2026年高二数学寒假自学课（人教B版）重难点突破01 求数列的通项公式（解析版）

重难点突破01求数列的通项公式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：周期数列】【题型02：累加法】【题型03：累乘法】【题型04：（一）——与或与】【题型05：（二）——“”】【题型06：“积”型】【题型07：待定系数法】【题型08：倒数法】【题型09：同除指数法】第二步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1累加法适用于，求具体过程：两边分别相加得知识点2累乘法适用于，求具体过程：，两边分别相乘得知识点3型及型形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.知识点4取倒数法数列满足:,则有.所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).知识点5利用与的关系用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.【题型01：周期数列】1．已知数列满足，则（

）A．-1 B． C．2 D．3【答案】C【详解】解法1：由数列满足，可取，则；取，则；取，则，猜想数列是周期为3的周期数列，.解法2：由得，，逐项代换可得，数列是周期为3的周期数列，.故选：C2．已知数列，则（

）A．1 B．5 C．-4 D．4【答案】B【详解】因为，所以，所以数列是周期为6的周期数列，所以.故选：B.3．已知数列满足，则.【答案】【详解】由，所以，，即，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故答案为：.4．已知数列满足若，则．【答案】【详解】由且，可得，，，可得数列是以3为周期的周期数列，则．故答案为：5．记为数列的前n项和，已知数列满足，则.【答案】【详解】当为奇数时，,当为偶数时，;

因此，.故答案为：0.6．数列满足，则.【答案】【详解】已知，且，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；发现从第项开始，数列以为一个周期循环出现，周期长度为，因为，所以.故答案为：.【题型02：累加法】7．在数列中，，则的最小值为.【答案】【详解】，，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，，因此当，或，有最小值，即的最小值为.故答案为：8．在数列中，，，则．【答案】【详解】化简得：，，，，；将上述式子相加，得，代入，得，则，故答案为：.9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（

）A．100 B．120 C．128 D．240【答案】B【详解】设第层的小球个数为，依题意，，且当时，，当时，，满足上式，因此，所以，即第15层有120个小球，故选：B10．已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【详解】因为数列是公比为3的等比数列，所以，，因为，所以，解得，所以.故选：A.11．已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，且，，所以，累加可得，所以，所以，当时同样满足，所以.故选：C【题型03：累乘法】12．已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意知是公比为的等比数列，，则；故当时，，则，当时，也适合上式，故，则.故选：A13．设直线与轴的交点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，可得，所以．故选：C．14．已知数列对任意满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由，得，所以，所以，即①．又因为②，①②两式相乘，得．故选：A．15．已知数列中，，则.【答案】【详解】，，，即，.故答案为：.16．若数列满足，，则，数列的通项公式．【答案】8【详解】因为，，所以，.由题意，，，，以上各式相乘可得.故答案为：8

17．已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）当时，，又因为，即对也成立，所以．（2）①，②，①-②得：，所以．【题型04：（一）——与或与】18．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为数列的前项和为，，所以，即，所以，.所以数列是以公比为3，首项为4的等比数列，所以，即.故选：B.19．已知数列的前项和为，且满足，则．【答案】【详解】当，，当，，验证时，，符合的通项，故．故答案为：．20．已知数列的前项和，则数列的通项公式是.【答案】【详解】因为数列的前项和，当时，，当时，，不满足，所以.故答案为：.21．记为数列的前项和，若，则.【答案】63【详解】当时，，得，当时，，得，故是以为首项，为公比的等比数列，故.故答案为：.22．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（

）A．18 B．24 C．32 D．42【答案】C【详解】由题设是等差数列，，则的公差为，故，则得，故.故选：C.23．在数列中，已知其前项和则当为奇数时，．【答案】【详解】当时，，当时，且为奇数时，为偶数，所以，，所以，综上，【题型05：（二）——“”】24．（多选）已知数列满足，设数列的前项和为，则（

）A． B．C．数列是等比数列 D．【答案】ABD【详解】因为，当时，则，故B正确；当时，则，两式相减可得，则；且符合上式，所以，故D正确；因为，，，则，所以数列不是等比数列，故C错误；又因为，可知数列是等差数列，所以，故A正确.故选：ABD.25．（多选）记为数列的前项和，已知，则（

）A．为等比数列 B．为等比数列C． D．【答案】BCD【详解】由，可得：，两式相减得：，即，所以为等比数列，故B正确；再由，可得，即，当时，有，由于不满足上式，所以，故A错误；由，故C正确；由，则，两式相减得：，故D正确；故选：BCD26．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为.【答案】【详解】由题意可知，当时，，即，当时，由，得，两式相减得，所以，当时，也满足此式，故.所以，若数列为单调递增数列，则恒成立，所以，即，对恒成立，设，则，当时，，故，当时，数列为递减数列，即，可得为最大值，且，所以.所以的取值范围为.27．已知等差数列的前项和为，，，数列满足．(1)求数列、的通项公式；(2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．【答案】(1)，；(2).【分析】【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，，所以，当时，由①，得②，

①②得，所以，当时，，可得，也满足，所以.（2）因为，，当为偶数时，，此时被除余，为数列中的项；当为奇数时，，此时被整除，不为数列中的项，所以，.28．设正项数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为，且，当时，则，可得；当时，则，即，整理可得，解得或（舍去）；当时，则，可得，则，可得，两式相减得，整理可得，且，可得；且，可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以.（2）因为，所以.29．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，解得，当时，，满足上式，所以的通项公式为.（2）由（1）知，，，，则，两式相减得，所以.【题型06：“积”型】30．设为数列的前项积，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由为数列的前项积，则，则由，可得当时，有，又当时，，则由可得，即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，则，故.故选：B.31．设各项都不为的数列的前项积为，，，求数列的通项公式；【答案】【详解】因为，当时，，两式相除可得，因为，所以，满足，所以．32．已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】B【详解】由题意，当时，则，当时，①可得②，①②得：，所以数列是公差为的等差数列，故，令，又，所以的最小值为.故选：B33．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【详解】由，得，于是，则，两边取对数得，因此，数列是常数列，则，即，所以，.故选：B34．记为数列的前项之积，已知，则.【答案】【详解】因为，当时，可得，解得；当时，可得，整理可得，可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则，即，所以.故答案为：.【题型07：待定系数法】35．若数列满足，，则（）A．1020 B．1024 C．2044 D．2048【答案】C【详解】因为，则，且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则，即，所以.故选：C.36．已知数列中，，则数列的通项公式．【答案】【详解】因为，所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，故.故答案为：37．已知数列满足，则．【答案】【详解】由，可得，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.38．已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【详解】因为，所以.因为，所以，故为常数列，所以.由，解得.故选：B39．在数列中，，，则.【答案】【详解】由，得.由，得，则，所以.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.所以.故答案为：.40．数列的首项，，令，则．【答案】/【详解】因为，所以，又，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，代入得，设数列的前项和为，则，则.故答案为：【题型08：倒数法】41．已知数列的首项，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，易知，所以，即，又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以.故选：A.42．已知数列中，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得：，又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，，，，，故选：D．43．若数列满足递推关系式，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，又，所以，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，得，所以.故选：A44．已知数列满足，，，则.【答案】【详解】数列中，，，显然，取倒数得，即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，因此，所以.故答案为：.【题型09：同除指数法】45．已知数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知，两边同时除以，可得，即.又当时，，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以.故选：A46．在数列中，，，则．【答案】【详解】将两边同时除以，得，即．由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故．故答案为：.47．记数列的前项和为，若，则.【答案】/0.5【详解】由，得，则，又，则，则，，，，故答案为：.48．已知数列满足,且．(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差；(3)求数列的前项和．【答案】(1);(2)证明见解析，首项为1，公差为1；(3)【分析】【详解】（1）∵,且,∴,.（2）由,得.又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）可知：,,故；,,两式相减，得,,,;故.49．（多选）已知数列的前项和为，则（

）A．B．为等比数列C．D．【答案】ACD【详解】选项A，由题意得，A正确；选项B，将两边同时除以，得，即，则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；选项C，由，得，所以①，则②，①-②得，，，即，则，C正确；选项D，因为，所以，D正确.故选：ACD.1．在数列中，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【详解】因为，所以，，，，所以数列具有周期性，周期为，所以，故选：A2．已知数列满足，，，为数列的前项和，则（

）A． B．C．的最大值为20 D．【答案】D【详解】奇数项，构成首项为8、公差为的等差数列.通项；偶数项：，构成周期为2的周期数列；，通项：，选项A，，对应，，选项A错误.选项B，为偶数，奇数项和：，偶数项和：，，为奇数，偶数项和：，，选项B错误.选项C，由为偶数，，为奇数，，开口向下的二次函数，对称轴都为，所以，，C错误.D.，，即，，，，，选项D正确.故选：D3．设数列满足，且，则数列的通项公式为.【答案】【详解】.，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列.，所以.故答案为：4．已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，，．由累乘法，得，即，又，所以．故选：C．5．已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知得，且，，取，由得，由于为数列的前项积，所以，则，两式相除，可得，由于，化简得，即，其中所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.故选：D6．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式；.【答案】574【详解】因为，，则，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，即，可得，所以.故答案为：；.7．（多选）已知数列满足，则（

）A．数列是等差数列 B．C．数列的前项和 D．数列是递减数列【答案】AC【详解】对于A，由，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；对于B，由A知，所以，故B错误；对于C，由A，B知，，故C正确；对于D，由A知，，所以数列是递增数列，故D错误.故选：