项C.展开式的常数项为540 D.展开式含有【答案】BC【解析】【分析】由二项式的展开式中各项系数之和是，求出，得到二项展开式的通项公式，逐项判断即可.【详解】由于二项式的展开式中各项系数之和是，所以令，则，所以，所以二项式，所以展开后有项，故A错误；二项式系数最大的项是第4项，故B正确；二项式展开式的通项公式为，所以当时，常数项为，故C正确；当时，解得不是整数，所以展开式不含有项，故D错误.故选：BC10.下列说法中正确的是（）A.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是B.已知随机变量服从二项分布，若，则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.已知随机事件A，B满足，则【答案】BD【解析】【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解.【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误；对于B，，，解得，故B正确；对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误；对于D，，，所以，故D正确.故选：BD.11.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，为线段上的一个动点，设由点、、构成的平面为．则下列结论中，正确的是（）A.当为的中点时，平面截正方体所得的截面为五边形B.平面截正方体所得的截面可能是三角形C.当点与重合时，平面截正方体，所得截面的面积为D.点到平面的距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】作出截面，可判断AB选项；作出截面，可知截面为菱形，求出其面积，可判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示：延长交的延长线于点，连接交线段于点，延长交的延长线于点，连接交线段于点，连接、，则平面截正方体所得的截面为五边形，A对；对于B选项，当点在线段上运动时（不与端点重合），此时平面截正方体所得的截面为五边形；当点与点重合时，连接交线段于点，连接、，如下图所示：此时，平面截正方体所得的截面为四边形；当点与点重合时，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，此时平面截正方体所得的截面为四边形，综上所述，平面截正方体所得的截面不可能为三角形，B错；对于C选项，当点与点重合时，此时截面为四边形，如下图所示：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可证，又因为，同理可得，故四边形为菱形，设，则为的中点，且，且，故，故，所以截面面积为，C对；对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，，设点的坐标为，，，，则设平面的法向量为，则，令，可得，，则，设点到平面的距离为，则，由在时单调递增可知，当时，，所以当时，取最大值，最大值，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是两两垂直的单位向量，则________________．【答案】3【解析】【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可【详解】解：因为是两两垂直的单位向量，所以，所以故答案为：3．13.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为_____________．【答案】##【解析】【分析】掷出骰子，奇数点向上与偶数点向上的概率均为，第一次向左移动位于，且后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次才能保证第五次位于1，根据独立重复试验的概率公式求解即可.【详解】掷出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；第一次掷完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1，则后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次，故其概率为．故答案为.14.若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________________．【答案】【解析】【分析】令得，分析可知曲线表示双曲线的上支，则直线与双曲线的上支有两个不同的交点，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.详解】令得，设，即，故曲线表示双曲线的上支，联立可得，由题意可知直线与双曲线的上支有两个不同的交点，设这两个交点的纵坐标分别为、，且，，所以，可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知圆的圆心在直线上，且经过．（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线与圆的另一个交点记为，求的面积最大时直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，根据解得，可得圆心和半径，即可得圆的方程；（2）根据三角形面积公式分析可知当的面积取到最大值时，圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为圆心在直线上，设圆心为，又因为，则，解得，可得圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.【小问2详解】因为的面积，当时，的面积取到最大值，此时圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，则圆心到直线的距离为2，不合题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得或，所以所求直线的方程为或.16.有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．【答案】（1）（2）该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大【解析】分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可；（2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可.【小问1详解】设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”，则，，可得，所以取到红球的概率为.【小问2详解】由条件概率知：，，，因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大．17.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1).（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；（3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X).【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3），.【解析】【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次投篮投中的概率都是，可求得所求概率；（2）由题意可知小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出每个所对应的概率，进而可列出分布列；（3）随机变量X~B(4，p)，，而由E(X)=1，可求出p=，进而可求出D(X)【详解】解：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A，事件A说明小明前两次未投中，第三次投中，所以P(A)=.故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为.（2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8.P(ξ=0)=，P(ξ=2)=，P(ξ=4)=，P(ξ=6)=，P(ξ=8)=.所以总得分ξ的分布列为ξ02468P所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×.（3）因为随机变量X~B(4，p)，所以E(X)=4p=1.所以p=.所以随机变量X的方差D(X)=np(1p)=4×.18.如图所示的几何体