云南省普洱市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

普洱市2025—2026学年高二年级上学期期末教学质量监测数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（）A. B.C. D.5.已知数列的前项和为，，，则A511 B.512 C.1023 D.10246已知抛物线与直线相切，则（）A. B. C. D.7.过点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.2 B. C. D.28.已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线：，则（）A.可能是椭圆 B.不可能是双曲线C.不可能是圆 D.可能是两条直线10.下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（）A. B.C. D.11.已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（）A.为等差数列 B.C.恒成立 D.数列的前项和小于1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，则的取值范围是________.13.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．14.如图，已知正方体棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）若，求的值；（2）计算的值.16.已知直线：与轴交于点，原点为.（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.17.已知正项数列的前项和满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18.如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形.（1）证明：；（2）求四棱锥的体积；（3）求直线到平面的距离.19.已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为．（1）求方程；（2）延长交于点，求线段长；（3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程．普洱市2025—2026学年高二年级上学期期末教学质量监测数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的直线方程，化为直线的斜截式方程，得出直线的斜率.【详解】由直线方程，可得所以直线的斜率.故选：A.2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数概念及复数运算逐项分析即可.【详解】选项A，由为实数，故A选项不正确；选项B，由为纯虚数，故B选项正确；选项C，由不是纯虚数，故C选项不正确；选项D，不是纯虚数，故D选项不正确.故选：B.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，即可根据选项逐一求解.【详解】，故，，，不是的子集，C正确，ABD错误.故选：C4.已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：．故选：D5.已知数列的前项和为，，，则A.511 B.512 C.1023 D.1024【答案】B【解析】【详解】∵，∴，∴是以1为首项，公比为2的等比数列．，故选B6已知抛物线与直线相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】抛物线方程与直线方程联立，令，即可得解.【详解】联立可得，由相切可得，由可知，即.故选：D.7.过点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得.【详解】圆化为标准方程为，则，半径，则，由切线定义可得，则四边形的面积可表示为，也可表示为，即有，故.故选：B.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得，由得，，然后由点到直线的距离为列式求得，即可得解.【详解】由题意，因为，所以，所以，又，所以，所以，化简得，所以，直线方程即，因为点到直线的距离为，所以，所以，所以，所以椭圆的方程为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线：，则（）A.可能是椭圆 B.不可能是双曲线C.不可能是圆 D.可能是两条直线【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆，双曲线及圆的标准方程，直线方程应用特殊值法判断各个选项.【详解】当，时，为椭圆，故A正确；当，时，为双曲线，故B错误；当时，为圆，故C错误；当，时，为两条直线，故D正确.故选：AD.10.下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断．【详解】在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误；在上单调递增，且是偶函数，故B正确；在上单调递减，是偶函数，故C错误；在上单调递增，是偶函数，故D正确.故选：BD.11.已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（）A.等差数列 B.C.恒成立 D.数列的前项和小于1【答案】ACD【解析】【分析】对于A项，方法1：运用与的关系求得的通项公式，再运用等差数列的定义判断A项即可，方法2：运用等差数列前n项和是关于n的常数项为0的二次函数或常函数可直接判断A项；对于B项，根据已知条件及是等差数列列方程组求解即可；对于C项，运用函数思想求得取得最小值；对于D项，运用裂项相消法求和即可.【详解】对于A项，方法1：∵∴①当时，，②当时，，③将代入得：，∴，∴与n无关，∴是等差数列，公差为，方法2：∵是关于n的二次函数且常数项为0，∴是等差数列，公差为，故A项正确；对于B项，由A项知，是等差数列，公差为，又∵，解得：，故B项不成立；对于C项，由B项知，，开口向上，对称轴为，∴当时，取得最小值，∴，故C项正确；对于D项，由B项知，，∴设的前n项和为，，故D项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由不等式的性质求解即可.【详解】由得，又，所以的取值范围是.故答案为：.13.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用离心率和双曲线的关系可构造方程求得的值，由此可得渐近线方程.【详解】双曲线的离心率，，解得：，双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.14.如图，已知正方体的棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________．【答案】【解析】【分析】将展开成平面图形，由此求得的最小值以及此时对应的的值.【详解】连接，根据正方体的性质可知，是全等的直角三角形，将展开成平面图形，连接，交于，则，则此时最小.，，则的最小值为，此时，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）若，求的值；（2）计算的值.【答案】（1）10；（2）2【解析】【分析】（1）根据题意可得，进而运算求解即可；（2）解法一：利用换底公式运算求解即可；解法二：根据结论运算求解.【详解】（1）因为，则，整理可得，解得；（2）解法一：；解法二：.16.已知直线：与轴交于点，原点为.（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先求出的值再确定直线的斜率再由点斜式写出直线的方程；（2）法一：先设出圆的标准方程利用待定系数法求出圆的标准方程，法二：根据圆的性质先确定圆心所在的位置求出圆心的横坐标，再设出圆的方程根据条件即可求出圆的标准方程.【小问1详解】把代入，得，所以直线的斜率，直线.因为，所以的斜率，所以的方程为，即.【小问2详解】法一：设圆的标准方程为（），由题意可得，解得或，所以圆的方程为或.法二：因为圆过原点，所以点在线段的垂直平分线上，设圆的方程为（），由圆过点，得，由圆与相切，得，即，整理得，解得或，当时，，当时，，所以圆的方程为或.17.已知正项数列的前项和满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式；（2）利用错位相减法计算可得结果.【小问1详解】对于正项数列，令得，解得，即可得，，两式相减得到，即，故，于是是常数列，可得，故．【小问2详解】由（1）可得，故，，两式相减得到18.如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形.（1）证明：；（2）求四棱锥的体积；（3）求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）192；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证.（2）利用锥体的体积公式求解即可.（3）证明平面，再利用等体积法求出距离.【小问1详解】圆锥中，正方形内接于圆O，则，，而平面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，所以.【小问2详解】由（1）得，由，得，正方形面积，而平面，所以四棱锥的体积为.【小问3详解】由正方形，得，而平面，平面，则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，在中，，则边上的高，的面积，由（2）得，又，因此，所以直线到平面的距离为.19.已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为．（1）求的方程；（2）延长交于点，求线段的长；（3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通过椭圆顶点、焦点的坐标关系，结合已知线段长度求出，得到椭圆方程；（2）求出直线的方