2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题07 抛物线与方程9大题型（原卷版）

专题07抛物线与方程9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：抛物线的定义我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．注意：①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．知识点2：抛物线的标准方程及简单几何性质标准方程图象性质范围对称轴x轴y轴顶点焦点准线离心率知识点3：通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径知识点4：直线与抛物线1．直线与抛物线的位置关系设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.（1）若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个交点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点.（2）若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.注:（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.（2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.2．弦长问题过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,那么线段叫做焦点弦,如图:设AB是过抛物线焦点的弦,若,则.注:（1）；（2）；（3）是直线AB的倾斜角)（4）为定值是抛物线的焦点).3.中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率【题型01求抛物线的方程】1．方程可以化简为（）A． B． C． D．2．已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（

）A． B． C． D．3．若抛物线的准线方程为，则.4．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为．5．已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为．【题型02抛物线的简单几何性质】6．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为．7．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为.9．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（

）A．4 B．8 C．16 D．3210．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（

）A．或 B．C．或 D．11．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，(1)求C的标准方程.(2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长.【题型03抛物线的定义及应用】12．已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（

）A． B．C． D．14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（

）A．3 B．5C．7 D．415．抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是.16．已知抛物线：，圆：，若点、分别在、上运动，直线过定点，则的最小值为．【题型04抛物线的弦长问题】17．设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（

）A．12 B．10 C．9 D．618．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则.19．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为．20．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为.21．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是．22．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为.【题型05抛物线的中点弦问题】23．已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．24．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为．25．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为．26．已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则.27．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率.28．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.【题型06抛物线的面积问题】29．已知抛物线过其中两点，为的焦点.(1)求的方程；(2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程.30．已知抛物线方程为，求抛物线焦点的坐标，已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为．31．设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为.32．已知抛物线的焦点在直线上．(1)求的方程；(2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值．33．已知抛物线的焦点到其准线的距离为.(1)求抛物线的准线方程；(2)设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程.【题型07抛物线的最值范围问题】34．已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．35．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．36．已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．38．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（

）A． B． C． D．39．如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有3对不同的点关于点对称，则实数的取值范围是.40．若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为.【题型08抛物线的定点问题】41．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点．(1)求线段的长度；(2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点．42．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.

(1)求的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率为，，求的值；(3)证明：直线恒过定点.43．已知抛物线（），焦点为，对于抛物线上一点，记，已知的最小值为1，将点向上平移个单位长度，得到点.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，，求的值；(3)记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点.44．已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记(1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程；(2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点.45．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且．(1)求的值；(2)求面积的最小值；(3)求证：直线过定点．【题型09抛物线的定值问题】46．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．(1)求的方程；(2)若，求直线的方程；(3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．47．已知直线l：与抛物线C：相切于点P.(1)求C的方程以及点P的坐标.(2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.（i）当轴时，求L的方程；（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.48．已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C.(1)当点为坐标原点，时，求的面积；(2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率；(3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.49．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线.(1)求的方程；(2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值.50．已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切．(1)求抛物线的方程；(2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．51．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；(2)若上存在点，使得，证明：为定值.52．已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.①求的面积的最小值.②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.一、单选题1．抛物线的焦点F的坐标为（

）A． B．C． D．2．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，，则（

）A． B． C．4 D．3．设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．84．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（）A．6 B．8 C．4 D．45．已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（

）A． B． C． D．6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（

）

A．2 B．4 C．6 D．87．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（

）A．1 B． C． D．二、多选题8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（

）A．准线为B．若，则C．若，则D．到距离最小为39．已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（

）A．焦点F与C的准线的距离为1B．的最小值为2C．存在直线l，使得D．若，则的最小值为三、填空题10．抛物线的焦点到准线的距离为，则．11．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为.12．已知点在抛物线：（上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为.四、解答题13．已知抛物线经过点.