陕西省商洛市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

陕西省商洛市2025—2026学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则实数x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.42.在等差数列中，，则（）A.9 B.14 C.7 D.53.已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（）A. B.C. D.4.在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（）A. B.9 C. D.35.已知F为抛物线焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（）A.6 B.5 C.4 D.6.已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（）A B. C. D.7.在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面距离为（）A. B. C. D.8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点在双曲线右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A. B.双曲线C的离心率C.双曲线C的渐近线方程为 D.点到C的渐近线的距离为10.已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点 B.圆心C到直线l距离的最大值是1C.直线l被圆C截得的最短弦长为 D.的取值范围为11.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值为B.直线与直线是异面直线C.点D到直线的距离为D.直线和直线夹角的余弦值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______.13.数列满足，，则_______.14.双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆M经过点，，.（1）求圆M的方程；（2）若直线与M交于P，Q两点，且，求k.16.已知数列中，，.（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，设数列的前n项和，证明：.17.已知抛物线（）上一点到其焦点F的距离为5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与C交于A，B两点，若，求直线l的方程.18.如图，在三棱柱中，平面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.19.已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点.陕西省商洛市2025—2026学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则实数x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由空间垂直向量的坐标表示求解即可.【详解】因为向量，，且，所以，解得：.故选：B.2.在等差数列中，，则（）A.9 B.14 C.7 D.5【答案】C【解析】【分析】由等差数列的下标和性质求解即可.【详解】由等差数列的性质可得：，解得：.故选：C.3.已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可.【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为，又直线l过点，，即.故选：A.4.在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（）A. B.9 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【详解】这5个数分别为，则，又这5个数成等比数列，，.故选：D.5.已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（）A.6 B.5 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义求解．【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6，所以点M到y轴的距离为.故选：C．6.已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切线长公式计算.【详解】由题意知，，半径，则.故选：A7.在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可.【详解】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，则，得，所以点C到平面的距离为，故选：D.8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意，利用，找到，的关系，再应用均值不等式求的最小值即可.【详解】设公共半焦距为，,，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，，由椭圆和双曲线定义可知，，，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以，即.所以（当且仅当，即时取等号）.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A. B.双曲线C的离心率C.双曲线C的渐近线方程为 D.点到C的渐近线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线方程确定、、，再根据双曲线的性质一一判断即可.【详解】双曲线，则、，所以；对于A：因为点在双曲线的右支上，所以，故A正确；对于B：双曲线C的离心率，故B正确；对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误；对于D：点，所以点到C的渐近线的距离，故D正确.故选：ABD10.已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点 B.圆心C到直线l距离的最大值是1C.直线l被圆C截得的最短弦长为 D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时圆心到直线的距离为取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆C截得的弦长最小值，可判断C选项；令，分析可得直线与圆相切时取得的最大值和最小值，即可求出取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，直线方程可化为，由可得，所以直线l过定点，A正确；对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点，当时，此时取最大值，即，故圆心到直线距离的最大值是，B错误；对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则，当取最大值，取最小值，则，故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确；对于D选项，令，则，圆心到直线的距离为，化简可得：，解得：，所以的取值范围为，故D正确.故选：ACD.11.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值为B.直线与直线是异面直线C.点D到直线的距离为D.直线和直线夹角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标.对于A，写出向量与平面的法向量，再利用向量夹角公式即可得解；对于B，，故四点共面，即可判断；对于C，利用点到直线距离的向量求法即可得解；对于D，写出，再运用向量夹角公式，即可得解.【详解】以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则对于A：，且易知在正方体中，平面，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则有，即直线与平面所成角的正弦值为，故A正确；对于B：，，故，所以四点共面，因此直线与直线不是异面直线，故B错误；对于C：，，故点到直线的距离，故C正确；对于D：，，设直线和直线的夹角为，则有，即直线和直线夹角的余弦值为，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______.【答案】7【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径即可.【详解】因为圆圆心为原点，半径为3，所以到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值为，故答案为：7.13.数列满足，，则_______.【答案】【解析】【分析】根据递推公式求出前5项，可发现数列为周期数列，结合数列周期求解即可.【详解】因为，，所以，，，，观察数列项的规律，可以发现数列是周期为4的数列：，所以.故答案为：.14.双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______.【答案】8【解析】【分析】由双曲线的性质即可求解.【详解】已知双曲线，可得：，设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为．所以，由题意知，共线，因为，所以，故路径长．故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆M经过点，，.（1）求圆M的方程；（2）若直线与M交于P，Q两点，且，求k.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设圆M方程为，将，，代入求出，即可得出圆M的方程.（2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得出答案.【小问1详解】设圆M方程为，则，圆M的方程为，或；【小问2详解】因为圆心到直线的距离为，由垂径定理，得，化简可得：，解得.16.已知数列中，，.（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，设数列的前n项和，证明：.【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过对递推式取倒数变形，证明数列是首项为、公差为的等差数列，进而求出；（2）先写出的表达式并裂项，再通过裂项相消求和得到​，最后根据的表达式证明.【小问1详解】证明：由得，所以，所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以；【小问2详解】因为，所以，所以.17.已知抛物线（）上一点到其焦点F的距离为5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与C交于A，B两点，若，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可求解；（2）设直线l方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可.【小问1详解】因为点到抛物线焦点F的距离为5，所以，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】因为抛物线焦点，所以设直线l方程为，，，由消去x，得，所以，，又由，得，所以，，所以，故直线l方程为，即或.18.如图，在三棱柱中，平面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断，再利用面面垂直的判定推理.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以C为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间坐标系.由，可设，，则，，，，，，，，所以.设平面的法向量为，由，所以取，设平面的法向量为，由，所以取，设二面角大小为，所以，故平面和平面夹角的余弦值为.19.已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的