第七章第38节基本立体图形、几何体的表面积与体积

分册二(第七章至第十章)第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第38节基本立体图形、几何体的表面积与体积考试要求考题分析1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年T4、T8、T19T7、T112023年T12、T14T9、T142024年T5T7【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形[注意点]四棱柱的结构特征及关系2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点-轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环-3.立体图形的直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r'+r)l5.空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=13S底·台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43πR【常用结论】1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:S直观图=24S原图形2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,4131.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(×)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)(3)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.(×)(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.(×)2.(必修第二册P105T4变式)下列几何体中是棱台的是()【解析】选D.A,C不是由棱锥截成的,不符合棱台的定义,故A,C不符合题意;B中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故B不符合题意;D符合棱台的定义.3.长、宽、高分别为1,2,3的长方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.

【解析】设该球的半径为R,易知长方体的体对角线为球的直径,则2R=12+22+(3)2=22,R=答案:8π4.(必修第二册P119习题8.3T2变式)如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个棱锥C-A'DD',则棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为________.

【解析】设AB=a,AD=b,DD'=c,则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc.又S△A'DD'=12bc,且棱锥C-A'DD'的高为CD=a,所以V棱锥C-A'DD'=13S△A'DD'·CD=16abc.则剩余部分的体积V剩=abc-16abc=56abc.故V棱锥C-A'DD'∶V剩=16abc∶答案:1∶5【考点探究核心突破】考点一基本立体图形角度1直观图【例1】在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为 ()A.8 B.10 C.5+22 D.6+22【解析】选D.如图,画出直观图,过点A'作A'D⊥O'C',垂足为D.因为O'C'=12OC=3,A'B'=12AB=1,∠C'O'A'=∠B'A'x'=45°,O'A'=2所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,所以C'D=1=A'B',所以四边形A'B'C'D为平行四边形,则A'D=B'C'=2,故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.[变式探究]将本例中直角梯形OABC修改为如图,结果又是多少?【解析】如图,画出直观图,过点A'作A'D'∥O'C',交B'C'于点D'.则O'A'∥B'C',O'A'=OA=1,B'C'=BC=2,O'C'=12OC=2易知O'A'D'C'是平行四边形,所以A'D'=O'C'=2,C'D'=O'A'=1,B'D'=B'C'-C'D'=1,∠A'D'B'=45°,由余弦定理可得A'B'2=A'D'2+B'D'2-2A'D'·B'D'·cos∠A'D'B'=(2)2+12所以A'B'=1,所以四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=4+2.思维升华解直观图(斜二测画法)问题的关注点(1)把握“不变”①平行性不变;②平行于x,z轴的线段长度不变.(2)注意“变化”①平行于y轴的线段平行性不变,长度减半;②角的大小通常是变化的.如水平放置的等边三角形的直观图中三个角都不是60°.角度2展开图【例2】(2025·承德模拟)在圆锥SO中,轴截面△SAC为腰长为22的等腰直角三角形,B为底面圆上一点,且E为线段AB上一动点,若△ABC为等腰三角形,则SE+CE的最小值为()A.25 B.2(3+1) C.33 D.2(3+2)【解析】选B.如图,因为轴截面△SAC为腰长为22的等腰直角三角形,所以SA=SC=22,AC=4,又因为△ABC为等腰三角形,所以AB=BC=22,所以SA=SB=AB=22,将△ABC和△ABS平铺成一个平面,如图,此时∠S'BC=150°,当S',E,C三点共线时,SE+CE最小,最小值为S'B2+BC思维升华展开图问题的求解策略(1)多面体表面展开图因剪开的位置不同可以有不同的形状,但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离,还可将部分空间问题转化为平面问题.(2)旋转体表面展开图一般沿母线剪开,其中圆柱的侧面展开图为矩形,圆锥的侧面展开图为扇形,圆台的侧面展开图为扇环,球面无法展开.对点训练如图所示,圆台母线AB长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,则这条绳长的最小值为________cm.

【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图,如图所示,如图1,由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似,得OAOA+AB=510,如图2,设∠BOB'=α,由于BB'的长与底面圆Q的周长相等,而底面圆Q的周长为2π×10=20π(cm).扇形OBB'的半径为OA+AB扇形OBB'所在圆的周长为2π×40=80π(cm).所以扇形弧BB'的长度20π为所在圆周长的1所以OB⊥OB'.又M为AB的中点,所以OM=30cm,所以在Rt△B'OM中,B'M2=402+302,所以B'M=50cm,即所求绳长的最小值为50cm.答案:50【加练备选】1.如图所示,在四边形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为()A.52 B.5 C.52 D.【解析】选C.如图所示,O'A'B'C'为OABC的直观图,根据斜二测画法的规则可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'轴,所以该图形的面积为S=12×3+2×2×22=2.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,则截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线的周长的最小值为 ()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】选D.把正三棱锥A-BCD的侧面展开,两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周长的最小值是22.考点二空间几何体的表面积与侧面积【例3】(1)(2024·安康模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上底面积为3,下底面积为43,高为2,则该三棱台的表面积为()A.53+339 B.339 C.53+18 D.18【解析】选A.由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为2和4,设C1在底面ABC内的射影为H,连接C1H,CH,作HQ⊥BC于点Q,C1H⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,则有C1H⊥BC.又HQ⊥BC,C1H∩HQ=H,C1H,HQ⊂平面C1HQ,所以BC⊥平面C1HQ,C1Q⊂平面C1HQ,所以BC⊥C1Q.由BC=4,B1C1=2,BB1=CC1,得CQ=1.又∠HCQ=π6,所以HQ=33,则C1Q=C1故三棱台的侧面积为2+42×393×3=339,表面积为53+3(2)如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为________.

【解析】由题意可得,四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥.如图,过C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,过C作CF⊥AB,垂足为F.则∠EDC=180°-∠ADC=45°,EC=CD·sin45°=2,ED=CD·cos45°=2,易得四边形AECF为矩形,所以CF=AE=4,AF=CE=2,所以BF=AB-AF=3,BC=32+故圆台的上底面半径r1=2,下底面半径R=5,高h1=4,母线长l1=5.圆锥底面半径r2=2,高h2=2,母线长l2=22.所以圆台侧面积S1=π(R+r1)l1=π(5+2)×5=35π,圆锥侧面积S2=πr2l2=π×2×22=42π,圆台下底面面积S3=πR2=25π.故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=35π+42π+25π=(60+42)π.答案:(60+42)π思维升华空间几何体表面积的求解策略1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长、与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.对点训练1.如图1是文祥塔,位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上,初名象山塔,后人重修时易名为文祥塔.已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高为2.8m、底面边长为2m的正六棱柱,塔顶可近似地视为一个高为1m的正六棱锥,\如图2所示,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为()A.45.6m2B.(45.6+63)m2C.(33.6+65)m2D.(33.6+65+63)m2【解析】选A.如图,设正六棱锥的底面正六边形的中心为O,则△OAB为等边三角形,连接点O与边AB的中点H,连接PH,PO,由已知可得OH⊥AB,PH⊥AB,因为正六边形的边长为2,所以OH=22-12=3.又正六棱锥的高PO=1,故正六棱锥的侧面的高为PH=12+(3)2=2,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和为(22.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的12(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】选D.细沙在上部圆锥内时的体积V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为h1,则13×π×82·h1=128π3,解得h1=2,所以下部圆锥形沙堆的母线长l=82+22=217,故此沙堆的侧面积考点三空间几何体的体积角度1公式法求体积【例4】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为()A.23π B.33π C.63π D.93π【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为r2+3,而它们的侧面积相等,所以2πr×3=πr×3+r2即2故r=3,故圆锥的体积为13π×9×3=33π角度2割补法求体积【例5】(一题多法)如图是一个以△ABE为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为CDF,已知AD=4,BC=AE=BE=2,EF=3且∠AEB=90°,则所得的几何体的体积为________.

【解析】法一(分割法):如图,过点C作CM∥AB,交AD于点M,作CN∥BE,交EF于点N,连接MN.由题意可知四边形ABCM,BENC都是矩形,AM=BC=NE=DM=2,CN=BE=2,FN=1,又∠AEB=90°,所以AB=CM=AE2+BE2=22.所以S△ABE=12×2×2=2.因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD,直三棱柱ABE-MCN的体积V1=S△ABE·V2=13S四边形MNFD·CN=13×12×(1+2)×2×2=2,所以所求几何体的体积为V1+V法二(补形法):如图,延长BC至点M,使得CM=2,延长EF至点N,使得FN=1,连接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN的体积减去四棱锥D-CMNF的体积.因为V三棱柱ABE-DMN=12V四棱锥D-CMNF=13×(1+22×2所以所求几何体的体积为V三棱柱ABE-DMN-V四棱锥D-CMNF=8-2=6.答案:6角度3等体积法求体积【例6】(2025·咸阳模拟)已知四棱锥VA-BCDE=16,CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,点P在棱AC上且满足AC=3AP,则三棱锥A-DEP的体积为()A.87 B.167 C.85 【解析】选B.根据题意,设点A到平面BCDE的距离为d,C到平面ADE的距离为h,则有VA-BCDE=13d×S四边形BCDE=13d×(S△BCE+S△而S△BCE=12BC·CE·sin∠BCE,S△CDE=12CD·CE·sin∠又由CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,则S△BCE=43S△CDE则VA-CDE=13d×S△CDE=37×(13d×S四边形BCDE)=37×VA-故VC-ADE=VA-CDE=487,而VC-ADE=13h×S△ADE,则有13h×S△ADE又由点P在AC上且满足AC=3AP,故P到平面AED的距离为h3则有VP-ADE=13VC-ADE=16故VA-DEP=VP-ADE=167思维升华求空间几何体体积的常用方法公式法规则几何体的体积,直接利用公式求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积对点训练1.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为()A.33π B.π C.2π D.【解析】选A.h=22-12=3,V=13πr2h=13π·122.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为()A.1 B.12 C.13 D【解析】选C.将直三棱柱ABC-A1B1C1展开成矩形ACC1A1,如图,连接AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小.因为AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,所以AB⊥BC,因为BB1⊥BC,AB∩BB1=B且AB,BB1⊂平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1,又BC∥B1C1,则B1C1⊥平面ABB1A1,即B1C1⊥平面ABD,点D为侧棱BB1上的动点,当AD+DC1最小时ABAC=BDCC1,即13=又△ABD为直角三角形,此时三棱锥D-ABC1的体积为:VD-ABC1=VC1-ABD=13S△ABD·B3.(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为________.

【解析】法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1∶2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形,下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=13×3×(22+42+22法二:由题意易求正四棱锥高为6,V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=13×4×4×6-13答案:284.(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是________,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是________.

【解析】设圆锥的底面半径为r