考研数2考试题目及答案

考研数2考试题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处不可导的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

2.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是

A.-8

B.2

C.8

D.0

3.极限lim(x→0)(sinx)/x的值是

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

4.下列级数中，收敛的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)n

5.函数f(x)=sinx在区间[0,π]上的积分值是

A.0

B.1

C.π

D.2

6.微分方程y''-4y=0的通解是

A.y=C1e^2x+C2e^-2x

B.y=C1sin2x+C2cos2x

C.y=C1x+C2x^2

D.y=C1e^x+C2e^-x

7.下列函数中，在x=0处取得极小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

8.曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是

A.1

B.2

C.3

D.4

9.下列积分中，值不为0的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

10.级数∑(n=1to∞)(1/2)^n的和是

A.1/2

B.1

C.2

D.∞

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2在x=1处的导数是__________。

2.极限lim(x→2)(x^2-4)/x-2的值是__________。

3.级数∑(n=1to∞)(-1/2)^n的前3项和是__________。

4.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分值是__________。

5.微分方程y'-2y=0的通解是__________。

6.曲线y=sinx在x=π/2处的切线方程是__________。

7.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的极值是__________。

8.级数∑(n=1to∞)1/n^3的和是__________。

9.函数f(x)=cosx在区间[0,π/2]上的积分值是__________。

10.微分方程y''+y=0的通解是__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

2.下列级数中，收敛的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)n

3.下列积分中，值不为0的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

4.下列函数中，在x=0处取得极小值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

5.下列微分方程中，其通解为指数函数的是

A.y''-4y=0

B.y''-2y'+y=0

C.y''+4y=0

D.y''+y=0

6.下列级数中，发散的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n^3

7.下列函数中，在x=0处取得极大值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=-x^3

8.下列积分中，值等于π的是

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,π]sinxcosxdx

D.∫[0,π]1dx

9.下列微分方程中，其通解为三角函数的是

A.y''-4y=0

B.y''-2y'+y=0

C.y''+4y=0

D.y''+y=0

10.下列级数中，其部分和有界的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

C.∑(n=1to∞)1/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n^3

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是0。

2.极限lim(x→0)(sinx)/x的值是1。

3.级数∑(n=1to∞)(-1/2)^n是收敛的。

4.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分值是e-1。

5.微分方程y'-2y=0的通解是y=Ce^2x。

6.曲线y=sinx在x=π/2处的切线方程是y=x-π/2。

7.函数f(x)=x^3-3x在x=0处的极值是0。

8.级数∑(n=1to∞)1/n^3的和是有限的。

9.函数f(x)=cosx在区间[0,π/2]上的积分值是1。

10.微分方程y''+y=0的通解是y=C1sinx+C2cosx。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-3x的二阶导数。

2.讨论级数∑(n=1to∞)(1/n)的收敛性。

3.求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的积分值。

4.解微分方程y''-4y=0。

5.求曲线y=sinx在x=π/4处的切线方程。

6.讨论函数f(x)=x^3-3x在x=0处的极值。

7.求级数∑(n=1to∞)(-1/2)^n的前5项和。

8.求函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分值。

9.解微分方程y'-2y=0。

10.求函数f(x)=cosx在区间[0,π/2]上的积分值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等。

2.C

解析：f(x)=x^3-3x在x=-2时取值为-8，在x=2时取值为8，故最大值为8。

3.B

解析：这是著名的极限，lim(x→0)(sinx)/x=1。

4.C

解析：p级数中，当p>1时收敛，1/n^2的p值为2，故收敛。

5.D

解析：∫[0,π]sinxdx=-cosx|_[0,π]=-cosπ-(-cos0)=2。

6.A

解析：y''-4y=0的特征方程为r^2-4=0，解得r=±2，故通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。

7.B

解析：f(x)=-x^2在x=0处取得极小值0。

8.C

解析：y=x^3在点(1,1)处的导数即切线斜率为y'=3x^2，在x=1时为3。

9.A

解析：∫[0,π]sinxdx=2，其余积分均为0。

10.B

解析：这是等比级数，首项为1，公比为1/2，和为1/(1-1/2)=1。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：f'(x)=2x，在x=1处f'(1)=2。

2.2

解析：利用洛必达法则，lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)(2x)/1=4。

3.7/8

解析：前3项和为1+(-1/2)+(-1/4)=7/8。

4.e-1

解析：∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1。

5.Ce^2x

解析：y'-2y=0的特征方程为r-2=0，解得r=2，故通解为y=Ce^2x。

6.y=0

解析：y=sinx在x=π/2处的导数为cosx，cos(π/2)=0，故切线斜率为0，方程为y=0。

7.极小值0

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=0，f(1)=-2，f(-1)=-2，故x=0处为极小值0。

8.π^3/6

解析：p级数中，当p>1时收敛，1/n^3的p值为3，和为π^3/6（近似值）。

9.1

解析：∫[0,π/2]cosxdx=sinx|_[0,π/2]=sin(π/2)-sin0=1。

10.y=C1sinx+C2cosx

解析：y''+y=0的特征方程为r^2+1=0，解得r=±i，故通解为y=C1sinx+C2cosx。

三、多选题答案及解析

1.B,C

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，f(x)=x^2在x=0处可导，f(x)=e^x在x=0处可导，f(x)=ln(1+x)在x=0处可导。

2.B,C

解析：B是交错调和级数，条件收敛；C是p级数，p=2>1，收敛；A是调和级数，发散；D是p级数，p=1，发散。

3.A,C,D

解析：A的积分值为2，B的积分值为0，C的积分值为1/2，D的积分值为π。

4.A,D

解析：A在x=0处取得极小值0，D在x=0处取得极大值0。

5.A,C,D

解析：A的通解为指数函数，C和D的通解为三角函数。

6.A,B

解析：A是调和级数，发散；B是交错调和级数，条件收敛；C和D是p级数，p>1，收敛。

7.B,D

解析：B在x=0处取得极大值0，D在x=0处取得极大值0。

8.A,B,D

解析：A的积分值为2，B的积分值为0，C的积分值为0，D的积分值为π。

9.C,D

解析：C的通解为三角函数，D的通解为三角函数。

10.C,D

解析：C和D是p级数，p>1，部分和有界；A是调和级数，部分和无界；B是交错调和级数，部分和有界但不是绝对收敛。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：f'(x)=2x，f'(0)=2*0=0。

2.正确

解析：这是著名的极限，lim(x→0)(sinx)/x=1。

3.正确

解析：这是等比级数，首项为1，公比为-1/2，|r|<1，故收敛。

4.错误

解析：∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1。

5.错误

解析：y'-2y=0的特征方程为r-2=0，解得r=2，故通解为y=Ce^2x。

6.错误

解析：y=sinx在x=π/2处的导数为cosx，cos(π/2)=0，故切线斜率为0，方程为y=π/4。

7.正确

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=0，f(1)=-2，f(-1)=-2，故x=0处为极小值0。

8.正确

解析：p级数中，当p>1时收敛，1/n^3的p值为3，故收敛。

9.错误

解析：∫[0,π/2]cosxdx=sinx|_[0,π/2]=sin(π/2)-sin0=1。

10.正确

解析：y''+y=0的特征方程为r^2+1=0，解得r=±i，故通解为y=C1sinx+C2cosx。

五、问答题答案及解析

1.解析：f''(x)=6x。

2.解析：级数发散，因为它是调和级数。

3.解析：∫[0,1]x^2dx=x^3/3|_[0,1]=1/3。

4.解析：特征方程为r^2-4=0，解得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。

5.解析：y'|_(x=π/4)=cos(π/4)=√2/2，切线方程为y-√2/2=√2/2(x-π/4)，即y=√2/2x-π√2/8+√2/2。

6.