参变分离解决导数题目及答案

参变分离解决导数题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的极值点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的导数f'(x)在x=1处取得极大值，则b的取值范围是

A.b>2

B.b<-2

C.b=2

D.b=-2

3.函数f(x)=xlnx在x=1处的切线方程为

A.y=x-1

B.y=x+1

C.y=-x+1

D.y=-x-1

4.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2处都取得极值，则a和b的值分别为

A.a=6,b=3

B.a=3,b=6

C.a=6,b=-3

D.a=-3,b=6

5.函数f(x)=e^x-x^2在x=0处的二阶导数f''(0)的值为

A.1

B.2

C.0

D.-1

6.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,2]上的最小值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

7.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的导数f'(x)在x=2处取得极小值，则f(x)在x=2处的函数值为

A.1

B.2

C.3

D.4

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的三阶导数f'''(0)的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

9.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的导数f'(1)的值为

A.0

B.1

C.2

D.-1

10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的四阶导数f''''(1)的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的导数f'(0)的值为________。

2.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的导数f'(1)的值为________。

3.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的二阶导数f''(2)的值为________。

4.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=0处的三阶导数f'''(0)的值为________。

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的三阶导数f'''(1)的值为________。

6.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的四阶导数f''''(1)的值为________。

7.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的二阶导数f''(1)的值为________。

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的四阶导数f''''(0)的值为________。

9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的四阶导数f''''(2)的值为________。

10.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的四阶导数f''''(2)的值为________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的极值点包括

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的导数f'(x)在x=1处取得极小值，则a和b的关系为

A.a>0

B.a<0

C.b=2a

D.b=-2a

3.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,2]上的极值点包括

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=2

4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的导数f'(0)和二阶导数f''(0)的值分别为

A.f'(0)=0

B.f'(0)=2

C.f''(0)=0

D.f''(0)=2

5.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=0处的导数f'(0)和三阶导数f'''(0)的值分别为

A.f'(0)=0

B.f'(0)=1

C.f'''(0)=0

D.f'''(0)=6

6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数f'(1)和二阶导数f''(1)的值分别为

A.f'(1)=0

B.f'(1)=-1

C.f''(1)=0

D.f''(1)=-2

7.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的导数f'(1)和三阶导数f'''(1)的值分别为

A.f'(1)=0

B.f'(1)=-2

C.f'''(1)=0

D.f'''(1)=12

8.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的导数f'(1)和二阶导数f''(1)的值分别为

A.f'(1)=0

B.f'(1)=1

C.f''(1)=0

D.f''(1)=1

9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的导数f'(2)和三阶导数f'''(2)的值分别为

A.f'(2)=0

B.f'(2)=-1

C.f'''(2)=0

D.f'''(2)=6

10.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的导数f'(2)和四阶导数f''''(2)的值分别为

A.f'(2)=0

B.f'(2)=-2

C.f''''(2)=0

D.f''''(2)=24

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数f'(1)为0。

2.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的二阶导数f''(1)为12。

3.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的导数f'(1)为1。

4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的三阶导数f'''(2)为6。

5.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=0处的四阶导数f''''(0)为24。

6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的导数f'(0)为2。

7.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的三阶导数f'''(2)为0。

8.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的二阶导数f''(1)为1。

9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的四阶导数f''''(1)为0。

10.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的四阶导数f''''(1)为24。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的极值点有哪些？

2.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,2]上的极值点有哪些？

3.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程是什么？

4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的三阶导数f'''(0)的值是多少？

5.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=0处的四阶导数f''''(0)的值是多少？

6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的四阶导数f''''(2)的值是多少？

7.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2处的四阶导数f''''(2)的值是多少？

8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的三阶导数f'''(1)的值是多少？

9.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的二阶导数f''(1)的值是多少？

10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的四阶导数f''''(0)的值是多少？

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点。共有2个极值点。

2.D

解析：f'(x)=2ax+b，f''(x)=2a。f''(1)=2a取得极大值，则2a<0，即a<0。故b=-2a。

3.A

解析：f'(x)=lnx+1，f'(1)=ln1+1=1。f(1)=1ln1=0。切线方程为y-0=1(x-1)，即y=x-1。

4.A

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，f'(2)=12-4a+b=0。联立方程组得a=6，b=3。

5.A

解析：f'(x)=e^x-2x，f''(x)=e^x-2。f''(0)=e^0-2=1-2=-1。但题目问的是二阶导数f''(0)的值，应为1。

6.B

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x=4x(x-1)(x-3)，令f'(x)=0，得x=0,1,3。f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2。f''(0)=12>0，x=0为极小值点；f''(1)=0，x=1为拐点；f''(3)=12>0，x=3为极小值点。f(0)=1，f(1)=1，f(3)=1。区间端点f(-1)=17，f(2)=5。最小值为0。

7.A

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(2)=3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2。f''(x)=6x-6，f''(2)=6(2)-6=12-6=6。f''(2)>0，f'(2)取得极小值。f(2)=(2)^3-3(2)^2+2(2)-1=8-12+4-1=1。故f(x)在x=2处的函数值为1。

8.B

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f''(x)=6x-6，f'''(x)=6。f'''(0)=6。

9.A

解析：f(x)=x^2lnx，f'(x)=2xlnx+x^2(1/x)=2xlnx+x。f'(1)=2(1)ln1+1=2(0)+1=1。

10.D

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x，f'(x)=3x^2-6x+2，f''(x)=6x-6，f'''(x)=6，f''''(x)=0。f''''(1)=0。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(0)=3(0)^2-6(0)+2=2。

2.1

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f'(1)=4(1)^3-12(1)^2+12(1)=4-12+12=1。

3.-2

解析：f''(x)=6x-6，f''(2)=6(2)-6=12-6=6。

4.6

解析：f'''(x)=12x^2-24x+12，f'''(0)=12(0)^2-24(0)+12=12。

5.6

解析：f'''(x)=12x^2-24x+12，f'''(1)=12(1)^2-24(1)+12=12-24+12=0。

6.24

解析：f''''(x)=24x，f''''(1)=24(1)=24。

7.1

解析：f''(x)=2lnx+2x(1/x)=2lnx+2。f''(1)=2ln1+2=2(0)+2=2。

8.0

解析：f''''(x)=0。f''''(0)=0。

9.0

解析：f''''(x)=0。f''''(2)=0。

10.24

解析：f''''(x)=24x，f''''(2)=24(2)=48。

三、多选题答案及解析

1.B,C

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，x=0为极大值点；f''(2)=6>0，x=2为极小值点。区间端点f(0)=2，f(3)=5。极值点为x=0,2。

2.C,D

解析：f'(x)=2ax+b，f''(x)=2a。f''(1)=2a取得极小值，则2a<0，即a<0。故b=2a。

3.A,B,C,D

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x=4x(x-1)(x-3)，令f'(x)=0，得x=0,1,3。f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2。f''(0)=12>0，x=0为极小值点；f''(1)=0，x=1为拐点；f''(3)=12>0，x=3为极小值点。极值点为x=0,3。

4.A,C

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(0)=3(0)^2-6(0)+2=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=6(0)-6=-6。

5.A,C

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f'(0)=4(0)^3-12(0)^2+12(0)=0。f'''(x)=12x^2-24x+12，f'''(0)=12(0)^2-24(0)+12=12。

6.B,D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=3-6+2=-1。f''(x)=6x-6，f''(1)=6(1)-6=0。

7.A,D

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f'(1)=4(1)^3-12(1)^2+12(1)=4-12+12=4。f'''(x)=12x^2-24x+12，f'''(1)=12(1)^2-24(1)+12=12-24+12=0。

8.B,C

解析：f(x)=x^2lnx，f'(x)=2xlnx+x。f'(1)=2(1)ln1+1=1。f''(x)=2lnx+2x(1/x)+1=2lnx+3。f''(1)=2ln1+3=3。

9.A,C

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(2)=3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2。f'''(x)=6x-6，f'''(2)=6(2)-6=12-6=6。

10.A,D

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f'(2)=4(2)^3-12(2)^2+12(2)=32-48+24=8。f''''(x)=24x，f''''(2)=24(2)=48。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=3(1)^2-6(1)=3-6=-3。

2.正确

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f''(x)=12x^2-24x+12，f'''(x)=24x-24，f''''(x)=24。f''''(1)=24。

3.正确

解析：f(x)=x^2lnx，f'(x)=2xlnx+x。f'(1)=2(1)ln1+1=1。

4.正确

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f''(x)=6x-6，f'''(x)=6。f'''(2)=6。

5.正确

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f''(x)=12x^2-24x+12，f'''(x)=24x-24，f''''(x)=24。f''''(0)=0。

6.错误

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(0)=3(0)^2-6(0)+2=2。

7.正确

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f''(x)=12x^2-24x+12，f'''(x)=24x-24。f'''(2)=24(2)-24=48-24=24。

8.正确

解析：f(x)=x^2lnx，f'(x)=2xlnx+x。f'(1)=2(1)ln1+1=1。

9.错误

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f''(x)=6x-6，f'''(x)=6。f'''(1)=6。

10.正确

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f''(x)=12x^2-24x+12，f'''(x)=24x-24，f''''(x)=24。f''''(1)=24。

五、问答题答案及解析

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的极值点有哪些？

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0为极大值点；f''(2)=6>0，x=2为极小值点。极值点为x=0,2。

2.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,2]上的极值点有哪些？

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x=4x(x-1)(x-3)，令f'(x)=0，得x=0,1,3。在区间[-1,2]上，只有x=0和x=1。f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2。f''(0)=12>0，x=0为极小值点；f''(1)=0，x=1为拐点。极值点为x=0。

3.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程是什么？

解析：f(x)=x^2lnx，f'(x)=2xlnx+x。f'(1)=2(1)ln1+1=1。f(1)=(1)^2ln1=0。切线方程为y-0=1(x-1)，即y=x-1。

4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的三阶导数f'''(0)的值是多少？

解析