2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第10讲 等比数列（4知识点+9大题型）（解析版）

第10讲等比数列内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：等比数列的判断】【题型02：求等比数列的基本项】【题型03：求等比数列的通项公式】【题型04：等比中项】【题型05：等比数列的证明】【题型06：等比数列的性质】【题型07：对称设元法巧解等比数列】【题型08：等比数列的单调性】【题型09：等比数列的实际应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.知识点2：等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．知识点3：等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．知识点4：等比数列与单调性当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．【题型01：等比数列的判断】1．（多选）以下数列中，哪些是等比数列A． B．C． D．【答案】AB【详解】是公比为的等比数列；是公比为的等比数列；因为，所以不是等比数列；当时，是公比为的等比数列；当时，不是等比数列；故选：AB2．已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详解】数列为等比数列设其公比为，则，若，即数列不一定为等比数列，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B.3．已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】已知为非常数数列，若为等比数列，设公比为，则，且，即，，因为常数，故为等差数列；又若为等差数列，设公差为，则，且，，即，为常数，所以为等比数列；故“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.故选：C.4．（多选）等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A，由题意，设，则，故A正确；对于为奇数则无意义，故B错误；对于，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.5．（多选）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且对于A，因为，，因,则，故不是等比数列，即A错误；对于B，因为，，与A同理，，故不是等比数列，即B错误；对于C，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故C正确.对于D，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故D正确.故选：CD.6．若数列，是等比数列，则数列，是等比数列吗？【答案】数列，是等比数列【详解】由题意不妨设数列，的公比分别为，显然，则是常数，故也是等比数列；同理有，也是常数，故是等比数列.【题型02：求等比数列的基本项】7．已知递增的等比数列满足，，则的公比（

）A．6 B．3 C．2 D．【答案】B【详解】由，，解得或，因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以.故选：B.8．已知是等比数列，且，则（

）A．64 B．32 C．16 D．8【答案】B【详解】设等比数列的公比是，因为且，所以，所以；所以；故选：B9．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．9【答案】D【详解】设正项等比数列的公比为，则，，由成等差数列，得，即，而，则，解得，所以.故选：D10．已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（

）A．81 B．243 C．27 D．729【答案】B【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，在等差数列中，，，所以有，故，所以，，则，故.故选：B11．在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（

）A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3【答案】B【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即.则，因为等比数列中，所以，解得或，故选：B.12．在正项等比数列中，已知，则．【答案】【详解】由，则，得，由题意知，故，所以．故答案为：【题型03：求等比数列的通项公式】13．在等比数列中，若，且，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列的公比为，由可得，解得，设，，因为，所以，解得或.当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去；当时，，，满足，故满足题意.所以．故选：A14．设数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，所以，则数列是以为公比的等比数列，因为，所以.故选：C15．已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则.【答案】【详解】根据题意，数列为等比数列，则，又因为数列为递减数列，则，又因为前三项的积为，前三项的和为，所以，，可以得到，即，，解得：或（舍），或（舍），所以，所以，故答案为：.16．已知等比数列满足，则数列的通项公式.【答案】【详解】由题意得，结合，解得，则.故答案为：.17．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，则，所以+148.故答案为：A18．已知为数列的前n项和，，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可知，，，故是以2为首项，2为公比的等比数列，故，所以.故选：A.【题型04：等比中项】19．4与9的等比中项为（

）A．6.5 B．6 C． D．【答案】D【详解】设4与9的等比中项为，则，所以，故4与9的等比中项为.故选：D.20．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为等比数列，，为方程的两根，所以，故，又因为，所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号，所以.故选：A.21．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为.【答案】【详解】因为为等差数列的前项和，且，，所以可得，解得，所以，，设与的等比中项为，则，则，所以与的等比中项为.故答案为：22．已知是公差为的等差数列.若，，是公比为的等比数列，则，.【答案】1【详解】因为，，是公比为的等比数列，所以，又因为是公差为的等差数列，所以，则，又，，所以，解得，则，所以.故答案为：；1.23．若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若1，，，，4的公比为，则，由题设，，则（负值舍），所以.故选：A【题型05：等比数列的证明】24．数列满足且，则下列结论错误的是（）A． B．是等比数列C． D．【答案】D【详解】由数列满足，可得，所以，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，对于A，因是等差数列，则是的等差中项，即，故A正确；对于B，由，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；对于C，由，可得，其中，故C正确；对于D，由，可得，则，，即，故D错误.故选：D.25．数列满足，.证明：数列是等比数列.【答案】证明见解析【详解】因为，即，可得，且，所以数列是以首项和公比均为的等比数列.26．已知数列的首项，且满足．设，求证：数列为等比数列；【答案】证明见解析【详解】因为，所以.由题意，数列满足，可得，所以，又，所以，则为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列．27．已知正项数列满足，且求数列的通项公式；【答案】【详解】由，得，因为，所以，即，因为，所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以；28．已知数列，满足．证明：数列为等比数列；【答案】证明见解析【详解】由题，所以，得，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.29．已知数列满足，且对任意的，都有，令，证明：数列为等比数列；【答案】证明见解析【详解】已知，则，因为，所以，又，所以，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.【题型06：等比数列的性质】30．在等比数列中，，且，则（

）A．36 B．27 C．18 D．9【答案】C【详解】由等比数列的性质得，故，得．由，得，则，所以．故选：C.31．在等比数列中，，是方程的根，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【详解】因为，是方程的根，所以，，所以，；设等比数列的公比为，则，所以，解得；又，所以，所以.故选：C.32．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是.【答案】【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，，则，，所以，，则.故答案为：.33．已知递增的等比数列满足，，则的公比.【答案】3【详解】由，，解得或，因为是递增数列，所以，则，即（负根舍去）.故答案为：3.34．设正项等比数列中，，若依次成等差数列，则.【答案】27【详解】由等比中项的性质可知，，又成等差数列，则.故答案为:27【题型07：对称设元法巧解等比数列】35．5个数依次组成等比数列，且公比为，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可设这5个数分别为，故奇数项和与偶数项和的比值为.故选：C.36．已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为．【答案】或【详解】设此4个数为.则，且①，所以，当时，，代入①式化简可得，此方程无解；当时，，代入①式化简可得，解得或.当时，；当时，.所以这4个数为或.故答案为：或.37．（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列；（2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列．【答案】（1）或，（2）或【分析】【详解】（1）设插入的两个数分别为，即这四个数为，因为前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，所以，解得，或，所以这个数列为或，（2）设这个等比数列的公比为，由题意得，所以，得，得，或，当时，，，，，，当时，，，，，，所以这个等比数列为，或.38．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【答案】；或【分析】【详解】解：（方法一）依题意，，，由等比数列的通项公式，得，解得．当时，插入的3个数分别为；当时，插入的3个数分别为．因此，插入的3个数分别为；或．（方法二）因为等比数列共有5项，即．又因为，所以，即．又因为要与同号，因此1．类似地，有，而且与同号．因此：当时，当时，．因此，插入的3个数分别为；或．【题型08：等比数列的单调性】39．已知是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若，则，所以，所以数列为递减数列，若数列为递增数列，则，所以或，所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D40．已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若有数列为递增数列，则，当时，如：，满足，但数列不是递增数列，所以是数列为递增数列的必要不充分条件，故选：B.41．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（

）A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列【答案】D【详解】由等比数列，则公比，对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误.对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误.对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误.对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确.故选：D.42．（多选）已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（

）A．为等比数列 B．使得为等差数列C．为摆动数列 D．，为递增数列【答案】BC【详解】时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，故A错误；时，，为常数列，是等差数列，故B正确；时，为摆动数列；故C正确；时，为递增数列，时，为递减数列，时，为常数列，故D错误.故选：BC43．已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，则或，若，有单调递减，若，有单调递减，若，则不具有单调性，即充分性不成立；由单调递减，则或，此时成立，即必要性成立，综上，“”是“单调递减”的必要不充分条件.故选：B44．已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要【答案】C【详解】设的公比为且，，若为递增数列，则恒成立；若对任意有恒成立，则，所以，时，或，显然时，不符；所以，此时，则为递增数列；时，或，显然时，不符；所以，此时，则为递增数列；综上，“对任意有恒成立”是“数列为单调递增数列”的充要条件.故选：C45．在等比数列中，，，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列的公比为，则，解得，故，所以，且是递增数列.由可得，可得，解得，所以当时，，当时，，所以当取得最小值时，.故选：A.【题型09：等比数列的实际应用】46．“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．（且）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知：，，，即，所以，因为均为正整数，当时，；当时，，满足；当时，，所以，，，此时月球被太阳照亮部分占满月的.故选：C47．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（

）．A．80 B．96 C．100 D．112【答案】B【详解】依题意，有，，时，不是正整数；时，；时，，不是正整数.所以，，.故选：B48．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设第n个单音的频率为，则由题意知数列是等比数列，且公比为，，所以第十二个单音的频率为.故选：D49．《庄子∙天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看作“1”，那么第六天剩下的“棰”的长度为.【答案】【详解】由题意可知每天剩下的“棰”的长度为，构成了首项为，公比为的等比数列，故第六天剩下的“棰”的长度为，故答案为：50．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（

）斗．A． B． C．3 D．【答案】B【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，设猪的主人赔偿的粟斗数为，则，解得：，故马主人赔偿的粟斗数为，所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为.故选：B一、单选题1．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（

）A．成等比数列 B．成等比数列C．成等比数列 D．成等比数列【答案】B【详解】设等比数列的公比为，A，当时，，不成等比数列，A错误；B，对于任意公比，，成等比数列，B正确.C，当时，，不成等比数列，C错误；D，当时，，不成等比数列，D错误.故选：B2．已知等比数列满足，则（

）A．9 B．36 C．54 D．72【答案】B【详解】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为，因为，则，可得，解得，所以.故选：B.3．若，，三个数依次成等比数列，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】因为，，成等比数列，由等比数列的性质得，解得.故选：A.4．在等比数列中，是方程的两个根，则（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【详解】因为是方程的两个根，所以，所以，设等比数列的公比为，由，所以，故选：C5．已知数列为等比数列，，，若是数列的前项积，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，，则，因为的对称轴为，且开口向下，所以当或时，有最大值，最大值为.故选：B6．设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（

）A．2025 B．1980 C．2115 D．2070【答案】A【详解】设，则，则，于是，解得，此时，，满足题意，所以由，可知.故选：A二、多选题7．在等比数列中，，公比为，则（

）A．B．C．是公比为4的等比数列D．是公比为4的等比数列【答案】BCD【详解】A，由题意得，因为，所以，故A错误；B，，则，故B正确；C，由，所以数列是公比为4的等比数列，C正确；D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确，故选：BCD.8．已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（

）A． B．为最大项C． D．数列，，的公差为64【答案】AC【详解】设后三项的公差为，因