因数与倍数教学重点与习题

因数与倍数教学重点与习题在小学数学的知识体系中，“因数与倍数”占据着承上启下的关键地位。它不仅是对整数乘除法意义的深化理解，更是后续学习分数运算、比和比例等内容的重要基石。因此，如何引导学生准确把握概念内涵、熟练掌握基本方法，并能灵活运用解决实际问题，是教学的核心目标。本文将结合教学实践，梳理因数与倍数的教学重点，并辅以典型习题解析，以期为教学工作提供有益参考。一、教学重点梳理（一）概念的精准理解是前提因数与倍数的概念是建立在整数除法（商为整数且没有余数）基础之上的。教学中，首先要让学生明确：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。这里的“整数”通常指的是不包括0的自然数（在小学阶段的一般定义下）。核心点：1.相互依存性：因数和倍数是两个相互依存的概念，不能单独说某个数是因数，或某个数是倍数。例如，不能说“6是倍数”，而应说“6是2和3的倍数”，“2和3是6的因数”。2.范围限定：小学阶段，因数与倍数的讨论范围通常不包括0。因为0除以任何非0数都得0，若允许0作为因数或倍数，会带来诸多不便和逻辑上的混乱（如0的倍数有无数个，且任何数都是0的因数）。3.与乘除法的联系：因数相当于乘法算式中的乘数，倍数相当于乘法算式中的积。因此，也可以从乘法算式的角度引入：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。这种联系有助于学生理解概念的本质。（二）因数与倍数的求法是关键掌握求一个数的因数和倍数的方法，是运用概念解决问题的基础。1.求一个数的因数：*方法：从1开始，用这个数依次除以1,2,3,...，直到除数和商重复或相等为止。能整除的除数和商都是这个数的因数。*要点：*有序性：按从小到大的顺序一对一对地找，避免遗漏和重复。例如，求12的因数，从1除起，12÷1=12，得到1和12；12÷2=6，得到2和6；12÷3=4，得到3和4；12÷4=3，此时与前面的3和4重复，停止。*有限性：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。2.求一个数的倍数：*方法：用这个数依次乘1,2,3,...，所得的积都是这个数的倍数。*要点：*有序性：按从小到大的顺序列举。例如，求5的倍数：5×1=5，5×2=10，5×3=15，...*无限性：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。因此，在书写时通常用省略号表示。（三）特殊数的特性是深化在因数与倍数的学习中，一些特殊数的特性需要重点关注，它们往往是解决问题的突破口。1.1的特性：1是任何非0自然数的因数，且1的因数只有它本身。2.质数与合数：（此部分为后续重点，但在因数教学中可初步渗透）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。3.2、3、5的倍数的特征：这是判断一个数是否为2、3、5的倍数的快捷方法，也是后续学习的重要基础。*2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数。*5的倍数：个位上是0或5的数。*3的倍数：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（四）因数与倍数的相互联系与区别是升华教学中应引导学生辨析因数与倍数的联系与区别，例如：*一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。*因数是有限的，倍数是无限的（除了0）。*因数通常小于或等于原数（1和本身），倍数通常大于或等于原数（本身）。二、典型习题设计与解析（一）基础概念辨析与巩固1.判断题：*因为3×6=18，所以18是倍数，3和6是因数。（）*思路点睛：错误。因数和倍数是相互依存的，不能单独说18是倍数，应表述为“18是3和6的倍数，3和6是18的因数”。*一个数的因数一定比它的倍数小。（）*思路点睛：错误。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等。*0是任何非0自然数的倍数。（）*思路点睛：在小学阶段，通常不讨论0的倍数，因此此说法一般视为错误或不纳入教学范围。重点强调研究因数与倍数时，数的范围是非0自然数。2.填空题：*在1,2,3,6,9,12,18中，18的因数有（），6的倍数有（）。*思路点睛：考察找一个数的因数和倍数的方法。18的因数需在给定数中找能整除18的数；6的倍数需找能被6整除的数。答案：1,2,3,6,9,18；6,12,18。*一个数的最大因数是12，这个数是（），它的最小倍数是（）。*思路点睛：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。答案：12；12。（二）因数与倍数的求法与应用1.操作题：*找出36的所有因数，并列举出它的5个倍数。*思路点睛：找36的因数，可从1乘起：1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36。所以因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36。倍数则为36×1=36，36×2=72，36×3=108，36×4=144，36×5=180（答案不唯一，写出5个即可）。2.解决问题：*有一些苹果，数量在20到30之间，平均分给4个小朋友或6个小朋友，都正好分完。这些苹果有多少个？*思路点睛：此题考察公倍数的概念（可初步用倍数的方法解决）。苹果数是4和6的公倍数，且在20-30之间。4的倍数有4,8,12,16,20,24,28,32...；6的倍数有6,12,18,24,30...。它们在20-30之间的公倍数是24。所以苹果有24个。（三）综合拓展与提升1.一个数既是42的因数，又是7的倍数，这个数可能是多少？*思路点睛：先找出42的所有因数：1,2,3,6,7,14,21,42。再从这些因数中找出7的倍数：7,14,21,42。所以这个数可能是7,14,21,42。2.判断下面各数是否有因数3，为什么？*123（）203（）*思路点睛：根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，这个数就有因数3（即能被3整除）。1+2+3=6，6是3的倍数，所以123有因数3；2+0+3=5，5不是3的倍数，所以203没有因数3。三、教学建议1.注重概念的形成过程：通过具体的算式实例引入，引导学生观察、比较、归纳，逐步抽象出因数与倍数的概念，避免死记硬背。2.强调数学语言的规范表达：因数与倍数的表述具有严格的逻辑性，要训练学生准确使用数学语言描述因数与倍数的关系。3.加强对比与辨析：通过易混淆的概念（如因数与倍数、质数与合数等）对比，以及典型错例分析，帮助学生澄清认识，加深理解。4.联系生活实际：设计一些与生活相关的问题情境，让学生体会数学的实用性，激发学习兴趣。5.循序渐进，螺旋上