2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题03 直线与方程9大题型（解析版）

专题03直线与方程9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破nn知识点1：直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（2）范围：直线l倾斜角的范围是2．斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．（2）在直线l上，且，则直线l的斜率．知识点2：直线的方程方程适用范围点斜式：不包含直线斜截式：不包含垂直于x轴的直线两点式：不包含直线（当时）和直线（当时）截距式：不包含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式：不全为平面直角坐标系内的直线都适用知识点3：两条直线的位置关系位置关系与与相交垂直平行且或重合且注意：（1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．知识点4：距离问题条件距离公式点之间的距离点到直线的距离两条平行线与的距离知识点5：对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为；（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．【题型01直线的倾斜角】1．直线的倾斜角为（

）A．0 B． C． D．不存在【答案】B【详解】由直线，可得，此时直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为.故选：B.2．若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】直线的斜率为，所以，即，且倾斜角为锐角；又因为，所以得到；所以；故选：D3．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线的倾斜角为α，则，直线的斜率为1，，故，直线l过点，其倾斜角是直线的两倍，直线l的倾斜角为，直线l的斜率不存在，又直线过点，直线方程为，即，故B正确．故选：B．4．下列直线中，倾斜角最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】选项A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角；选项B，由，可知斜率，则倾斜角为钝角，且；选项C，由，可知倾斜角；选项D，由，可知倾斜角；所以倾斜角最大的是.故选：A.5．已知直线的倾斜角为，则．【答案】【详解】由题意可得直线的斜率为，所以，解得．故答案为：.【题型02直线的斜率】6．已知三点，则“三点共线”是“或”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当时，三点均在直线上；当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上；当时，若三点共线，则，即，解得或．综上，若三点共线，则或或，故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件．故选：C.7．（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】由图象可知，所以，，函数在上单调递增，所以，综上所述，.故选：AD8．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或.所以直线的斜率的取值范围为.故选：C.9．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，，存在与线段相交的直线与轴垂直，所以直线的斜率的范围是.故选：B.10．已知不能构成三角形，则．【答案】【详解】已知不能构成三角形，所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在，即，故答案为：11．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是．【答案】【详解】方程，令，则，令，则，设点，，所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率，，，所以的取值范围为.故答案为：.【题型03已知平行、垂直求参数】12．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，则，解得或，当时，，两直线平行，当时，，两直线重合，则当时，，故“”是“”的充分必要条件.故选：A.13．若直线与直线互相平行，则（

）A．1 B． C．或1 D．或【答案】C【详解】因为直线与直线平行，根据两直线平行的充要条件可得，解得或，当时，代入可得与验证两条直线不重合，当时，代入可得与验证两条直线不重合.故选：C14．已知直线和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得，解得.故选：D15．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由直线，，若，则，即，所以必要性成立；反之：若，可得，所以，所以充分性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C.16．已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为．【答案】或【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在，则，所以,解得：或,所以点的坐标为或，故答案为：或【题型04由两条直线平行、垂直求方程】17．已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行，所以直线的斜率也为，且直线经过点，由直线的点斜式可得直线的方程为，化简可得，进一步变形可得，再变形可得.故选：B18．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为．【答案】【详解】设直线与相交于点，则，解得，交点为，所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为，，解得，直线方程为：，即．故答案为：．19．已知直线和，则（

）A．和可能重合B．和不可能垂直C．和可能平行D．在上存在一点，使得以为中心旋转后与重合【答案】D【详解】由题意得：所以直线和不可能平行或重合，故A，C错误；又当时，直线和垂直，故B错误；当点是直线和的交点时，以为中心旋转后可以与重合，故D正确．故选：D20．与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为.【答案】【详解】设该直线方程为，直线与垂直，则，直线在y轴上的截距为2，则，所以该直线方程为.故答案为：.21．直线绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程.【答案】【详解】由题意，直线过，又斜率为，故绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转后与原直线垂直，斜率为，此时所得的直线方程为，即.故答案为：22．已知点，直线．求：(1)过点且与直线平行的直线方程；(2)过点且与直线垂直的直线方程．【答案】(1)(2)．【分析】【详解】（1）直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线平行的直线方程为，即.（2）直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为，由直线的点斜式方程知过点且与直线垂直的直线方程为，即.23．已知的三个顶点的坐标分别为，，.(1)求过点且与直线平行的直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由，可知，故所求直线的方程为，即.（2）易知，则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即.【题型05求直线的方程】24．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为关于y轴的对称点，所以直线因此入射光线l所在直线的方程为，故选：C．25．直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为.【答案】或【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则，的方程为，即；当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数，设直线的方程为，又过，，，设直线的方程为，即.综上可知，直线的方程为或.故答案为：或.26．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为，又直线过点，所以，所以直线方程为，当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线方程为，所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或，故选：D.27．若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为.【答案】【分析】【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，①所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为，再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，②因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个，比较系数可得，解得故答案为：．28．直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为.【答案】或【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则，因此直线l的斜率，直线l的方程为或，所以直线l的方程为或.故答案为：或29．求符合下列条件的直线方程(1)斜率是，且经过点．(2)经过，两点．(3)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的．【答案】(1)(2)(3)或【分析】【详解】（1）由点斜式可得直线方程为：，整理得：.（2）由两点式可得直线方程为：，整理得：.（3）若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意；若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为，则直线方程为，因为直线过点，所以.所以直线方程为：.综上，所求直线方程为：或.【题型06直线的三角形问题】30．已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，由基本不等式可得，可得，即，当且仅当时，即当时，等号成立，故，即面积的最小值为.故选：B.31．已知点，，，直线将分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，直线将分割为两部分，不妨记两部分面积分别为，故，由，结合基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，即直线将分割为面积相等的两部分时两个部分的面积之积最大，由于，要使，则与边相交，设交点为，故，由于直线方程为，即，代入可得，故，由于在上，则，解得.故选：A32．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是.【答案】【详解】令，得，令，得，所以三角形的面积为：，又因为，即，又时，直线过原点，由此与坐标轴不构成三角形，故，所以实数k的取值范围是：，故答案为：.33．已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则实数的值是．【答案】【详解】，，即时，，过定点，即点，又直线将分割为面积相等的两部分，所以直线必需过中点，，解得．故答案为：．34．在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为时，的周长最小，其最小周长是.【答案】20【分析】【详解】方法一：，，,，方法二：，当且仅当时，等号成立.解得,故答案为：；35．已知直线的斜率为，且在轴上的截距为．(1)求直线与轴交点的坐标；(2)求直线与两坐标轴围成的三角形的周长．【答案】(1)(2)24【分析】【详解】（1）由已知可得直线的方程为，令，可得，所以直线与轴交点的坐标为；（2）设坐标原点为，，，由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24.36．已知关于的方程表示一个直线系.(1)证明：直线过定点，并求出定点坐标；(2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2)面积的最小值为12【分析】【详解】（1）依题意，直线的方程可化成，由，得，所以直线过定点，且定点坐标为；（2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正，故可设直线的方程为，则，；由（1）知，直线过定点，所以；因为，所以，所以面积，当且仅当，即时取等号；故面积的最小值为12.【题型07点到直线的距离问题】37．已知点和直线，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离为.故选：C.38．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为，直线过点且斜率为，则直线，则原点到直线的距离为.故选：C.39．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为，解得或，所以点的坐标为或．故选：D．40．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（

）A．0 B． C．0或 D．或【答案】D【分析】【详解】由题意可得，即，解得或故选：D.41．已知的三个顶点分别为，，，则的面积为【答案】.【详解】直线AB的方程为，即，顶点C到直线AB的距离为，又，∴的面积.故答案为：42．已知的顶点为，直线的方程为．(1)求直线的方程；(2)若为，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以，又因为点，所以直线的方程为，即.（2）点到直线的距离为，且，故平行四边形的面积为．【题型08两平行线的距离问题】43．若直线与直线平行，则与之间的距离是（

）A．3 B．1 C． D．4【答案】A【详解】对于：斜率，对于：，斜率，因为，所以，即：，因此，的方程为：，即，两条平行直线之间的距离为：.故选：A44．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（

）A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6【答案】D【详解】解：直线可化为，因为直线与直线间的距离为1，所以，解得或.故选：D45．两平行直线与之间的距离为．【答案】【详解】由题意可知，，所以两直线之间的距离为．故答案为：.46．两平行直线与之间的距离为.【答案】【详解】由题意可得，解得，当时，直线与平行，所以两平行线的距离为.故答案为：.47．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或．故选：AC48．直线关于直线对称的直线的方程为．（用一般式表示）【答案】【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离，可设所求直线为，则或（舍），所以，所求直线为.故答案为：【题型09直线的对称问题】49．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点关于直线的对称点为，直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1，所以的斜率为-1，即，化简得，又的中点在直线上，代入得，化简得，联立和，解得故对称点为.故答案选：B.50．若直线关于直线对称的直线经过点，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】设关于直线的对称点为，所以，解得，所以，又因为在直线上，所以，解得，故选：A.51．已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解析，，则．故选B．52．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B．53．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即.设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线，则直线MN的方程为，故选：D54．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为．【答案】【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即，则．故答案为：55．（9-10高一下·广东河源·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）A．2 B．6 C．3 D．2【答案】A【详解】易知直线的方程为，设点关于直线的对称点，则且，解得，即，又点关于轴的对称点，由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线，所以光线所经过的路程长为.故选：A.一、单选题1．已知直线：，：若，则的值为（

）A． B．3 C． D．3或【答案】B【详解】因为，所以，整理得，解得或.当时，为，为，此时两直线平行；当时，为，即，为，即，此时两直线重合，应舍去.故选：B.2．已知直线，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．-2【答案】C【详解】由，，可知，解得.故选：C3．点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，令，则，解得，故直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值，最大值为.故选：D4．已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，所以，又直线绕点顺时针方向旋转得到直线，所以直线的斜率，所以直线的方程为，令，可得，所以.故选：D5．直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【详解】直线化为，当，得，即直线恒过点，即点，直线化为，当，得，即直线恒过点，即点，且两条直线满足,即，,由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则的最大值为4.故选：A.6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【详解】由题意直线过定点，直线可变为，令，得，所以该直线过定点，所以．又，所以直线与直线互相垂直，且交点为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以，，即面积的最大值是．故选：B．二、多选题7．下列关于直线的说法正确的是（

）A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行【答案】BCD【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误；对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确；对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确；对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确．故选：BCD．8．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（

）A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为【答案】BD【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为．P点对应的轨迹如图所示：，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；原点到：的距离为，D正确；轨迹图形是菱形，面积为，B正确．故选：BD.十一、填空题9．已知点在直线上，若的最小值为4，则．【答案】或9【详解】因为点在直线上，那么的最小值是定点到直线的距离的平方，所以，解得或9．故答案为：或910．已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为.【答案】或【详解】根据，成立，可知点，均在直线上，且有两个不等实根，则，又在直